中西彈撥樂器單音樂音結(jié)構(gòu)比較分析

謝凌云，劉 靖

(中國(guó)傳媒大學(xué) 傳播聲學(xué)研究所，北京 100024)

通過心理聲學(xué)音高和音色的感知等[1-6]方面的研究，西方學(xué)者已經(jīng)在此基礎(chǔ)上建立了相應(yīng)的樂音協(xié)和性理論[7-10]，為西方交響樂提供了有力的理論支持，而且協(xié)和音程理論已廣泛應(yīng)用于西方音樂創(chuàng)作．與之相比，民族音樂在樂器音色、音樂傳統(tǒng)、形式和文化內(nèi)涵等方面都與西方音樂有明顯差異，西方的協(xié)和音程理論不適合直接應(yīng)用于中國(guó)民族音樂，中國(guó)民族音樂理論中也沒有相應(yīng)的協(xié)和音程理論，民族音樂的協(xié)和性理論還處于探索階段．

在西方音樂學(xué)中，樂音的協(xié)和音程理論是對(duì)聲音的音樂結(jié)構(gòu)的描述，關(guān)注的是音之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，即音程關(guān)系．然而，僅從音程關(guān)系上來(lái)看，民樂協(xié)和音程與西方協(xié)和音程存在一定的差異[11-12]，民樂協(xié)和音程的主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果并不完全符合西方的協(xié)和音程理論．為了解釋這種差異的根源或理解協(xié)和性的作用機(jī)制，本文用音級(jí)圖表示樂器單音內(nèi)部的樂音結(jié)構(gòu)，并從這種單音內(nèi)部的樂音結(jié)構(gòu)展開分析．

樂音結(jié)構(gòu)指的是樂音在各音高位置的能量或幅度組成的結(jié)構(gòu)關(guān)系．樂音結(jié)構(gòu)的感知包括音高的感知、音程關(guān)系的感知、調(diào)性的感知等內(nèi)容．在音高感知方面，一維音高與一維頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立早在20世紀(jì)中葉就已完成，但是，在其他的一些研究中發(fā)現(xiàn)，音高的感知僅由單一的線性尺度是難以充分表示的[1]．在相對(duì)音高的研究中首次提出音高具有可分的兩個(gè)維度——高度和調(diào)(tone and chroma)，進(jìn)而提出更符合音高的感知規(guī)律的螺旋形音高結(jié)構(gòu)[1-2,6]，這種結(jié)構(gòu)也得到了其他的音高相關(guān)的感知實(shí)驗(yàn)的支持，如音階感知實(shí)驗(yàn)[13]、調(diào)性感知實(shí)驗(yàn)[6]，甚至音樂認(rèn)知方面的相關(guān)實(shí)驗(yàn)都支持這樣的螺旋形結(jié)構(gòu)[14]．音程感知通常作為調(diào)性感知的一部分進(jìn)行研究，在調(diào)性查找算法(Maximum Key-profile Correlation, MKC)的研究中，利用了螺旋結(jié)構(gòu)的水平映射面，稱為調(diào)域(chromatic scale)或音級(jí)(pitch class)，結(jié)合主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果，分別得到大小調(diào)情況下一對(duì)樂音的感知評(píng)價(jià)值，從而得到音程的感知關(guān)系，最終在確定旋律的調(diào)性時(shí)，計(jì)算各感知評(píng)價(jià)值的相關(guān)系數(shù)，使相關(guān)系數(shù)最大的調(diào)性即為該段旋律的調(diào)性[6]．至今的樂音結(jié)構(gòu)感知研究中，尤其是音程感知實(shí)驗(yàn)[1,6]，都證實(shí)了感知到的音程關(guān)系在樂音范圍內(nèi)按八度間隔出現(xiàn)重復(fù)，并認(rèn)為在以音程關(guān)系為主的研究中，樂音結(jié)構(gòu)可以用音級(jí)形式表示．在音樂中使用的具有固定音高的音的總和稱樂音體系，其中的各音稱為音級(jí)．音級(jí)是相距整數(shù)倍八度的所有音高的集合，由包括基本音級(jí)和變化音級(jí)在內(nèi)的12個(gè)音級(jí)表示，即{C,C#/Db,D,D#/Eb,E,F,F#/Gb,G,G#/Ab,A,A#/Bb,B}[15]．音級(jí)圖就是信號(hào)能量或幅度在12個(gè)音級(jí)上的分布情況，即將信號(hào)各音高上的能量或幅度按音級(jí)進(jìn)行累積后得到．

為了分析民族樂器的音樂屬性，本文拋開具體的音樂內(nèi)容，探索的是樂器聲音的樂音結(jié)構(gòu)，樂器單音則成了研究的出發(fā)點(diǎn)和剖析對(duì)象．此外，多數(shù)樂音結(jié)構(gòu)感知相關(guān)的研究成果都是建立在十二平均律之上的，因此，本文采用基于十二平均律的音級(jí)圖對(duì)樂器單音內(nèi)部的樂音結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，其中，單音內(nèi)部的樂音結(jié)構(gòu)指的是單音頻譜中各音級(jí)對(duì)應(yīng)的頻率位置上的能量或幅度組成的結(jié)構(gòu)關(guān)系．常數(shù)Q變換(Constant Q Transform, CQT)是一種頻率與頻率分辨率的比值為常數(shù)Q的時(shí)頻域變換方法，能直接完成按音高排列的頻率變換[16-17]．所以本文利用常數(shù)Q變換，取代傳統(tǒng)的二維傅里葉變換(two-Dimension Fourier Transform, DFT)，進(jìn)行樂音結(jié)構(gòu)的分析，能高效地得到符合十二平均律的單音音級(jí)圖．

1 分析框架

當(dāng)信號(hào)由諧波組合主導(dǎo)時(shí)，音級(jí)圖能有效地用更簡(jiǎn)明的方式描述信號(hào)[18]．所以，在音樂信息檢索中，音級(jí)圖廣泛應(yīng)用于樂曲調(diào)性和調(diào)式的描述或估計(jì)中[19-21]．音級(jí)圖的提取一般包括預(yù)處理、基準(zhǔn)頻率計(jì)算、頻率-音級(jí)映射和后處理4個(gè)步驟．

本文選擇CQT進(jìn)行預(yù)處理，得到頻率與頻率分辨率比值不變的頻譜．基準(zhǔn)頻率計(jì)算或稱“調(diào)音”，是對(duì)實(shí)際演奏中樂器的基準(zhǔn)音高的頻率進(jìn)行估計(jì)，由于本文錄制單音已知基準(zhǔn)音高，所以無(wú)需此步驟．頻率-音級(jí)的映射實(shí)現(xiàn)音級(jí)形式的表示圖，將頻譜圖轉(zhuǎn)換成音級(jí)圖，考慮所有的頻率成分，即可得到音級(jí)分布(Pitch Class Distribution, PCD)，PCD是對(duì)聲音中所有細(xì)節(jié)的表示．后處理中的平滑是用于音樂片段的，對(duì)單音的結(jié)果影響不大，因此亦無(wú)需此步驟，僅在后處理中進(jìn)行歸一化．因此，本文的算法流程如圖1所示．

圖1 音級(jí)圖提取算法流程Fig.1 Flowchart of chroma extraction

2 常數(shù)Q變換

實(shí)際上，常數(shù)Q變換是一種多窗口的傅立葉變換，用不同的時(shí)間窗長(zhǎng)度在不同頻率上實(shí)現(xiàn)不同的頻率分辨率[16]．在采樣頻率fs一定時(shí)，頻率分辨率與信號(hào)時(shí)長(zhǎng)N(即窗長(zhǎng))成反比，頻率分辨率Δ=fs/N．所以，當(dāng)需要保持頻率與頻率分辨率的比值一定時(shí)，可以得到相應(yīng)頻率fi的窗長(zhǎng)為N(i)如下式：

(1)

所以，信號(hào)x(n)的CQT系數(shù)X(fi)可用式(2)實(shí)現(xiàn)：

(2)

式中：W(fi,n)為頻率fi的窗函數(shù)．

CQT系數(shù)還可用矩陣形式表示，即

X=T·xmatrix，

(3)

(4)

式中：X為CQT系數(shù)；變換核T[19]為F×M的矩陣，F(xiàn)為變換系數(shù)個(gè)數(shù)(頻點(diǎn)數(shù))，M為最大窗長(zhǎng)．當(dāng)N(fi)

3 頻率-音級(jí)映射算法

由于采用帶加權(quán)函數(shù)的音級(jí)分布，所以樂音的音級(jí)分布變?yōu)椋?/p>

(5)

式中：n=1,2,…,12；XN(fi)是信號(hào)經(jīng)過N點(diǎn)CQT得到的短時(shí)平均譜；w(p,fi)表示在音高p上頻率fi的權(quán)重系數(shù)，加權(quán)后的能量值表示該樂音在頻率fi處對(duì)音高p的貢獻(xiàn)．加權(quán)函數(shù)恒等于1時(shí)相當(dāng)于不采用加權(quán)函數(shù)．頻率距離音高對(duì)應(yīng)的頻率越遠(yuǎn)，它對(duì)該音高的貢獻(xiàn)越小，所以采用余弦或三角函數(shù)是較常見的做法[19]．本文采用三角加權(quán)函數(shù)時(shí)，設(shè)頻率fi與音高p對(duì)應(yīng)頻率fp的距離為d，則

(6)

式中：m是使距離d的模|d|最小的整數(shù)，則加權(quán)函數(shù)可以寫成：

(7)

式中：l是加權(quán)窗的長(zhǎng)度．在常數(shù)Q變換得到的頻譜中，d可簡(jiǎn)化為d=(i+bins·k-ip)·12/bins(單位為半音)，k是使|d|最小的整數(shù)，ip即為音高p對(duì)應(yīng)的頻率位置．

加權(quán)之后，對(duì)相同音級(jí)內(nèi)的音高進(jìn)行累加，從而得到音級(jí)能量分布．式(5)中的M(fi)=n就是頻率fi至音級(jí)n的映射函數(shù)，實(shí)現(xiàn)最終的能量累加．

(8)

類似地，由于采用CQT，式(8)可簡(jiǎn)化為

(9)

式中：k是使i+bins·k大于iref的最小整數(shù)；iref為基準(zhǔn)音高對(duì)應(yīng)的頻率位置．

最后，在得到音級(jí)能量分布后，對(duì)其進(jìn)行歸一化處理，即令音級(jí)能量分布的最大值為1，得到最終的音級(jí)圖Chroma．

4 結(jié)果及分析

本文使用44.1kHz采樣頻率、16bit的單聲道素材，所有素材均為演奏單音的自然衰減樣本(見表1)，未使用任何演奏技巧且彈奏前按十二平均律校準(zhǔn)，調(diào)音標(biāo)準(zhǔn)為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)音高A4=440Hz．

作為對(duì)音樂信號(hào)的處理，頻率分辨率選為10音分已足夠反應(yīng)音樂的調(diào)式等信息[21]，所以，將CQT和映射算法中的參數(shù)bins設(shè)為120，得到分辨率Δf為1200/bins=10音分．本文為分析樂音結(jié)構(gòu)，將加權(quán)窗長(zhǎng)度設(shè)為一個(gè)半音(100音分)，這種長(zhǎng)度能使各音級(jí)不重疊地覆蓋全頻域，相應(yīng)音高范圍內(nèi)的頻點(diǎn)只對(duì)該音高有貢獻(xiàn)．此外，由于基準(zhǔn)音高不影響對(duì)單音的分析，且已知錄制的素材均采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)A4音(440Hz)作為基準(zhǔn)音高，所以算法中的基準(zhǔn)音高為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)A4音(440Hz)．

4.1 音級(jí)圖提取

分別提取中國(guó)彈撥樂器142個(gè)單音和西方彈撥樂器290個(gè)單音的音級(jí)圖(圖2)，圖中橫坐標(biāo)為12個(gè)音級(jí)，縱坐標(biāo)為歸一化的能量值．兩類樂器的音級(jí)圖表現(xiàn)略有差異，中西彈撥樂器的音級(jí)圖上較突出的音級(jí)(能量較大)通常都不超過3個(gè)，但較突出音級(jí)的分布卻有明顯不同(見圖3，圖4)，主要表現(xiàn)在數(shù)量和與彈奏單音的音高所屬的音級(jí)(此后稱音高音級(jí))的距離上．

圖2中兩種樂器演奏的音高相同，但音級(jí)圖結(jié)果卻有著較大的差別，圖2(b)中最大的音級(jí)為G，等于音高音級(jí)，且其他音級(jí)能量均很小，而圖2(a)中有3個(gè)比較大的音級(jí)，其中最大的音級(jí)為D，并不是音高音級(jí)G，出現(xiàn)這種情況可能的原因有兩個(gè)： 一是因?yàn)閺椬鄻菲鞯膯我粢舾咂x標(biāo)準(zhǔn)音高；二是受樂器共振系統(tǒng)的影響，突出了彈奏單音的較高次諧波，使最大音級(jí)離開音高音級(jí)．針對(duì)第一個(gè)原因，計(jì)算了所有分析素材的基頻，然后檢驗(yàn)彈奏的單音音高是否偏離了標(biāo)準(zhǔn)音高．

圖2 G4音的音級(jí)圖Fig.2 The chromagram of the single note G4

為考察單音基頻與標(biāo)準(zhǔn)音高頻率的偏離程度，采用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)音高A4=440Hz，在十二平均律下，計(jì)算各單音基頻與標(biāo)準(zhǔn)音高頻率間的差值，得到各單音音高相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)音高的偏移距離：

(10)

從表2中可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論中國(guó)還是西方的單音素材，相對(duì)偏移距離均不超過0.0293(即50音分，2(50/1 200)-1≈0.0293)，均未超過半個(gè)加權(quán)窗長(zhǎng)(50音分)，所以單音基頻的偏離對(duì)音級(jí)圖中的最大音級(jí)位置產(chǎn)生的影響較小，基本可以忽略，并認(rèn)為彈奏的單音是準(zhǔn)確的，未偏離標(biāo)準(zhǔn)音高，所以中西彈撥樂器音級(jí)圖上反應(yīng)出來(lái)的樂音結(jié)構(gòu)的不同是由樂器本身的差異造成的．

4.2 能量較大的音級(jí)的分布情況

在彈奏的單音準(zhǔn)確時(shí)，音級(jí)圖中仍然出現(xiàn)了能量較大的非音高音級(jí)．為探討音級(jí)圖中的能量分布情況，發(fā)現(xiàn)能量較大音級(jí)與音高音級(jí)間的關(guān)系，對(duì)兩類樂器的音級(jí)圖進(jìn)行統(tǒng)計(jì)： 按半音距離統(tǒng)計(jì)不小于閾值的音級(jí)數(shù)量，得到能量較大音級(jí)與音高音級(jí)間的距離，并計(jì)算各距離的概率；計(jì)算各類樂器不小于閾值的音級(jí)數(shù)量，得到不同的較大音級(jí)數(shù)量在單音中出現(xiàn)的概率．

能量較大音級(jí)的閾值是一個(gè)需要通過觀察與反復(fù)試驗(yàn)設(shè)定的值，不同閾值反映的情況有所不同，本文取閾值范圍包括0.1，0.2，0.3，0.4，0.5和0.7，得到兩類樂器單音中各距離的出現(xiàn)概率和各音級(jí)數(shù)量的出現(xiàn)概率，見圖3和圖4．圖中橫坐標(biāo)為樂器單音中其余11個(gè)音級(jí)與能量較大音級(jí)的距離，縱坐標(biāo)為出現(xiàn)概率．

圖3 閾值為0.1時(shí)，音級(jí)圖的能量分布情況Fig.3 The energy distribution of sound level graphs when threshold is 0.1

圖4 閾值為0.7時(shí)，音級(jí)圖的能量分布情況Fig.4 The energy distribution of sound level graphs when threshold is 0.7

從圖3(a)和圖4(a)中可以看出，無(wú)論何種閾值，中西彈撥樂器單音中能量較大的音級(jí)與音高音級(jí)的間距分布情況都是類似的，出現(xiàn)概率最大的3種距離按降序排列為0，7，4，但總體看來(lái)，中國(guó)彈撥樂器中距離為7和4的出現(xiàn)概率明顯大于西方彈撥樂器，而且，西方單音中能量較大音級(jí)與音高音級(jí)的距離為4的出現(xiàn)概率都低于0.05，而中國(guó)彈撥樂器的即使在閾值達(dá)到0.7時(shí)都不低于0.05．若將概率小于0.05的事件視為小概率事件，則可認(rèn)為西方彈撥樂器中只有距離音高音級(jí)為0和7時(shí)音級(jí)的能量才會(huì)比較大，而中國(guó)彈撥樂器中距離為0，7和4時(shí)音級(jí)能量較大．

從能量較大的音級(jí)數(shù)量上來(lái)看，閾值較低時(shí)，如圖3(b)，中西彈撥樂器都有10%以上的單音包含至少兩個(gè)能量較大的音級(jí)，但中國(guó)彈撥樂器中能量較大的音級(jí)的單音比例明顯高于西方樂器，當(dāng)閾值為0.7時(shí)，如圖4(b)，中國(guó)彈撥樂器中包含兩個(gè)能量較大的音級(jí)的單音比例才減少到10%以下，而西方彈撥樂器在閾值達(dá)到0.4時(shí)就只有約8%的單音包含至少兩個(gè)能量較大的音級(jí)．所以說(shuō)，包含一個(gè)以上能量較大音級(jí)的單音的出現(xiàn)概率在中國(guó)彈撥樂器中大于西方彈撥樂器，說(shuō)明中國(guó)彈撥樂器發(fā)出的單音中有較多音級(jí)同時(shí)具有較大的能量．

4.3 各類樂器的整體音級(jí)圖

為表示各類樂器的樂音結(jié)構(gòu)，可以對(duì)單音音級(jí)圖進(jìn)行進(jìn)一步的處理，從上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，音高音級(jí)通常為單音中能量最大的音級(jí)，且對(duì)于同一類樂器，其他能量較大音級(jí)與音高音級(jí)間的距離具有一定規(guī)律，因此，將單音音級(jí)圖中的音高音級(jí)的音級(jí)序號(hào)視為1，可得到相對(duì)于音高音級(jí)的音級(jí)能量分布圖(以下簡(jiǎn)稱相對(duì)音級(jí)圖)，即可對(duì)不同音高的單音音級(jí)圖進(jìn)行處理，然后對(duì)同一類樂器的單音相對(duì)音級(jí)圖進(jìn)行平均，從而得到該類樂器的整體音級(jí)圖，表示該類樂器各音級(jí)相對(duì)于音高音級(jí)的能量分布情況，見圖5，橫坐標(biāo)為音級(jí)序號(hào)，序號(hào)1表示音高音級(jí)，縱坐標(biāo)為歸一化能量值．

圖5 兩類樂器的整體音級(jí)圖Fig.5 Integrated chromagrams of two categories of musical instruments

從圖5中可以看出，除了音高音級(jí)，中國(guó)民族彈撥樂器中有兩個(gè)音級(jí)較突出(具有較大的能量)，而西方彈撥樂器中只有一個(gè)．中國(guó)民族彈撥樂器中兩個(gè)較突出的音級(jí)與音高音級(jí)的距離分別為4和7個(gè)半音，西方的為7個(gè)半音，該結(jié)果與圖3和圖4中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果一致，說(shuō)明在中國(guó)民族彈撥樂器的樂音結(jié)構(gòu)中明顯存在與音高音級(jí)相距為4和7個(gè)半音的音級(jí)，而西方彈撥樂器的樂音結(jié)構(gòu)中僅明顯存在相距為7個(gè)半音的音級(jí)．

4.4 討論

從上述結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，中國(guó)彈撥樂器中較大的能量，除了音高音級(jí)，只出現(xiàn)在與音高相距4個(gè)或7個(gè)半音的音級(jí)上，而西方樂器，除了音高音級(jí)，則只出現(xiàn)在相距7個(gè)半音的音級(jí)上，見表3．然而，由于在音級(jí)圖中不考慮音高的高度，只考慮音級(jí)，所以在計(jì)算距離的時(shí)候無(wú)論正負(fù)，均進(jìn)行模運(yùn)算，即除以12后保留余數(shù)，即得到0～11范圍內(nèi)的距離值．因此，距離為4和7實(shí)際包含了4種可能的距離： 距離為4時(shí)，該音級(jí)可能比音高音級(jí)高了4個(gè)半音或低了8個(gè)半音，即大三度或小六度；距離為7時(shí)，該音級(jí)可能比音高音級(jí)高了7個(gè)半音或低了5個(gè)半音，即純五度或純四度．所以，在中國(guó)彈撥樂器單音內(nèi)部的樂音結(jié)構(gòu)中存在純五度、純四度、大三度和小六度的關(guān)系，而在西方彈撥樂器單音中則只存在純五度和純四度．

表3 音級(jí)圖中常見的能量較大音級(jí)與音高音級(jí)的距離

在樂音協(xié)和感的研究中，音程協(xié)和性是一個(gè)重要方面，西方協(xié)和音程理論認(rèn)為完全協(xié)和音程為純五度和純四度[6]，而民族彈撥樂器的協(xié)和音程主觀評(píng)價(jià)實(shí)驗(yàn)顯示，協(xié)和性較高的音程為大三度、純五度和純四度[11]．中西方的協(xié)和音程都出現(xiàn)在了各自的單音內(nèi)部樂音結(jié)構(gòu)中，說(shuō)明協(xié)和音程的產(chǎn)生很可能源于樂器單音的樂音結(jié)構(gòu)中所包含的音程關(guān)系．

5 結(jié) 語(yǔ)

本文采用常數(shù)Q變換，提取樂器單音的音級(jí)圖作為分析樂器單音內(nèi)部樂音結(jié)構(gòu)的工具，共提取了4種中國(guó)民族彈撥樂器和4種西方彈撥樂器的常用單音的音級(jí)圖．通過對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)以下兩個(gè)主要結(jié)論：

1) 包含一個(gè)以上能量較大音級(jí)的單音的出現(xiàn)概率在中國(guó)彈撥樂器中大于西方彈撥樂器，說(shuō)明中國(guó)民族彈撥樂器發(fā)出的單音中有較多音級(jí)同時(shí)具有較大的能量；

2) 中國(guó)彈撥樂器的單音樂音結(jié)構(gòu)中較大的能量，除了音高音級(jí)，只出現(xiàn)在與音高相距4個(gè)或7個(gè)半音的音級(jí)上，即與基頻存在純五度、純四度、大三度或小六度的音程關(guān)系，而西方樂器，則只出現(xiàn)在相距7個(gè)半音的音級(jí)上，即與基頻存在純五度或純四度的音程關(guān)系．

無(wú)論是中國(guó)還是西方彈撥樂器，樂音結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的音程關(guān)系，都屬于各自音樂理論中協(xié)和性較高的音程或主觀實(shí)驗(yàn)中協(xié)和性較高的音程，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系為解釋協(xié)和音程提供了一種可能性——協(xié)和音程的產(chǎn)生可能是來(lái)源于樂器單音內(nèi)部的樂音結(jié)構(gòu)中能量較大的音級(jí)與音高音級(jí)組成的音程關(guān)系．

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