理性回歸：初中數(shù)學(xué)教材使用中的生態(tài)環(huán)境探析與優(yōu)化

呂亞軍+顧正剛

[摘 要] 初中數(shù)學(xué)教材使用中的生態(tài)環(huán)境是和諧統(tǒng)一的生態(tài)環(huán)境，是動(dòng)態(tài)平衡中的生態(tài)環(huán)境，是可持續(xù)發(fā)展的生態(tài)環(huán)境. 初中數(shù)學(xué)教材使用應(yīng)理性回歸教材：融入信息技術(shù)，點(diǎn)亮數(shù)學(xué)課堂；依托數(shù)學(xué)教材，尋根問(wèn)題本質(zhì)；以“疑”為媒介，剖析數(shù)學(xué)教材；讓探究成“常態(tài)”，彰顯教材內(nèi)涵.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)教材；生態(tài)環(huán)境；優(yōu)化；理性回歸

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）提出：“數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源. ”數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)課程理念的基本物化形式，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、教師教授數(shù)學(xué)最基本的藍(lán)本. 在所有合適的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資源中，數(shù)學(xué)教材是最主要的. 數(shù)學(xué)教材體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值，作為課程標(biāo)準(zhǔn)化的產(chǎn)物，其既是教師教的重要資源，又是學(xué)生學(xué)的主要依據(jù). 本文從生態(tài)學(xué)視角分析初中數(shù)學(xué)教材的使用環(huán)境，以期為教學(xué)提供借鑒.

初中數(shù)學(xué)教材使用中的生態(tài)環(huán)

境探析

1. 和諧統(tǒng)一的生態(tài)環(huán)境：遵循教育教學(xué)規(guī)律及注重學(xué)生身心協(xié)調(diào)發(fā)展

生態(tài)學(xué)原理提示：生態(tài)系統(tǒng)中各單元和因子之間互相聯(lián)系、互相作用和影響，在功能上組成一個(gè)統(tǒng)一的整體. 整體統(tǒng)一性不是各種組成成分簡(jiǎn)單地疊加，而是相互聯(lián)系、相互制約形成的新的集合體，它具有各種組成成分都不具有的新特點(diǎn)和新功能. 生態(tài)式教育非常強(qiáng)調(diào)促進(jìn)人的創(chuàng)生，而這又依托于相互作用. 我們知道，教學(xué)中的相互作用，不僅包括教師和學(xué)生之間，還應(yīng)該包括教師與教材以及學(xué)生與教材之間的相互作用.

2. 動(dòng)態(tài)平衡中的生態(tài)環(huán)境：教材結(jié)構(gòu)、功能的提升與完善

初中數(shù)學(xué)教材使用中的生態(tài)環(huán)境也處于不斷變化中，內(nèi)、外部生態(tài)環(huán)境改變會(huì)影響原有的平衡狀態(tài)，但經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)恼{(diào)節(jié)，教材結(jié)構(gòu)與功能會(huì)達(dá)到新的平衡狀態(tài). 比如運(yùn)用信息化手段整合課堂教學(xué)、對(duì)教材中提出的問(wèn)題進(jìn)行常態(tài)化探究等，此時(shí)原有的教材內(nèi)容、結(jié)構(gòu)及功能都得到了提升與完善，教材使用中的生態(tài)環(huán)境會(huì)進(jìn)入更高層次的動(dòng)態(tài)平衡中.

3. 可持續(xù)發(fā)展的生態(tài)環(huán)境：注重多方因素協(xié)調(diào)

初中教材使用中需要考慮多方面的因素，如教師方面：教師對(duì)數(shù)學(xué)教材的理解，對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平、知識(shí)儲(chǔ)備的熟悉程度等；學(xué)生方面：學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)、方法、特點(diǎn)等；教材的課堂呈現(xiàn)方式；課堂互動(dòng)等，只有使各因素都處于最佳狀態(tài)，才能取得良好的教學(xué)效果，進(jìn)而順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo). 因而使用初中數(shù)學(xué)教材時(shí)，應(yīng)協(xié)調(diào)多方因素，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展的教材使用生態(tài)環(huán)境.

理性回歸：初中數(shù)學(xué)教材使用

中的生態(tài)環(huán)境優(yōu)化策略

1. 融入信息技術(shù)，點(diǎn)亮數(shù)學(xué)課堂

大數(shù)據(jù)時(shí)代的來(lái)臨，各種信息技術(shù)的普及，無(wú)疑給教材使用、課堂教學(xué)帶來(lái)了巨大的沖擊. 《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開(kāi)發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂(lè)意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去. 信息技術(shù)與課堂教學(xué)的融入，正引發(fā)教材使用生態(tài)環(huán)境從沖擊后的失衡狀態(tài)，進(jìn)入更高層次的動(dòng)態(tài)平衡中，促使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的革新及對(duì)知識(shí)更深層次的理解.

今年筆者有幸聽(tīng)過(guò)一位數(shù)學(xué)骨干教師開(kāi)設(shè)的公開(kāi)課. 教師在講解圓的切線長(zhǎng)定理，利用教科書(shū)上的練習(xí)題進(jìn)行鞏固訓(xùn)練時(shí)，運(yùn)用GeoGebra軟件引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究教學(xué)，節(jié)錄如下.

師：（蘇科版《九上》第2章P74習(xí)題13）如圖1所示，四邊形ABCD的各邊與⊙O分別相切于點(diǎn)E、F、G、H，AB、BC、CD、DA之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？

（教師通過(guò)GeoGebra軟件操作，在四邊形的各邊與圓相切的前提下，任意改變圓的大小及四邊形的大小，學(xué)生觀察，教師操作）

師：從剛才我的操作過(guò)程中，請(qǐng)你猜測(cè)一下AB、BC、CD、DA之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

生1：我覺(jué)得四邊形ABCD中AB與CD的和應(yīng)該與AD與BC的和相等. （如圖2）

（教師再次任意改變圓的大小及四邊形的大小，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察代數(shù)區(qū)，AB、AD、BC、CD，L1（AB+CD）、L2（BC+AD）的大小變化，同學(xué)一致認(rèn)同圖中無(wú)論圖形如何變化，都有結(jié)論AB+CD=BC+AD成立）

師：在剛才的探究過(guò)程中，大家都認(rèn)可得出的結(jié)論，請(qǐng)問(wèn)如何通過(guò)演繹推理證明此結(jié)論呢？

（學(xué)生思考中）

生2：根據(jù)剛才講的切線長(zhǎng)定理，可得AH=AG，BH=BE，CE=CF，DG=DF，則有AH+BH+CF+DF=AG+BE+CE+DG，即AB+CD=BC+AD.

師：很好！大家能否用一句話來(lái)描述這道題的結(jié)論？（學(xué)生討論）

教師引導(dǎo)得出結(jié)論：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等.

師：從剛才這道題的講解中，你還能提出怎樣的問(wèn)題？大家可以討論一下. （學(xué)生討論中）

生3：本題是圓的外切四邊形，得出了剛才的結(jié)論，那么題目如果改為圓的外切六邊形、八邊形，會(huì)有類似的結(jié)論嗎？甚至可以推廣到圓的外切偶數(shù)邊形是否有類似的結(jié)論.

師：這位同學(xué)的問(wèn)題提得很有價(jià)值，值得探究. （教師用GeoGebra軟件畫(huà)出圓的外切六邊形，如圖3，學(xué)生探究得到AB+CD+EF=BC+ED+AF，教師提出課后大家去研究證明方法，并思考外切八邊形、外切偶數(shù)邊形是否有類似的結(jié)論）

評(píng)析？搖 在講解例題時(shí)，教師運(yùn)用了GeoGebra軟件，教師通過(guò)引導(dǎo)，結(jié)合信息技術(shù)手段，讓學(xué)生從動(dòng)態(tài)的視角，去觀察原先靜態(tài)的幾何問(wèn)題，合情推理得出結(jié)論，即圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等，并給予演繹推理論證. 接著教師引導(dǎo)學(xué)生類比推廣到圓的外切六邊形、八邊形、偶數(shù)邊形等情況. 正如學(xué)者伍春蘭所說(shuō)：“信息技術(shù)本身并不會(huì)自動(dòng)產(chǎn)生教育作用，只有同一定的教育內(nèi)容、教育目標(biāo)、教學(xué)組織形式、教學(xué)方法等聯(lián)系起來(lái)時(shí)，其教育價(jià)值才能表現(xiàn)出來(lái).”

2. 依托數(shù)學(xué)教材，尋根問(wèn)題本質(zhì)

數(shù)學(xué)教材“是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源”，是聯(lián)結(jié)“數(shù)學(xué)課程目標(biāo)”與“數(shù)學(xué)課堂教學(xué)”的最主要橋梁. 從生態(tài)學(xué)角度看：生命的重要特性是有機(jī)性，本質(zhì)是內(nèi)在的關(guān)聯(lián). 生態(tài)系統(tǒng)中的所有成員是以一個(gè)網(wǎng)狀的關(guān)系而使彼此相互關(guān)聯(lián)，所有的生命歷程皆相互依賴. 縱觀歷屆中考試題，“依綱扣本”是命題的主方向，“源于教材，高于教材”似乎已成為一條不變的“真理”.

比如2014年四川自貢數(shù)學(xué)中考題第23題——

閱讀理解：如圖4，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與A，B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點(diǎn)”；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強(qiáng)相似點(diǎn)”.

解決問(wèn)題：（1）如圖4，若∠A=∠B=∠DEC=45°，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

（2）如圖5，在矩形ABCD中，A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖5中畫(huà)出矩形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)；

（3）如圖6，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB與BC的數(shù)量關(guān)系.

評(píng)析 本題屬于閱讀材料題，要求學(xué)生能看懂題意. 問(wèn)題（1）要證明點(diǎn)E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△BEC，在證明的過(guò)程中需運(yùn)用∠DEB=∠A+∠ADE=45°+∠ADE，又∠DEB=45°+∠BEC，從而得到∠BEC=∠ADE，得證. 問(wèn)題（2）的原型是蘇科版教科書(shū)九年級(jí)下第65頁(yè)練習(xí)5：如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D. （1）△ACD與△CBD相似嗎？為什么？（2）圖中還有幾對(duì)相似三角形？是哪幾對(duì)？此題只需以CD為直徑畫(huà)弧，取該弧與AB的交點(diǎn)即可. 問(wèn)題（3）屬于對(duì)折問(wèn)題，在蘇科版教材第70頁(yè)教材中安排了一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)折紙專題，本問(wèn)題的解決實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)，并利用相似三角形的性質(zhì)求解.

3. 以“疑”為媒介，剖析數(shù)學(xué)教材

《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“教材的編寫(xiě)要面向全體學(xué)生，也要考慮到學(xué)生發(fā)展的差異，在保證基本要求的前提下，體現(xiàn)一定的彈性，以滿足學(xué)生的不同需求，使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，也便于教師發(fā)揮自己的教學(xué)創(chuàng)造性. ”教材在編寫(xiě)時(shí)，新授概念、定理、公式有時(shí)會(huì)留給學(xué)生探究和思考的空間，不一定都給出詳細(xì)的介紹及推導(dǎo)過(guò)程，教師在教學(xué)中要整體把握教科書(shū)的編寫(xiě)思路，深入挖掘教科書(shū)中蘊(yùn)含的觀點(diǎn)和思想方法，充分理解教材編寫(xiě)的用意，引導(dǎo)學(xué)生善于提出問(wèn)題，培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí).

蘇科版九年級(jí)上冊(cè)“圓周角”一節(jié)教材給出了圓周角定理：“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)的圓心角的一半. ”對(duì)于本定理，教材沒(méi)有給出其他說(shuō)明，教學(xué)實(shí)際中很多學(xué)生對(duì)此定理的理解比較模糊. 筆者聽(tīng)到一節(jié)優(yōu)秀的公開(kāi)課，教師在講授時(shí)的處理過(guò)程節(jié)錄如下.

師：同學(xué)們，針對(duì)這條定理的理解，可以把定理拆分成哪幾個(gè)問(wèn)題？

生1：同弧所對(duì)的圓周角相等，且它們的度數(shù)都等于該弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半？

生2：等弧所對(duì)的圓周角相等，且它們的度數(shù)都等于該弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半？

師：很好，剛才兩位同學(xué)將定理根據(jù)自己的理解進(jìn)行了梳理，提出了兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)大家思考如何解決？

評(píng)析？搖 教材的編寫(xiě)往往會(huì)給教師和學(xué)生留下廣闊的“生態(tài)空間”， 讓教師和每個(gè)學(xué)生都能在自己的“生態(tài)位”上有所發(fā)展. 本定理的表述非常精煉，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)理解還是比較困難的，為了讓學(xué)生能深刻理解，教師采取讓學(xué)生嘗試將定理拆分提出問(wèn)題，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)疑、探索、推理等過(guò)程，讓學(xué)生自己建構(gòu)個(gè)人新的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維. （此定律在蘇科版2014版本做了改進(jìn)，為“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”）

4. 讓探究成“常態(tài)”，彰顯教材內(nèi)涵

在教學(xué)中要充分挖掘教材中的探究素材. 教材中有很多例題、習(xí)題都是很好的探究素材. 教學(xué)中，教師往往會(huì)忽視教材中例題、習(xí)題的潛在教育功能，常常就題論題，或者因?yàn)轭}目“簡(jiǎn)單”而一帶而過(guò)，缺乏對(duì)例題和習(xí)題的深入研究、引申、推廣，其實(shí)應(yīng)充分挖掘例題和習(xí)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)本質(zhì)、文化背景和情感、態(tài)度、價(jià)值觀，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，在教材的使用方面，為學(xué)生的發(fā)展提供可持續(xù)的生態(tài)教學(xué)環(huán)境.

筆者聽(tīng)了一節(jié)市級(jí)公開(kāi)課，教師舉了蘇科版九年級(jí)上冊(cè)第一章習(xí)題1.3第7題為例——在正方形ABCD中，（1）如圖11，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足為點(diǎn)M，求證：AE=BF. （2）如圖12，如果點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足為點(diǎn)M，那么GE，BF相等嗎？證明你的結(jié)論. （3）如圖13，如果點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足為點(diǎn)M，那么GE，HF相等嗎？證明你的結(jié)論. （學(xué)生易解決，教師將習(xí)題進(jìn)行改編）

問(wèn)題1？搖 如果將原題進(jìn)行改編，將（1）（2）（3）中的條件和結(jié)論互換，是否仍然成立？（結(jié)論仍然成立，學(xué)生易解決）

問(wèn)題2？搖 現(xiàn)將原題中（1）（圖11）中的線段BF向右平移到EN，連接CN，其他條件不變，如圖14，∠NCH是否為定值？如果是，求出此定值.

對(duì)于問(wèn)題2，學(xué)生給出了如下兩種方法——

方法1：如圖14，在AB上取點(diǎn)K，使得AK=CE，易得△AKE≌△ECN，所以∠AKE=∠ECN=135°. 所以∠NCH=45°.

方法2：如圖15，連接FN，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥CH，易得FN=NG，所以∠NCG=45°.

問(wèn)題3？搖 如圖16，已知矩形ABCD.

（1）如圖16，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足為點(diǎn)M，AD=kAB，求證：BF=kAE.

（2）如圖17，如果點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足為點(diǎn)M，AD=kAB，那么BF=kGE嗎？證明你的結(jié)論.

（3）如圖18，如果點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在BC，CD，DA，AB上，且GE⊥HF，垂足為點(diǎn)M，AD=kAB，那么HF=kGE成立嗎？證明你的結(jié)論. （結(jié)論仍然成立，學(xué)生易解決）

問(wèn)題4？搖 如果將問(wèn)題3進(jìn)行改編，將（1）中的兩個(gè)條件AE⊥BF，AD=kAB，BF=kAE任意兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由. 類似地，（2）和（3）中是否也有類似的結(jié)論？并說(shuō)明理由（結(jié)論均成立，學(xué)生易解決）

問(wèn)題5 ？搖現(xiàn)將問(wèn)題3中（1）（圖16）中的線段BF向右平移到EN，連接CN，且AE⊥BF，垂足為M，AD=kAB，如圖19，∠NCH是否仍然為定值？如果是，求出tan∠NCH.

對(duì)于問(wèn)題5，學(xué)生給出了如下兩種方法——

方法2：如圖20，連接FN，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥CH于點(diǎn)G，設(shè)BE=FN=CG=x，容易證得△ABE∽△EGN，所以NG=kx，tan∠NCH=k，為定值.

評(píng)析？搖 課本例題、習(xí)題作為滲透新理念、傳授知識(shí)、培養(yǎng)能力的主要載體，教師應(yīng)進(jìn)行充分挖掘和研究，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合理的學(xué)習(xí)情境，構(gòu)建開(kāi)放的學(xué)習(xí)環(huán)境.

結(jié)束語(yǔ)

教材作為教師教和學(xué)生學(xué)的載體，對(duì)教材的研究是否到位，能否充分發(fā)揮教材的作用，直接影響教師的課堂教學(xué)質(zhì)量，直接影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的掌握情況. 因此，教師應(yīng)樹(shù)立科學(xué)的教材觀，不斷提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，深入理解和把握教科書(shū)的潛在價(jià)值，優(yōu)化教材使用中的生態(tài)環(huán)境，使教科書(shū)真正成為學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要課程資源.