淺談初中數(shù)學(xué)幾何證明的三種思維

沈忠華

摘 要：幾何證明題是初中數(shù)學(xué)非常重要的一項(xiàng)內(nèi)容，學(xué)好幾何證明題對提高數(shù)學(xué)成績有重要作用。做好幾何證明題，需要掌握多種解題的思維方法，只有靈活運(yùn)用這些思維方式才能快速正確解題。主要對正向思維、逆向思維、正逆結(jié)合三種思維方式在幾何證明題中的應(yīng)用進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何證明；思維方式

幾何證明題在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有重要位置，是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，幾何題的證明一直是困擾學(xué)生的一個難題。要學(xué)好幾何證明題，需要開闊學(xué)生的思維方式，靈活運(yùn)用多種思維方式和解題方法，就能學(xué)好幾何證明題。筆者結(jié)合教學(xué)初中實(shí)踐對幾何證明題的三種常用思維方式進(jìn)行探討。

一、運(yùn)用正向思維進(jìn)行證明

運(yùn)用正向思維方式進(jìn)行幾何題的證明是最常用的一種方法，特別是對于一般的題目，運(yùn)用正向思維就能容易解決，只有根據(jù)題目給出的已知條件，向要得到的結(jié)果方向逐步證明推理就能把題目證明好。

例1.證明：等腰△ABC兩底的角平分線BD=CE。

解題分析：本題用正向思維方式進(jìn)行證明，只要已知條件，尋找三個條件來證明△BDC與△CEB全等，就能證明兩條角平分線相等。

證明過程：根據(jù)圖1和題目已知條件可得出AC=AB

根據(jù)等邊對等角可知：∠ACB=∠ABC，∵CE與BD是角平分線，根據(jù)其定義可得出：∠BEC=∠ECA+∠A，∠CDB=∠DBA+∠A，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ECB=∠DBC∴可得出∠BEC=∠CDB，在△BCD和△CBE中，根據(jù)三個條件：BC=BC，∠BEC=∠CDB，∠ECB=∠DBC，根據(jù)角邊角定理可得出：△BEC≌△CDB，∴可得出CE=BD，此題得證。

二、運(yùn)用逆向思維進(jìn)行證明

證明幾何題還可用逆向思維方式進(jìn)行證明，通過運(yùn)用多種方式和方法進(jìn)行幾何題的證明，能培養(yǎng)學(xué)生的思維發(fā)散能力和創(chuàng)新能力。

例2.學(xué)習(xí)勾股定理時曾有這樣一道幾何證明題，現(xiàn)用逆向思維方式證明。證明：+=（a、b為兩條直角邊，h為斜邊c上的高）

解題分析：在本題的證明中，運(yùn)用逆向思維方式，從結(jié)論開始著手進(jìn)行推理證明，能減少一些沒有必要的運(yùn)算過程，使證明過程更方便簡單易行。

證明過程：將要證明的等式左邊分工進(jìn)行合并：+==因?yàn)樵谥苯侨切蜛BC中，有a2+b2=c2∴上式可變?yōu)?，兩邊交叉相乘得：a2·b2=c2·h2，式子變形（ab）2=（ch）2，∵a，b，c，h均為正數(shù)，∴可得ab=ch，根據(jù)三角形面積公式可知此式成立，從而可證明結(jié)果成立：+=

三、運(yùn)用綜合方式進(jìn)行證明

在證明幾何題目時，有時會遇到一些題目，從已知條件運(yùn)用正向思維進(jìn)行證明和從結(jié)論運(yùn)用逆向思維進(jìn)行證明都不容易找到問題的突破口。遇到這種情況就要對已知條件進(jìn)行分析，用正向思維進(jìn)行證明，也可以認(rèn)真分析證明結(jié)論，運(yùn)用逆向思維進(jìn)行證明，也可以同時運(yùn)用兩種思維方式進(jìn)行思考，從而找到解決問題的突破口。如，題目給出三角形某個邊的中點(diǎn)，如果做輔助線，就要考慮中線或中點(diǎn)倍長線。如果是在梯形中給出中點(diǎn)，就要考慮其高線、補(bǔ)形結(jié)合、對角平移等方法和條件的利用。從正反兩個方面綜合考慮，往往會使題目容易證明。

例3.（如圖2）已知梯形ABCD，其中AE⊥DC，AB∥CD，邊AC的長度是20，邊BD長是15，邊AE的長是12，求梯形ABCD的面積？

解題過程：過A點(diǎn)作一條輔助線AM，使AM∥BD，AM線交于CD延長線上的M點(diǎn)，因此，就可得到平行四邊形ABDM，根據(jù)這個平行四邊形可知：AM=BD，S△AMD =S△ABD，由此可知S△ABD=S△ABC，∴梯形ABCD面積就等于△AMC的面積。在△AME中可求得，ME==9，在△AEC中，EC==16，因?yàn)樘菪蜛BCD面積等于△AMC的面積：可得S△AMC=（9+16）×12=150

四、運(yùn)用幾何證明題培養(yǎng)學(xué)生能力

隨著素質(zhì)教育和新課標(biāo)的實(shí)施，要求教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中注重發(fā)展學(xué)生的思維能力。通過運(yùn)用多種思維方式，從不同角度對幾何題目進(jìn)行證明，能擴(kuò)展學(xué)生的思路。學(xué)生通過對幾何題目進(jìn)行觀察、分析、歸納等步驟，來感受幾何證明帶來的挑戰(zhàn)和幾何題目證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、條理性、確定性，對培養(yǎng)學(xué)生的思維創(chuàng)新能力非常有益。本文中三種思維方式在幾何證明中使用較多，也是最有效的方法，教師在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生注重對這幾種思維方式的運(yùn)用，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績。

參考文獻(xiàn)：

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編輯 孫玲娟