玩數(shù)獨(dú)學(xué)數(shù)學(xué)

楊健輝　張瑋

[摘 要]數(shù)獨(dú)的解答過(guò)程往往復(fù)雜且有一定的難度，但只是將數(shù)獨(dú)當(dāng)作游戲又過(guò)于“簡(jiǎn)單”和“單調(diào)”。為此，挖掘和提煉數(shù)獨(dú)游戲背后的一些數(shù)學(xué)元素，重新設(shè)計(jì)和包裝數(shù)獨(dú)游戲的活動(dòng)素材，將玩四宮數(shù)獨(dú)游戲和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生在玩數(shù)獨(dú)游戲的過(guò)程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

[關(guān)鍵詞]四宮數(shù)獨(dú)；游戲；數(shù)學(xué)題；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）05-0004-02

數(shù)獨(dú)，是一種填數(shù)字的游戲，看起來(lái)平凡普通、規(guī)則簡(jiǎn)單，卻因其可訓(xùn)練嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰ΧL(fēng)靡全球。根據(jù)使用數(shù)字的數(shù)量不同，數(shù)獨(dú)可以分為四宮數(shù)獨(dú)、六宮數(shù)獨(dú)和九宮數(shù)獨(dú)等。解九宮數(shù)獨(dú)題的思考過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)存在很大的困難，因此教師可以考慮將四宮數(shù)獨(dú)游戲和一些數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，讓其適合學(xué)生學(xué)習(xí)和玩耍。

我們?cè)噲D從四宮數(shù)獨(dú)游戲中各個(gè)數(shù)字之間要滿(mǎn)足的邏輯關(guān)系出發(fā)，挖掘和提煉數(shù)獨(dú)游戲背后的數(shù)學(xué)元素，重新設(shè)計(jì)和包裝數(shù)獨(dú)游戲的活動(dòng)素材，讓學(xué)生在玩數(shù)獨(dú)游戲中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，改變組織學(xué)生玩數(shù)獨(dú)游戲時(shí)只注重玩樂(lè)而輕視學(xué)數(shù)學(xué)的傾向。

一、注重“數(shù)的計(jì)算”，培養(yǎng)計(jì)算能力

數(shù)與計(jì)算通常是連在一起的，有數(shù)的地方往往就會(huì)產(chǎn)生計(jì)算，數(shù)獨(dú)游戲也不例外，它能在推理的同時(shí)讓學(xué)生感受到計(jì)算是一種樂(lè)趣。

【例1】 在圖1的方格中，每行、每列都有1～4這四個(gè)數(shù)，并且每個(gè)數(shù)在每行、每列都只出現(xiàn)一次。請(qǐng)你在單元格中以“■”（橫或豎）的形式選取出所有三個(gè)依次相鄰的空白單元格，并求出這三個(gè)空白單元格里的數(shù)的和，答案分別是多少？

解：根據(jù)四宮數(shù)獨(dú)的游戲規(guī)則，每一行、每一列填入的數(shù)都是1～4，因此每一行、每一列的“數(shù)字和”都是相等的，即1+2+3+4=10。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，先找出符合條件的三個(gè)相鄰的空白單元格，再利用“和-一個(gè)加數(shù)=另三個(gè)加數(shù)”，即用10減去這三個(gè)相鄰空白單元格所在的行或列中的已知數(shù)，便可求出這三個(gè)相鄰空白單元格的和的值（盡管不一定知道這3個(gè)空白單元格中具體是何數(shù)）。如第二列的“4”的三個(gè)相鄰單元格的和就是“10-4=6”。同理，可以求出第三列、第二行、第三行中三個(gè)相鄰空白格中的數(shù)的和分別是9、7、8。

【例2】 在圖2的四宮數(shù)獨(dú)中，已知涂色部分的7個(gè)數(shù)字的和是18，A是幾？

解：這道題是在數(shù)獨(dú)的數(shù)字特點(diǎn)上融合重疊問(wèn)題設(shè)計(jì)的。學(xué)生一般會(huì)采用先完成四宮數(shù)獨(dú)，再具體求解的思路來(lái)解答。如果不先解答四宮數(shù)獨(dú)，可以求出A是多少嗎？根據(jù)四宮數(shù)獨(dú)的游戲規(guī)則，每一行、每一列都要填上數(shù)字1～4且不重復(fù)，那么每一行、每一列的數(shù)字和是10，這里就引出了矛盾：“任意一行數(shù)字的和是10，任意一列數(shù)字的和也是10，那么一行和一列的數(shù)字和應(yīng)該是20，為什么題目的條件卻說(shuō)涂色部分（一行、一列）的數(shù)字和是18呢？”學(xué)生仔細(xì)觀察便可以發(fā)現(xiàn)其中（7個(gè)數(shù)字的和）有蹊蹺：由于A是重復(fù)的，而重復(fù)部分只算了一次。至此，就可以引導(dǎo)學(xué)生理解“由于數(shù)字和18比20少了2，所以重復(fù)部分（A）應(yīng)該是2，而已涂色部分中的“4”和“1”都可以忽略不計(jì)?！?/p>

以上兩個(gè)例題不僅可以作為常規(guī)的四宮數(shù)獨(dú)題讓學(xué)生進(jìn)行游戲（根據(jù)推理填數(shù)），也可以另辟蹊徑：通過(guò)圖中給出的數(shù)和這些數(shù)要滿(mǎn)足的關(guān)系進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。這樣，由于計(jì)算過(guò)程中蘊(yùn)含著嘗試、排除、推理等要素，學(xué)生就能充分感受到數(shù)學(xué)的魅力。

二、關(guān)注“整體思考”，感悟數(shù)學(xué)思想

無(wú)論是數(shù)的計(jì)算，還是數(shù)字推理，其背后都隱含著豐富的數(shù)學(xué)思想，體會(huì)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用并感受數(shù)學(xué)思想的魅力都是在進(jìn)行數(shù)學(xué)游戲時(shí)不可或缺的。

【例3】 在圖3的四宮數(shù)獨(dú)中，所有處于空白單元格中的數(shù)字和是幾？

解：這是一道不難解答的四宮數(shù)獨(dú)題，但我們更希望學(xué)生能在整體思考后再通過(guò)計(jì)算解答此題。根據(jù)四宮數(shù)獨(dú)的游戲規(guī)則，從行的角度看，每一行都必須填入1～4四個(gè)數(shù)，而整個(gè)四宮數(shù)獨(dú)有4行，所以整個(gè)數(shù)獨(dú)的數(shù)字和就是40（從列來(lái)考慮也一樣）。再觀察給定的數(shù)字（即已填入的數(shù)字）和是20，因此空白部分單元格的數(shù)字和就顯而易見(jiàn)了：從40里減去20，結(jié)果是20。

【例4】 在圖4所給定的四宮數(shù)獨(dú)中，所有空白部分單元格的數(shù)字和是幾？

解：這道題可以引導(dǎo)學(xué)生用“總數(shù)-已知數(shù)字和=空白數(shù)字和”的思想進(jìn)行求解。需要注意，本題有一個(gè)“坑”：處在交叉位置上的“1”，學(xué)生稍不注意就會(huì)錯(cuò)“看成”兩組“1～4”。因此，除了引導(dǎo)學(xué)生思考“四宮數(shù)獨(dú)中所有的數(shù)字和是多少”外，還要讓學(xué)生考慮問(wèn)題“已填入的數(shù)字和是多少”，并追問(wèn)：“為什么已填入的數(shù)字和不是20？”這樣，學(xué)生很快就可以求出空白單元格中的數(shù)字和是21。

同樣的道理，解答以上兩個(gè)例題時(shí)，也可先推斷出圖中的全部數(shù)字再求出答案，然而運(yùn)用數(shù)學(xué)思想巧妙求解的方式更能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思想的魅力所在。

三、嘗試“列舉計(jì)數(shù)”，培養(yǎng)推理能力

在數(shù)獨(dú)游戲中，探究某一單元格填數(shù)有幾種填法也是一種很好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素材，像“逐一列舉”“分類(lèi)計(jì)數(shù)”“綜合討論”等都是重要的數(shù)學(xué)方法。由于學(xué)生的水平和能力有限，設(shè)置問(wèn)題時(shí)一定要注意難度的調(diào)節(jié)，素材不宜過(guò)多也不宜太抽象。

【例5】 在圖5所給定的四宮數(shù)獨(dú)中：

（1）第一行已填入1和2，那么單元格a有幾種填法？

（2）如果第一行已按要求填滿(mǎn)數(shù)字，那么第一列的單元格b有幾種填法？

（3）如果第一行和第一列均已按要求填滿(mǎn)數(shù)字，那么第二列第2行的單元格c有幾種填法？

為了幫助學(xué)生更深入地了解四宮數(shù)獨(dú)中數(shù)字排列的構(gòu)成情況，訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力和敏銳的觀察能力，我們特意設(shè)計(jì)了這樣一組關(guān)于四宮數(shù)獨(dú)填數(shù)的排列問(wèn)題。

教學(xué)時(shí)，可以先呈現(xiàn)圖5（為了降低思考難度，數(shù)獨(dú)中已填入兩個(gè)數(shù)），提出問(wèn)題：“第一行的單元格a有多少種填法？”學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)此處有兩種填法，可填3或4，因此這個(gè)單元格一共有兩種填數(shù)方法；繼而稍作提升：“如果這行只填了數(shù)字1，那么單元格a有多少種填法？”引導(dǎo)學(xué)生想到有3種方法；接著繼續(xù)提問(wèn)：“如果第一行已按要求填滿(mǎn)了數(shù)字，那么第一列的單元格b有幾種填法？”有部分思考不夠嚴(yán)密的學(xué)生會(huì)掉入“陷阱”，認(rèn)為就是三個(gè)數(shù)的排列問(wèn)題，很快會(huì)說(shuō)答案是3，這時(shí)教師可以讓學(xué)生通過(guò)擺數(shù)字卡片或用紙筆列舉結(jié)果等方法進(jìn)行嘗試，并就 “第一列第2行的單元格b只能填哪個(gè)數(shù)”展開(kāi)討論，讓學(xué)生在討論中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：“這個(gè)單元格不能填2，因?yàn)樗c第二列第1行單元格屬于同一宮！”此時(shí)學(xué)生不但清晰地掌握四宮數(shù)獨(dú)的填數(shù)規(guī)則，思維的嚴(yán)謹(jǐn)性也得到有效訓(xùn)練；最后再問(wèn)：“如果第一行、第一列已按要求填滿(mǎn)數(shù)字，那么第二列第2行的單元格c有幾種填法？”有了前面的思維訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生不僅會(huì)考慮“行”“列”的因素，還會(huì)結(jié)合“宮”的要求進(jìn)行思考，很快就能發(fā)現(xiàn)這個(gè)單元格是第一宮唯一剩下的單元格，所以它的填法是唯一的。

數(shù)獨(dú)游戲最大的特點(diǎn)就是運(yùn)用推理的方式進(jìn)行游戲和學(xué)習(xí)。其實(shí)，在思考某一個(gè)問(wèn)題時(shí)做到不重復(fù)、不遺漏且有序等要求，是需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格訓(xùn)練的，而這個(gè)訓(xùn)練素材就要靠教師精心設(shè)計(jì)、改編和開(kāi)發(fā)。

四、鼓勵(lì)“嘗試探究”，培養(yǎng)探索能力

很多時(shí)候游戲不僅僅是娛樂(lè)，因?yàn)闊o(wú)論是數(shù)字的推理還是大光明論的獲得，都需要學(xué)生在活動(dòng)中通過(guò)探究而得，這正是培育學(xué)生探索意識(shí)、訓(xùn)練學(xué)生探究能力的極好過(guò)程與機(jī)會(huì)。讓學(xué)生在游戲中活動(dòng)、在活動(dòng)中思考、在思考中積累，正是我們提出的教育主張“玩游戲、學(xué)數(shù)學(xué)、育素養(yǎng)”的具體體現(xiàn)。

【例6】 圖6是一個(gè)四宮數(shù)獨(dú)。已知中間4個(gè)單元格（內(nèi)四角）的數(shù)分別是1、2、2、4，求外四角4個(gè)單元格（四個(gè)灰色格）中的數(shù)字積是多少。

引導(dǎo)學(xué)生從某個(gè)特殊情景想起：在這個(gè)四宮數(shù)獨(dú)中，先考慮內(nèi)四角中已有的數(shù)字“4”，去掉其所在的行、列和所在宮的格子，要在其他3個(gè)宮中按要求填上另外的3個(gè)“4”。經(jīng)過(guò)嘗試不難發(fā)現(xiàn)至少有一個(gè)“4”一定會(huì)填在某一個(gè)外四角的位置上；因?yàn)閮?nèi)四角上有四個(gè)數(shù)字，這四個(gè)數(shù)依剛才的結(jié)論都必須在外四角上各出現(xiàn)一次。因此，可以得出 “內(nèi)四角4個(gè)單元格的數(shù)字會(huì)與外四角4個(gè)單元格的數(shù)字相同”的結(jié)論（注意區(qū)分內(nèi)四角上有相同的數(shù)字）。再看本題已給出內(nèi)四角上的數(shù)，要求外四角上四個(gè)數(shù)的積，就可以直接得出乘積是16，而不需要具體去考慮各個(gè)位置的數(shù)是幾。

解這道題是通過(guò)先探索命題已具備的一些性質(zhì)和特征，再利用這些特征去解決問(wèn)題，從而求得答案的，這是數(shù)學(xué)中經(jīng)常見(jiàn)到的解決問(wèn)題模型之一。在游戲活動(dòng)中，安排學(xué)生經(jīng)歷類(lèi)似的探究過(guò)程，能讓學(xué)生通過(guò)力所能及的思考和推理進(jìn)行探究，從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)獨(dú)，既然是一種與數(shù)字相關(guān)的游戲，必然會(huì)有很多與數(shù)學(xué)相關(guān)的要素可以挖掘。只要我們細(xì)心思考、用心研究，將其背后隱藏的計(jì)算問(wèn)題、排列問(wèn)題，乃至其他更有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行重新開(kāi)發(fā)、設(shè)計(jì)和包裝，數(shù)獨(dú)就不再是簡(jiǎn)單的數(shù)獨(dú)，而是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)秀幫手。

（責(zé)編 金 鈴）