使用數(shù)學(xué)模型選擇的方法對(duì)古典鋼琴演奏中樂(lè)句節(jié)奏類型的決定因素進(jìn)行建模

李圣辰

(北京郵電大學(xué) 信息光子學(xué)與光通信研究院，北京 100876)

在古典鋼琴演奏中，樂(lè)句中節(jié)奏線條的變化可以被分為若干類[1-2].為了方便描述，我們將每類樂(lè)句中節(jié)奏線條變化的平均值稱為節(jié)奏型[3].在實(shí)際鋼琴演奏當(dāng)中，在不同樂(lè)句中選用不同的節(jié)奏型是構(gòu)成演奏過(guò)程中音樂(lè)表現(xiàn)力的一種方式.演奏者在演奏過(guò)程中對(duì)于某一樂(lè)句中節(jié)奏型的選擇受很多不同因素的影響，演奏者在演奏過(guò)程中對(duì)于節(jié)奏型的選擇成為音樂(lè)學(xué)研究的課題之一.通過(guò)了解演奏者如何設(shè)計(jì)和選擇節(jié)奏型，可以更好地了解演奏中表現(xiàn)力的形成機(jī)制，為進(jìn)行音樂(lè)表現(xiàn)力客觀評(píng)價(jià)和生成音樂(lè)表現(xiàn)力打下基礎(chǔ).

由于影響演奏中節(jié)奏變化的因素眾多，現(xiàn)特將演奏者在演奏過(guò)程中對(duì)于樂(lè)句節(jié)奏型的選擇因素抽象為兩種概括性因素： 樂(lè)句本身的屬性和前序樂(lè)句中采用節(jié)奏型，并使用不同的假設(shè)建立不同的貝葉斯圖模型，然后通過(guò)數(shù)學(xué)模型選擇的方法來(lái)對(duì)兩種因素對(duì)節(jié)奏型選取的影響進(jìn)行測(cè)試.

本文選取的兩種節(jié)奏型決定性因素是基于眾多已有音樂(lè)學(xué)研究做出的.在已有的音樂(lè)學(xué)研究成果中，有關(guān)于節(jié)奏型決定因素，或就某一樂(lè)句中節(jié)奏變化的研究不在少數(shù).Widmer等[4-5]就計(jì)算機(jī)如何合成有表現(xiàn)力的節(jié)奏變化進(jìn)行了討論.對(duì)于節(jié)奏表現(xiàn)力的合成，一般使用基于經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法.計(jì)算機(jī)根據(jù)鋼琴演奏者已有的錄音，將樂(lè)譜與相應(yīng)的節(jié)奏變化相關(guān)聯(lián).當(dāng)計(jì)算機(jī)要為一個(gè)未曾學(xué)習(xí)過(guò)的樂(lè)句合成有表現(xiàn)力的節(jié)奏變化時(shí)，會(huì)找出與被合成樂(lè)句相似度最高的已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的樂(lè)句，然后利用已學(xué)得的經(jīng)驗(yàn)為待合成樂(lè)句合成具有表現(xiàn)力的節(jié)奏變化.因此，根據(jù)已有文獻(xiàn)，樂(lè)句本身的各種特性可以對(duì)節(jié)奏型的選擇產(chǎn)生影響.

除去樂(lè)句本身的特性，在文獻(xiàn)[4]中，作者還指出了有關(guān)時(shí)序特征對(duì)于生成樂(lè)句節(jié)奏表現(xiàn)力的潛在影響.實(shí)際上，計(jì)算機(jī)音樂(lè)學(xué)的經(jīng)典理論之一就是使用二次函數(shù)曲線來(lái)擬合音樂(lè)演奏中節(jié)奏的變化[6].這種基于數(shù)學(xué)擬合的分析方法正是基于節(jié)奏變化中的時(shí)序特性.在傳統(tǒng)的基于規(guī)則的計(jì)算機(jī)音樂(lè)分析系統(tǒng)KTH中[7]，樂(lè)句中節(jié)奏變化的影響因素也同時(shí)包含了樂(lè)句本身的屬性(如調(diào)性)和演奏時(shí)節(jié)奏時(shí)序序列的特性.

由于在一首樂(lè)曲中，同一樂(lè)曲的各個(gè)屬性一定相同，我們使用在樂(lè)曲中的樂(lè)句位置來(lái)代表樂(lè)句自身屬性這一概念，并用被分析樂(lè)句的前序樂(lè)句所選擇的節(jié)奏型來(lái)代表演奏時(shí)節(jié)奏的時(shí)序序列特性.盡管這兩個(gè)高度抽象的概念不足以就樂(lè)句中節(jié)奏型的選取做出詳盡的解讀，但是通過(guò)對(duì)兩種因素的對(duì)比和測(cè)試，我們?nèi)匀豢梢詫?duì)這兩種因素對(duì)樂(lè)句節(jié)奏型的影響關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)略地了解.

在本文中，我們使用貝葉斯圖模型對(duì)兩種抽象概念對(duì)樂(lè)句節(jié)奏型選取的影響做出不同的假設(shè).貝葉斯圖模型，或稱概率圖模型，是一種對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行分析，并對(duì)隨機(jī)變量間的關(guān)系進(jìn)行描述的方法[8].我們根據(jù)樂(lè)句的位置和樂(lè)句前序節(jié)奏型對(duì)于當(dāng)前樂(lè)句節(jié)奏型的選取做出不同的假設(shè)，并根據(jù)相應(yīng)假設(shè)構(gòu)建了4個(gè)相應(yīng)的貝葉斯圖模型，即根據(jù)1) 樂(lè)句節(jié)奏型選取與樂(lè)句位置和前序樂(lè)句節(jié)奏型無(wú)關(guān)；2) 樂(lè)句節(jié)奏型選取僅與樂(lè)句位置相關(guān)；3) 樂(lè)句節(jié)奏型選取僅與前序樂(lè)句節(jié)奏型相關(guān)；4) 樂(lè)句節(jié)奏型選取僅與樂(lè)句位置和前序樂(lè)句節(jié)奏型二者都相關(guān)等4種假設(shè)并構(gòu)建相應(yīng)的貝葉斯圖模型.我們將測(cè)試各貝葉斯圖模型，并根據(jù)它們的表現(xiàn)來(lái)評(píng)估4個(gè)假設(shè)的可行性.

為了測(cè)試4個(gè)候選貝葉斯圖模型的表現(xiàn)，我們選用信息論中的相對(duì)熵和交叉熵作為衡量候選貝葉斯圖模型(以下簡(jiǎn)稱候選模型)的衡量標(biāo)準(zhǔn).在信息論中，交叉熵和相對(duì)熵均被用于對(duì)兩個(gè)數(shù)據(jù)的信息差異進(jìn)行測(cè)量.我們將數(shù)據(jù)集按照一定比例分為兩部分： 訓(xùn)練集和測(cè)試集.我們利用候選模型求得在不同樂(lè)句位置節(jié)奏型序列的分布情況，并比較兩個(gè)數(shù)據(jù)集中分布的差異.如果在某個(gè)特定的候選模型下，根據(jù)訓(xùn)練集得到的模型能夠在驗(yàn)證集中獲得較大模型似然概率，則說(shuō)明該模型性能良好.除了經(jīng)典的相對(duì)熵和交叉熵，我們還使用相對(duì)熵與測(cè)試集信息熵之比作為衡量候選貝葉斯圖模型的衡量標(biāo)準(zhǔn).

本文各個(gè)測(cè)試的數(shù)據(jù)庫(kù)有兩個(gè)來(lái)源： 一個(gè)是公開(kāi)的肖邦瑪祖卡數(shù)據(jù)庫(kù)，一個(gè)是文獻(xiàn)[1]中所使用的伊斯拉美數(shù)據(jù)庫(kù).瑪祖卡數(shù)據(jù)庫(kù)由英國(guó)錄音歷史與分析中心(Centre for the History and Analysis of Recorded Music, CHARM)研究組公布，并被諸多相關(guān)研究[2，9]所引用.該數(shù)據(jù)庫(kù)含有5首肖邦瑪祖卡的數(shù)據(jù)，但為定義樂(lè)句節(jié)奏型，本文參照文獻(xiàn)[1]只選取了其中兩首(Op.24/2和Op.30/2).數(shù)據(jù)庫(kù)中均包含3首樂(lè)曲的多個(gè)演奏版本，其中包括25個(gè)伊斯拉美版本，64個(gè)瑪祖卡Op.24/2版本和34個(gè)瑪祖卡Op.30/2版本.

1 樂(lè)句節(jié)奏型的定義

教師通過(guò)設(shè)疑引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行文章的閱讀，在閱讀的過(guò)程中，學(xué)生就會(huì)感覺(jué)到真理與實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)不相符，這時(shí)學(xué)生的創(chuàng)造性就被激發(fā)出來(lái)，產(chǎn)生類似于“為什么在同樣的情形下，石頭比棉花下落得快”的疑問(wèn)。此時(shí)教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽說(shuō)出自己的質(zhì)疑，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證自己的猜測(cè)，或者尋找相關(guān)資料來(lái)幫助學(xué)生解除困惑。通過(guò)這種形式，學(xué)生一方面對(duì)教材內(nèi)容有深刻的了解，另一方面也踐行了文章敢于質(zhì)疑、追求真理的中心思想。此外，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和批判性思維也具有重要意義。

(1)

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的方法，使用高斯混合模型對(duì)于樂(lè)句內(nèi)節(jié)奏的分布進(jìn)行建模，并取在交叉驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證集模型似然概率最大的高斯混合模型來(lái)定義節(jié)奏型，即為肖邦瑪祖卡Op.24/2定義8個(gè)節(jié)奏型，為肖邦瑪祖卡Op.30/2定義4個(gè)節(jié)奏型，為伊斯拉美定義2個(gè)節(jié)奏型.如果我們賦予每個(gè)節(jié)奏型以相應(yīng)的顏色，使用色塊代表數(shù)據(jù)庫(kù)中每次演奏中的每個(gè)樂(lè)句所采用的節(jié)奏型，我們可以得到節(jié)奏變換圖[11].

下面我們以肖邦瑪祖卡Op.24/2為例，展示一幅節(jié)奏變換圖(圖1).在節(jié)奏變換圖中，每一行代表一位演奏家的演奏，每一列代表一個(gè)樂(lè)句，每種色塊代表一種節(jié)奏型.兩個(gè)節(jié)奏型的節(jié)奏變化線條越相近，則其表示顏色亦越接近.通過(guò)觀察圖1，我們發(fā)現(xiàn)在本文中提出的樂(lè)句位置和節(jié)奏型時(shí)序序列的兩種潛在樂(lè)句節(jié)奏型決定因素有其合理性.觀察每一列，不同樂(lè)句的節(jié)奏型采用分布有較大差異.如果我們將每一列的節(jié)奏型分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可以得到不同樂(lè)句中節(jié)奏型采用情況的分布.在圖2中，我們以肖邦瑪祖卡Op.24/2為例，展示不同樂(lè)句的節(jié)奏型采用情況.在圖2中，每一列代表一個(gè)樂(lè)句.此外，被采用的節(jié)奏型比例按照節(jié)奏型的相似程度相排列，其中節(jié)奏型的配色方案與圖1中節(jié)奏型的配色方案相同.在圖3(見(jiàn)第170頁(yè))中，我們統(tǒng)計(jì)了當(dāng)某個(gè)特定節(jié)奏型出現(xiàn)后在下一樂(lè)句各個(gè)節(jié)奏型的分布情況.通過(guò)觀察圖3，我們可以發(fā)現(xiàn)采用不同節(jié)奏型的樂(lè)句，后續(xù)樂(lè)句的節(jié)奏型采用分布各不相同.比如，在采用節(jié)奏型8的樂(lè)句，后續(xù)樂(lè)句的節(jié)奏型一般為8；而采用節(jié)奏型5的樂(lè)句，后續(xù)樂(lè)句選用節(jié)奏型2的情況較多.

圖1 節(jié)奏變換圖(肖邦瑪祖卡Op.24/2)Fig.1 Tempo variegation map (Chopin Mazurka Op.24/2)

圖2 每個(gè)樂(lè)句使用的節(jié)奏型統(tǒng)計(jì)(肖邦瑪祖卡Op.24/2)Fig.2 The expressive timing cluster used for each phrase in Chopin Mazurka Op.24/2

至此，我們完成了定義節(jié)奏型的工作，亦通過(guò)觀察節(jié)奏型的分布再次驗(yàn)證了本文所擬假設(shè)的合理性.下面，我們將對(duì)各個(gè)假設(shè)所對(duì)應(yīng)的貝葉斯圖模型進(jìn)行說(shuō)明.

2 候選貝葉斯圖模型

根據(jù)對(duì)于節(jié)奏變換圖的觀察和對(duì)已有研究成果的參考，我們擬定了4個(gè)候選貝葉斯模型： 1) 獨(dú)立模型(Independent Model, IM)： 樂(lè)句節(jié)奏型的選取與樂(lè)句位置和前序樂(lè)句節(jié)奏型無(wú)關(guān)；2) 位置模型(Positional Model, PM)： 樂(lè)句節(jié)奏型的選取僅與樂(lè)句位置相關(guān)；3) 時(shí)序模型(Sequential Model, SM)： 樂(lè)句節(jié)奏型的選取僅與前序樂(lè)句節(jié)奏型相關(guān)；4) 聯(lián)合模型(Joint Model, JM)： 樂(lè)句節(jié)奏型的選取與樂(lè)句位置和前序樂(lè)句節(jié)奏型均相關(guān).4個(gè)候選模型所對(duì)應(yīng)的貝葉斯圖模型分別表示為圖 4(a)，圖 4(b)，圖 4(c)和圖 4(d)(見(jiàn)第170頁(yè)).在圖 4中，每個(gè)橢圓形中的變量被看作是一個(gè)隨機(jī)變量，箭頭表示隨機(jī)變量間的依賴關(guān)系，即如果A→B，則B事件的概率分布受A事件的概率分布影響.對(duì)于被分析的樂(lè)句，其節(jié)奏型被記為節(jié)奏型2；被分析樂(lè)句前序樂(lè)句所采用的節(jié)奏型被記為節(jié)奏型1.

(3)

(4)

圖3 每種節(jié)奏型被選用后后續(xù)樂(lè)句采用樂(lè)句型的分布Fig.3 The distribution of expressive timing cluster after a certain expressive timing cluster is engaged in a phrase

圖4 候選貝葉斯圖模型中變量關(guān)系的假設(shè)Fig.4 The assumptions between variables in the candidate Bayesian graphical models

(5)

(6)

3 模型評(píng)估方法

(7)

式(7)中，對(duì)數(shù)所選取的底數(shù)不影響本文實(shí)驗(yàn)中的各結(jié)論.為了保持相關(guān)變量的物理意義，本文中各數(shù)據(jù)結(jié)果取底數(shù)為2.

在信息論中，交叉熵(Hc)的定義為：

Hc=-∑plogq.

(8)

由此可以看出交叉熵和交叉驗(yàn)證中的模型似然具有等效關(guān)系，故我們可以利用P和Q的交叉熵來(lái)衡量候選模型的表現(xiàn).由于在不同的測(cè)試中，測(cè)試集P的復(fù)雜度并不一致，而P的復(fù)雜度在信息論中通過(guò)求取P的信息熵來(lái)進(jìn)行衡量(HP)，因此可以使用交叉熵與測(cè)試集Q的信息熵之差作為衡量模型表現(xiàn)的一種方式，而這種方式在數(shù)學(xué)上與信息論中相對(duì)熵(Hr)的定義等效，即：

(9)

相對(duì)熵可以通過(guò)求取交叉熵與測(cè)試集Q的信息熵來(lái)避免由于測(cè)試集Q的復(fù)雜程度差別導(dǎo)致的模型評(píng)估誤差.同理，我們亦可使用交叉熵與測(cè)試集Q的信息熵之比來(lái)衡量候選模型的表現(xiàn)，以避免由于測(cè)試集Q的復(fù)雜程度所帶來(lái)的模型評(píng)估誤差，即交叉熵比(Δ)：

(10)

我們將此評(píng)估參數(shù)稱為交叉熵比，以便于下文中的表示.對(duì)于我們所選擇的交叉熵、相對(duì)熵和交叉熵比等3個(gè)模型選擇參數(shù)，我們將在后文中就其各自特點(diǎn)進(jìn)行討論.

4 模型評(píng)估結(jié)果

本部分將分析使用交叉熵、相對(duì)熵和交叉熵比對(duì)候選模型進(jìn)行測(cè)試的結(jié)果.在展示具體結(jié)果前，我們首先就本部分實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)進(jìn)行說(shuō)明.由于本實(shí)驗(yàn)所采用的模型選擇參數(shù)(交叉熵、相對(duì)熵和交叉熵比)均與交叉驗(yàn)證中的模型似然在數(shù)學(xué)上等效，因此，我們?cè)跍y(cè)試集和訓(xùn)練集的劃分過(guò)程中采用交叉驗(yàn)證中常用的五折分析法.我們首先將數(shù)據(jù)劃分為5部分，每次選取一部分作為測(cè)試集，剩下的4部分作為訓(xùn)練集，訓(xùn)練得到模型，并求出根據(jù)該模型觀察到驗(yàn)證集數(shù)據(jù)出現(xiàn)的似然概率.然后重復(fù)該過(guò)程4次，每次選用不同的部分作為測(cè)試集.最后，將5次得到的驗(yàn)證集似然概率進(jìn)行平均，以得到一次五折實(shí)驗(yàn)的結(jié)果.

為避免五折實(shí)驗(yàn)過(guò)程中劃分五折帶來(lái)的隨機(jī)性影響，每首樂(lè)曲均進(jìn)行了100次五折實(shí)驗(yàn)，這100次五折實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證集平均模型似然概率如表1所示.

表1 模型評(píng)估結(jié)果

注： 加黑的數(shù)字為同一曲目表現(xiàn)最好的模型.

在表1中，我們展示了4個(gè)候選模型在我們選擇的3首樂(lè)曲中的表現(xiàn).需要注意的是，表中采用的相對(duì)熵、交叉熵和交叉熵比均使用負(fù)邏輯，故數(shù)值越小表示模型表現(xiàn)越好.根據(jù)結(jié)果，在3首被選取的樂(lè)曲中，我們選取的3個(gè)模型選擇參數(shù)均給出了相同的評(píng)估結(jié)果，即： 聯(lián)合模型優(yōu)于時(shí)序模型，時(shí)序模型優(yōu)于獨(dú)立模型，獨(dú)立模型優(yōu)于位置模型.

在評(píng)估模型對(duì)數(shù)據(jù)的契合程度時(shí)，除了模型能夠達(dá)到的最優(yōu)效果，數(shù)據(jù)魯棒性也是重要的參考指標(biāo)之一.所謂數(shù)據(jù)魯棒性，是指當(dāng)用于訓(xùn)練模型的數(shù)據(jù)非常有限時(shí)，所得到模型的表現(xiàn).為了測(cè)試魯棒性，我們更改數(shù)據(jù)庫(kù)中訓(xùn)練集和測(cè)試集的比例，并觀察各個(gè)參考模型的表現(xiàn).在表2中，我們展示了在魯棒性測(cè)試實(shí)驗(yàn)中，各個(gè)候選模型表現(xiàn)最差與最好的交叉熵比之比，故較小的數(shù)值表示較好的數(shù)據(jù)魯棒性.

表2 候選貝葉斯圖模型的數(shù)據(jù)魯棒性

從表2中我們可以看到，各個(gè)候選模型的數(shù)據(jù)魯棒性與候選模型的復(fù)雜度成反比，即越復(fù)雜的模型(參數(shù)越多的模型)，其數(shù)據(jù)魯棒性越好.在候選模型中，魯棒性最好的模型是獨(dú)立模型，其他候選模型的排位是位置模型，時(shí)序模型和聯(lián)合模型.應(yīng)當(dāng)指出的是，候選模型僅僅有優(yōu)秀的數(shù)據(jù)魯棒性是不夠的，表2中展示的數(shù)據(jù)魯棒性結(jié)果仍然需要參考表1中候選模型對(duì)于實(shí)際數(shù)據(jù)分布的契合程度.故總體上來(lái)說(shuō)，獨(dú)立模型和位置模型的高數(shù)據(jù)魯棒性仍然不足以彌補(bǔ)其在模型評(píng)估結(jié)果中的糟糕表現(xiàn).

需要指出的是，對(duì)于伊斯拉美這首樂(lè)曲，由于其單個(gè)演奏所含的可用訓(xùn)練數(shù)據(jù)點(diǎn)較多，時(shí)序模型的數(shù)據(jù)魯棒性要強(qiáng)于位置模型的魯棒性.綜合候選模型的表現(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)時(shí)序模型的魯棒性雖然沒(méi)有獨(dú)立模型和位置模型強(qiáng)，但是根據(jù)其優(yōu)良的模型表現(xiàn)，我們認(rèn)為時(shí)序模型在數(shù)據(jù)極其有限時(shí)可以被用來(lái)作為樂(lè)句節(jié)奏型預(yù)測(cè)的貝葉斯圖模型以替代復(fù)雜度較高的聯(lián)合模型.

根據(jù)以上結(jié)果，我們可以看出，前序樂(lè)句節(jié)奏型和樂(lè)句位置對(duì)于單一樂(lè)句節(jié)奏型的選擇均具有重要的影響.對(duì)于僅僅考慮前序樂(lè)句節(jié)奏型的時(shí)序模型來(lái)說(shuō)，其對(duì)于樂(lè)句節(jié)奏型選取的預(yù)測(cè)結(jié)果仍然較為準(zhǔn)確.而樂(lè)句位置的信息僅在與節(jié)奏型時(shí)序信息綜合的基礎(chǔ)上，可以取得更加準(zhǔn)確的效果.需要注意的是，如果僅僅考慮樂(lè)句位置，相關(guān)候選模型的表現(xiàn)甚至低于基于普通統(tǒng)計(jì)規(guī)律的獨(dú)立模型.因此，對(duì)于僅僅利用樂(lè)句位置信息來(lái)探究樂(lè)句節(jié)奏型選取的計(jì)算音樂(lè)學(xué)方法來(lái)說(shuō)，其結(jié)果的可靠性可能需要被重新考慮.

我們?cè)趯?shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)不同的模型選擇參數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)集隨機(jī)性的魯棒性也各不相同.理論上，隨著訓(xùn)練集所占數(shù)據(jù)庫(kù)的比例由小到大，模型選擇參數(shù)應(yīng)當(dāng)呈現(xiàn)一條U形曲線，即： 在模型訓(xùn)練集所占數(shù)據(jù)庫(kù)比例較小時(shí)，模型表現(xiàn)隨訓(xùn)練集比例增加而提高；在模型訓(xùn)練集所占數(shù)據(jù)庫(kù)比例超過(guò)一定數(shù)值時(shí)，由于測(cè)試集較小，不能代表實(shí)際數(shù)據(jù)的分布，導(dǎo)致模型表現(xiàn)隨訓(xùn)練集比例增高而降低.實(shí)際實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行了100次五折實(shí)驗(yàn)，然而100次五折數(shù)據(jù)劃分只占所有五折劃分可能的一小部分，故測(cè)試集組成的隨機(jī)特性仍然不會(huì)完全消除，故實(shí)驗(yàn)結(jié)果不會(huì)呈現(xiàn)理想的U形曲線.

我們將選取的模型選擇參數(shù)隨訓(xùn)練集所占數(shù)據(jù)庫(kù)比例的變化情況畫成一條曲線，根據(jù)曲線一階變化的過(guò)零率來(lái)判斷模型選擇參數(shù)隨訓(xùn)練集所占數(shù)據(jù)庫(kù)比例變化的單調(diào)性.理論上，模型選擇參數(shù)隨數(shù)據(jù)庫(kù)比例變化的曲線僅有一次單調(diào)性改變，故選擇參數(shù)隨訓(xùn)練集所占數(shù)據(jù)庫(kù)比例的一階變化過(guò)零率應(yīng)當(dāng)很小.在本文中選取的3個(gè)模型選擇參數(shù)隨訓(xùn)練集所占數(shù)據(jù)庫(kù)比例的一階變化過(guò)零率如表3所示.在表3中，較高的過(guò)零率被以斜體顯示，意味著此時(shí)該模型選擇參數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性最為敏感.根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)，交叉熵對(duì)于數(shù)據(jù)隨機(jī)性最為敏感，相對(duì)熵比次之，相對(duì)熵對(duì)于數(shù)據(jù)隨機(jī)性最不敏感.因此，在衡量?jī)蓚€(gè)模型的差異時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先選用相對(duì)熵或交叉熵比，避免使用交叉熵.

表3 模型選擇參數(shù)受數(shù)據(jù)集隨機(jī)性影響的比較

注： 數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)集比例與模型表現(xiàn)的曲線的一次差值的過(guò)零率，數(shù)據(jù)越小表示模型選擇參數(shù)受數(shù)據(jù)隨機(jī)性的影響越小.

5 結(jié) 語(yǔ)

本文調(diào)查了古典鋼琴演奏中每個(gè)樂(lè)句節(jié)奏型選取的潛在影響因素.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，古典鋼琴演奏中每個(gè)樂(lè)句節(jié)奏型的選取受節(jié)奏型序列的影響，而樂(lè)句本身屬性對(duì)于樂(lè)句節(jié)奏型的影響應(yīng)當(dāng)疊加在節(jié)奏序列的影響之上.如果作為一個(gè)獨(dú)立的影響因素，樂(lè)句本身的屬性對(duì)于演奏中樂(lè)句節(jié)奏型的選取較為有限.

本文一共測(cè)試了4種候選貝葉斯圖模型，每種模型假設(shè)節(jié)奏型時(shí)序序列和樂(lè)句位置對(duì)于單一樂(lè)句節(jié)奏型造成不同的影響.通過(guò)比較相對(duì)熵、交叉熵和本文新列舉的交叉熵比等3項(xiàng)模型選擇參數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)考慮節(jié)奏型時(shí)序序列和樂(lè)句位置均對(duì)樂(lè)句節(jié)奏型造成影響的聯(lián)合模型較其他候選模型的表現(xiàn)更好.在僅有有限數(shù)據(jù)進(jìn)行模型訓(xùn)練時(shí)，僅考慮前序節(jié)奏型的時(shí)序模型由于具有更低的模型復(fù)雜度而具有更強(qiáng)的模型數(shù)據(jù)魯棒性.比較本文所采用的模型選擇參數(shù)： 交叉熵、相對(duì)熵和交叉熵比，我們發(fā)現(xiàn)交叉熵比受訓(xùn)練集隨機(jī)性的影響較小，故在使用貝葉斯圖模型進(jìn)行評(píng)估時(shí)，可以考慮使用相對(duì)熵與交叉熵比作為模型選擇的依據(jù).

本文利用了3個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)對(duì)于決定樂(lè)句節(jié)奏型的因素進(jìn)行了探索性的研究，但由于本文所采用的節(jié)奏型定義方法是根據(jù)文獻(xiàn)[1]所提出的，受樂(lè)曲中樂(lè)句長(zhǎng)度的限制，故無(wú)法被大規(guī)模應(yīng)用于大型數(shù)據(jù)集上.亦鑒于此，文中的各項(xiàng)結(jié)論的適用范圍仍有待進(jìn)一步探索.此外，如大規(guī)模數(shù)據(jù)集得以應(yīng)用，則文中所抽象的樂(lè)句位置和前序樂(lè)句節(jié)奏型的概念亦可展開(kāi).以樂(lè)句位置為例，其籠統(tǒng)地涵蓋了包含調(diào)式、旋律等諸多音樂(lè)元素，故需大量數(shù)據(jù)對(duì)其所涵蓋元素對(duì)樂(lè)句節(jié)奏型選擇造成的影響一一加以甄別.

致謝： 本文系作者在英國(guó)倫敦大學(xué)瑪麗女王學(xué)院攻讀博士學(xué)位期間的研究成果，英文版的詳細(xì)內(nèi)容可參見(jiàn)博士論文(http：∥www.eecs.qmul.ac.uk/～simond/phd/ShengchenLi-PhD-Thesis.pdf).本文工作得到了馬克·普拉博利教授，西蒙·迪克森博士和道恩·布萊克博士的指導(dǎo)，在此特表感謝.

[1] LI S, BLACK D, PLUMBLEY M. Model analysis for intra-phrase tempo variations in classical piano performances [C/OL]∥Proceedings of Computer Music Multidisciplinary Research. http：∥cmr.soc.plymouth.ac.uk/cmmr2015/proceedings.pdf.

[2] SPIRO N, GOLD N, RINK J. The form of performance： Analyzing pattern distribution in select recordings of Chopin’s Mazurka op.24 no.2 [J].MusicaeScientiae，2010，14(2)： 23-55.

[3] LI S, BLACK D, CHEW E,etal. Evidence that phrase-level tempo variation may be represented using a limited dictionary [C/OL]∥Proceedings of International Conference on Music Perception and Cognition,2014： 405-411. http：∥vbn.aau.dk/files/204037394/icmpc_apscom_2014_Proceedings_.pdf.

[4] WIDMER G, FLOSSMANN S, GRACHTEN M. YQX plays chopin [J].AIMagazine，2010，31(3)： 23-34.

[5] TOBUDIC A, WIDMER G. Relational IBL in music with a new structural similarity measure [C]∥Proceedings of the 13thInternational Conference on Inductive Logic Programming(ILP’03). Berlin Heidelberg： Springer, 2003： 365-382.

[6] TODD N. The dynamics of dynamics： A model of musical expression [J].JournalofAcousticalSocietyofAmerica，1992，91： 3540-3550.

[7] FRIBERG A, BRESIN R. Overview of the KTH rule system for musical performance [J].AdvancesinCognitivePsychology，2006，2(2-3)： 145-161.

[8] KOLLER D, FRIEDMAN N. Probabilistic graphical models： Principles and techniques [M]. Cambridge, Massachusetts： MIT Press, 2009： 733.

[9] SAPP C. Hybrid numeric/rank similarity metrics for musical performance analysis [C]∥Proceedings of International Conference on Music Information Retrieval. Philadelphia, USA： Lulu com，2008： 501-506.

[10] DIXON S. Automatic extraction of tempo and beat from expressive performances [J].JournalofNewMusicResearch，2001，30(1)： 39-58.

[11] CLAESKENS G, HJORT N. Model selection and model averaging [M]. Cambridge： Cambridge University Press, 2008： 1.