如何促進學生數(shù)學地思考
——基于陶維林老師的課堂教學分析*

●求蓮萍 葉國芳 (嵊州中學 浙江嵊州 312400))

如何促進學生數(shù)學地思考
——基于陶維林老師的課堂教學分析*

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在數(shù)學課堂教學中，如何促進學生數(shù)學地思考，如何為學生數(shù)學思考提供機會，這是非常重要的.基于對陶維林老師“基本不等式”一課的分析，發(fā)現(xiàn)陶老師在促進學生數(shù)學思考上的一些有益的做法：少而精的課堂問題驅(qū)動、教師表述與板書，這不僅為學生的數(shù)學思考提供了框架，也提供了學生冷靜思考的時間與空間.

學生；數(shù)學思考；課堂教學

2015年6月的一天，筆者所在學校迎來了一位尊貴的客人——南師大附中的數(shù)學特級教師陶維林老師.陶老師是人民教育出版社新課標教材的參編者，也是新課程教材培訓的講師團成員，他10多年前寫的《幾何畫板教程》已成經(jīng)典.陶老師雖年屆七旬，但精神抖擻，思維敏捷,并親自為青年教師們上了一堂示范課——“基本不等式”.課上得很成功，對青年教師們的震動很大，大家感覺茅塞頓開，驚呼“課原來可以這樣上”，紛紛撰文書寫體會，效仿實踐.那么，陶老師的課到底是如何上的，特色在哪呢？

1 課堂簡錄

上課伊始，師生互致問候后，教師借助多媒體展示問題1.

問題1 大家學習等差數(shù)列與等比數(shù)列時，曾經(jīng)接觸到2個重要概念——等差中項、等比中項.2個數(shù)的等差中項與等比中項哪個大？

問題1展示后，學生沒動手，教師提示后，學生開始動手演算.在學生獨立思考、演算后，教師請學生回答.

生1：等差中項大于等比中項.

(學生有的贊同，有的不贊同.教師請其中1位不贊同的學生回答.)

生2：等差中項大于等于等比中項.

(部分學生贊同.)

師：有不同的答案嗎？

(有4位學生舉手，教師請其中1位學生回答.)

生3：當2個數(shù)為負數(shù)時，它的等差中項為負數(shù)，等比中項為正數(shù)，等比中項大于等差中項.

(部分學生贊同該想法.)

師：等差中項和等比中項哪個大？首先，什么叫做2個數(shù)的等差中項？什么叫做2個數(shù)的等比中項？這2個概念都沒搞清楚，怎么可能去判斷哪個大呢？比如：2和-4，它們的等比中項是什么？

(學生齊答：沒有.)

師：那么這個問題的前提條件是什么？知道的請舉手.數(shù)學是玩概念的，不是玩技巧的.若概念不清楚，怎么能把數(shù)學學好呢？

(學生齊答：這2個數(shù)應同號.)

師：首先這2個數(shù)是同號的.第2個問題：2個同號的數(shù)的等比中項是什么？比如a和b，這2個數(shù)的等比中項是什么？

(教師沉默，給學生一定的時間思考、演算，然后師生一起歸納，教師板書結(jié)果如下：

師：好，現(xiàn)在知道這個問題應該怎么分析了吧，首先要把概念搞清楚，然后分類討論.今天我們主要討論第1種情況，即2個數(shù)都是正數(shù)的情況……

(教師借助多媒體呈現(xiàn)以下內(nèi)容：

師：你能用文字語言來表述這個不等式嗎？

生4：2個正數(shù)和的一半大于等于2個正數(shù)……

(學生回答遇困.)

師：“2個正數(shù)和的一半”描述得很形象，我們把它稱為算術(shù)平均.還可以怎樣描述？

生5：2個正數(shù)的算術(shù)平均大于等于這2個正數(shù)的幾何平均.

師：2個正數(shù)的算術(shù)平均大于等于這2個正數(shù)的幾何平均.或者說2個正數(shù)的算術(shù)平均不小于這2個正數(shù)的幾何平均.

接著教師展示問題2：

(讓學生獨立思考、演算，教師巡視、指導，然后逐一請學生板書，展示過程.)

生6：方法1 由(a-b)2≥0,得

a2+b2+2ab≥4ab,

即

即

從而

師：你是怎么想到的？

生6：方法1中不等式2邊平方；方法2是作差，證明差大于等于0.

師：生6想到了平方與作差，這些方法非常重要.還有其他方法嗎？

圖1 圖2

生9：如圖2，S正方形ABCD=a2+b2≥4S△ABE=2ab.

(此時，下課鈴響，學生10舉手，經(jīng)教師同意后板書自己的解法.)

(眾生發(fā)出驚嘆聲.)

師：能想到反證法，很好.由于時間限制，還有許多方法沒有時間展示，課后，請同學們把剛才的幾種方法整理一下，相互交流，可能還會有第7、第8種證法.下節(jié)課我們再進行探討.

2 課后反思

陶維林老師曾說：把時間還給學生，就是把原本屬于學生的時間還給學生，把練習的時間還給學生，把活動的時間還給學生，把思考的時間還給學生……讓他們來觀察、來歸納、來概括、來探究、來交流、來參與舉例、來參與定義、來參與再創(chuàng)造……，教師不要去占、去爭、去搶，而是參與到學生的活動中去[1].在這堂課中，陶老師以實際行動踐行了上述理念，設(shè)身處地把時間留給學生，有效地促進了學生數(shù)學地思考.具體體現(xiàn)在以下幾個方面：

2.1 提出的問題少而精

當代美國著名數(shù)學家哈爾莫斯曾說：“數(shù)學真正的組成部分應該是問題和解，問題才是數(shù)學的心臟，把問題作為數(shù)學教學的出發(fā)點，是現(xiàn)代數(shù)學教學的又一條原則.”然而在數(shù)學課堂中，部分教師缺乏對問題的深入研究，泛泛而問，表面上看，學生回答問題不斷，師生互動頻頻，但由于提出的問題過于膚淺或瑣碎而無法觸及學生的思維深處.在這堂課里，陶老師結(jié)合學生前面已學的知識，從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，只設(shè)計了2個問題，就將本課內(nèi)容串起，而學生在問題驅(qū)動下能思、能說、能做，積極思維.由此可以看到，一個好的精煉的問題能“牽一發(fā)而動全身”，從而能留出盡可能多的時間讓學生思考.

2.2 教師的話少而精

整堂課里，陶老師自己的話語不多，除了在2個概念(等差中項、等比中項)的辨析階段，師生間開展了必要且有成效的交流外，其余時間只是說一些簡短的提醒語、激勵語，但給學生留出了總共近17分鐘(整堂課課時40分鐘)的獨立思考、演算時間，很多時候課堂處于一種“靜”的狀態(tài).上課一開始，師生互致問候后，教師多媒體展示問題1，但陶老師一言不發(fā)，在看到學生還沒動筆時，陶老師說了幾句提醒話，于是學生開始動手演算.該階段共有近3分30秒的時間供學生思考、演算，然后在明確2個中項的大小比較要分情形討論后，又給學生一定的演算時間，最后在證明不等式時，給了學生11分鐘的思考、演算時間.同時，每當一個學生回答或解決了問題，總是叫答題者引導其余學生來評價，而不是首先由教師評價.

在當前的課堂教學中，常有這樣的現(xiàn)象：教師提出問題后，沒過幾秒，馬上就讓學生回答，給學生思考的時間很短，甚至沒有，導致學生的思考未及深處，其發(fā)言也往往不得要領(lǐng).而此時，有的教師馬上轉(zhuǎn)問他人或開始新的提問；有的教師唯恐學生回答不完整或不正確，自己主動去補充或糾正答案.整堂課，總是充斥著教師個人的“噪音”，總是越俎代庖，從而使課堂教學成了教師的個人秀.顯然，這樣的教學只能使學生成為“熟練工”，但很難成為“思想者”.

古語云：“寧靜致遠.”教師要有意識地去精煉自己的語言，控制自己的“噪音”，把省下的時間留給學生思考，從而創(chuàng)造出數(shù)學教學的“靜”界.我們的課堂不能僅僅是秩序井然，更要有民主與寬松的氛圍.學生自己能學會的，盡量不教；學生應該想辦法學會的，盡量少教；學生難以學會的，盡量去搭“腳手架”間接教.本堂課，陶老師有意地控制自己的講授時間，很多時候一言不發(fā)，只在關(guān)鍵處作些追問與接話，而學生在這種時而寧靜、時而熱烈的和諧氛圍中思維被激活、智慧在放飛，我們真切地感受到的是一堂如沐春風般的、富有生命力的高效課堂.

2.3 教師的板書少而精

目前，高中數(shù)學課堂上還存在著教師講得過多、寫得過多的問題，部分教師對于學生課堂板演環(huán)節(jié)的必要性認識不足.在課堂上，我們常能看到：教師邊講邊寫，從黑板左上角寫到右下角，滿黑板都是個人的杰作，完全剝奪了學生板演的時間和空間，還自鳴得意.實際上，教師的板演突出的是講授和示范，但如果只有教師的板演，學生則只能永遠被動地接受，不利于調(diào)動學生學習的積極性和主動性.而通過讓學生板演，則能改變以上弊端，彌補教師板演的不足.將學生的不同思路和念頭展示出來，應視為一種思想與精神的交流和享受，從而讓學生親歷成功所帶來的認可與肯定，進一步強化其積極的自我評價.

詩人陸游說：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”通過板演，就是要給學生搭起一個可以“躬行”的舞臺，讓學生在這個舞臺上說出自己的想法，秀出自己的精彩，充分激發(fā)、揭示學生的思維活動，培養(yǎng)學生的課堂參與意識，從而進一步調(diào)動學生的學習積極性和主動性.本堂課，陶老師自己寫得很少，而把時間、空間毫不吝嗇地留給學生，于是就有了學生6種證法的精彩展示，從而給課堂帶來了一波又一波的高潮.

章建躍曾指出：“數(shù)學教師區(qū)別于數(shù)學家，關(guān)鍵是他能在自己理解好數(shù)學的前提下，對數(shù)學知識做出符合學生認知水平的解釋，使靜態(tài)的、結(jié)果性的現(xiàn)成知識轉(zhuǎn)化為生動的、易于被學生理解的形式.”[2]德國數(shù)學家第斯多惠認為：“教育的藝術(shù)不在于傳授知識和本領(lǐng)，而在于激勵、喚醒和鼓舞.”本堂課的設(shè)計，正順應了這一導向，由于陶老師做到了對教材內(nèi)容的本質(zhì)把握和內(nèi)在聯(lián)系的深入理解，作出了與眾不同的巧妙設(shè)計.綜觀整堂課，教師在往少而精努力——少而精的課堂問題驅(qū)動、少而精的教師表述、少而精的教師板書，而學生卻在不停地思考，積極地交流，從而使教學有序、和諧、高效地展開，這種教學理念與實踐值得我們?nèi)ホ`行、去豐富.

[1] 陶維林.從“把時間還給學生”說起[J].數(shù)學通訊，2011(7)：1-4.

[2] 章建躍.數(shù)學學習與智慧發(fā)展[J].中學數(shù)學教學參考，2015(7)：4-10.

??2016-10-17；

2016-11-22

求蓮萍(1983-)，女，浙江紹興人，中學一級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O122.3

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1003-6407(2017)03-13-04