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    樸實(shí)出新 平淡見(jiàn)真
    ——“集合與常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)”高考復(fù)習(xí)專(zhuān)題*

    2017-03-15 13:20:19熊豐羽寧波中學(xué)浙江寧波315004
    關(guān)鍵詞:充分條件用語(yǔ)復(fù)數(shù)

    ●熊豐羽 (寧波中學(xué) 浙江寧波 315004)

    樸實(shí)出新 平淡見(jiàn)真
    ——“集合與常用邏輯用語(yǔ)、復(fù)數(shù)”高考復(fù)習(xí)專(zhuān)題*

    ●熊豐羽 (寧波中學(xué) 浙江寧波 315004)

    集合與常用邏輯用語(yǔ)是高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容,復(fù)數(shù)也是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容,2者都是高考必考的知識(shí)點(diǎn).考查題型多為選擇題、填空題,分值和難度也相對(duì)穩(wěn)定.復(fù)習(xí)中不但要掌握這些章節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí),而且要領(lǐng)悟其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

    集合;常用邏輯用語(yǔ);復(fù)數(shù)

    1 知識(shí)內(nèi)容

    根據(jù)《考試說(shuō)明》,2017年浙江省數(shù)學(xué)高考“集合與常用邏輯用語(yǔ)”的考試內(nèi)容包括:集合及其表示、元素與集合的關(guān)系、集合間的基本關(guān)系、集合的基本運(yùn)算;命題的4種形式、充分條件、必要條件和充要條件.復(fù)數(shù)部分的考試內(nèi)容有:復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算以及幾何意義、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.與《2016年考試說(shuō)明》比較,常用邏輯用語(yǔ)的考試內(nèi)容有顯著變化,刪掉了“了解邏輯聯(lián)結(jié)詞‘或’‘且’‘非’的含義;理解全稱(chēng)量詞和存在量詞的意義;能正確對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定”.

    2 命題分析

    2.1 集合與常用邏輯用語(yǔ)

    集合與常用邏輯用語(yǔ)是高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的內(nèi)容,是每年高考必考的知識(shí)點(diǎn).考查題型多為選擇題、填空題,分值和難度也相對(duì)穩(wěn)定.其中集合部分考向主要有2個(gè):1)考查集合的基本概念、結(jié)合函數(shù)、方程、不等式知識(shí)考查集合的基本關(guān)系及運(yùn)算(這類(lèi)問(wèn)題一般難度不大).2)以集合為背景的創(chuàng)新性問(wèn)題(這類(lèi)問(wèn)題充分體現(xiàn)了集合作為基本數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具的一面,試題新穎,難度較大).常用邏輯用語(yǔ)的命題主要圍繞2點(diǎn):1)4種命題及其關(guān)系,特別是否命題;2)判斷充分條件、必要條件和充要條件.這是考查的重點(diǎn),復(fù)習(xí)時(shí)一定要辨析清楚3者的區(qū)別.考查題型以選擇、填空題為主.當(dāng)然由于常用邏輯用語(yǔ)的基礎(chǔ)性,因此除了單獨(dú)考查外,常用邏輯用語(yǔ)還常常作為簡(jiǎn)化解題過(guò)程的基本思想和策略出現(xiàn),如命題的等價(jià)轉(zhuǎn)換、利用必要條件等.

    2.2 復(fù)數(shù)

    主要考查復(fù)數(shù)的概念、幾何意義及四則運(yùn)算,特別是乘法運(yùn)算和除法運(yùn)算,求復(fù)數(shù)的模.常常將復(fù)數(shù)的概念、幾何意義和四則運(yùn)算融合在一起命題.試題一般比較容易,是高考中的得分點(diǎn).復(fù)習(xí)時(shí)只需理解復(fù)數(shù)概念,熟練掌握復(fù)數(shù)四則運(yùn)算.

    3 典題剖析

    例1 已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},則P∪(CRQ)=

    ( )

    A.[2,3] B.(-2,3]

    C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

    (2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析 正確答案為B.本題主要考查集合的并集、補(bǔ)集,是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考試題看,集合的基本運(yùn)算是必考考點(diǎn),也是考生必定得分的題目之一.它可以與求函數(shù)定義域、值域、解不等式等相結(jié)合,增大了考查的覆蓋面.解題時(shí)可以借助數(shù)軸、韋恩圖進(jìn)行運(yùn)算.

    例2 設(shè)A,B是有限集,定義d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素個(gè)數(shù).

    ①對(duì)任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件.

    ②對(duì)任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).

    ( )

    A.命題①和命題②都成立

    B.命題①和命題②都不成立

    C.命題①成立,命題②不成立

    D.命題①不成立,命題②成立

    (2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

    分析 正確答案為A.本題取材于人教A版《數(shù)學(xué)》必修1的“閱讀與思考”,背景是容斥原理,有一定的難度,關(guān)鍵是理解題意并合理利用容斥原理、韋恩圖等工具解決問(wèn)題.card(A∪B)≥card(A∩B)當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)等號(hào)成立,從而命題①成立.根據(jù)容斥原理可知

    d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)

    ? card(A)+card(C)-2card(A∩C)≤card(A)+

    card(C)+2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)?card(B∩C)+card(A∩B)-2card(B)≤card(A∩C),這個(gè)式子顯然成立.當(dāng)然容斥原理在高考中不作要求,因此本題也可以通過(guò)韋恩圖分析.

    例3 設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的

    ( )

    A.充要條件

    B.充分而不必要條件

    C.必要而不充分條件

    D.既不充分也不必要條件

    (2016年天津市數(shù)學(xué)高考試題)

    分析 充分、必要條件一般來(lái)說(shuō)有3種判斷方法.1)定義法:直接判斷“若p則q”“若q則p”的真假,并注意和圖示相結(jié)合,例如“p?q”為真,則p是q的充分條件.2)等價(jià)法:對(duì)于條件或結(jié)論為否定式的命題,可以利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性,先分析逆否命題.3)集合法:若A?B,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件.

    本題中可將條件a2n-1+a2n<0作等價(jià)轉(zhuǎn)化,即

    a2n-1+a2n<0?a1(q2n-2+q2n-1)<0?

    q2(n-1)(q+1)<0?q∈(-∞,-1),

    因此“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的必要不充分條件.故選C.

    (2016年天津市數(shù)學(xué)高考試題)

    圖1

    例5 已知函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3x+1,若x∈[2,+∞)時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍.

    (2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考大綱卷試題)

    ( )

    A.-4B.-3C.3D.4

    (2015年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷試題)

    分析 由題意可得

    2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,

    從而

    a=4.

    復(fù)數(shù)題主要考查其代數(shù)形式的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模等知識(shí)點(diǎn),一般屬于容易題.復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)準(zhǔn)確區(qū)分復(fù)數(shù)的相關(guān)概念(如實(shí)部、虛部),熟練掌握四則運(yùn)算.

    4 精題集萃

    1.l1,l2表示空間中的2條直線(xiàn),若p:l1,l2是異面直線(xiàn);q:l1,l2不相交,則

    ( )

    A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件

    B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件

    C.p是q的充分必要條件

    D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件

    2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為

    ( )

    A.77B.49C.45D.30

    3.設(shè)S,T是2個(gè)非空子集,如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足:1)T={f(x)|x∈S};2)對(duì)任意x1,x2∈S,當(dāng)x1

    ( )

    A.A=N*,B=N

    B.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0

    C.A={x|0

    D.A=Z,B=Q

    4.設(shè)整數(shù)n≥4,集合X={1,2,3,…,n},令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且3個(gè)條件x

    ( )

    A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S

    B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S

    C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S

    D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

    p1:對(duì)任意(x,y)∈D,x+2y≥-2.

    p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2.

    p3:對(duì)任意(x,y)∈D,x+2y≤3.

    p4:存在(x,y)∈D,x+2y≤-1.

    其中的真命題是

    ( )

    A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3

    6.i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(1-2i)(a+i) 是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.

    7.設(shè)全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},則(CUA)∩B=______.

    8.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同時(shí)滿(mǎn)足條件:

    ①任意x∈R,f(x)<0或g(x)<0;

    ②任意x∈(-∞,-4) ,f(x)g(x)<0,

    則m的取值范圍是______.

    9. 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列4個(gè)關(guān)系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4,有且只有1個(gè)是正確的,則符合條件的有序數(shù)組(a,b,c,d)的個(gè)數(shù)是______.

    10.已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù),設(shè)集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}.

    1)當(dāng)q=2,n=3時(shí),用列舉法表示集合A;

    2)設(shè)s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n,證明:若an

    參 考 答 案

    1. A 2.C 3.D 4.B 5.B

    6.-2 7.{7,9} 8.m∈(-4,-2) 9.6

    10.1)A={0,1,2,3,4,5,6,7}.

    2) 證明 由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n及an

    s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+

    (an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1≤

    故s

    ??2016-12-22;

    2017-01-23

    熊豐羽(1977-),男,浙江寧波人,中學(xué)高級(jí)教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.

    O14

    A

    1003-6407(2017)03-28-03

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