例談2個(gè)動(dòng)點(diǎn)間距離最值問題的幾種解題途徑*

●楊偉達(dá) (花都區(qū)第二中學(xué) 廣東廣州 510820)

例談2個(gè)動(dòng)點(diǎn)間距離最值問題的幾種解題途徑*

●楊偉達(dá) (花都區(qū)第二中學(xué) 廣東廣州 510820)

有關(guān)距離的最值問題在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有舉足輕重的地位，在全國(guó)各地的高考試題中也頻頻出現(xiàn).它呈現(xiàn)出變化多、涉及面廣、形式靈活的特點(diǎn)，分值影響著數(shù)學(xué)高考的難度，其出現(xiàn)常常成為數(shù)學(xué)高考難度的“風(fēng)向標(biāo)”.

動(dòng)點(diǎn);距離;最值;解題途徑

眾所周知，距離問題本是一個(gè)古老的話題[1].但在每年的高考中，它常常成為專家命題的第一視角，是許多學(xué)生在數(shù)學(xué)考試中的絆腳石.因此，在解題中若能處理好有關(guān)距離的最值問題，則將對(duì)快速解題產(chǎn)生事半功倍的效果.下面是筆者從不同角度對(duì)2個(gè)動(dòng)點(diǎn)間距離最值問題進(jìn)行析疑解惑，凸顯“動(dòng)”的魅力，煥發(fā)出“新”的活力.

1 借助特殊曲線，尋求等價(jià)替換

有這樣的一類題：2個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在常見的特殊曲線上，且該特殊曲線具有特殊的性質(zhì).此時(shí)可以通過觀察圖形，利用圖形的特殊性質(zhì)求得最值.

例1 已知⊙C的方程：x2+y2+2x-4y+3=0.

1)略;

2)從⊙C外一點(diǎn)P(x,y)向圓引一條切線，M為切點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點(diǎn)P坐標(biāo).

分析 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在圓外，另一個(gè)在圓上，且這2個(gè)動(dòng)點(diǎn)的連線恰好是圓的切線(特殊).解決此題的關(guān)鍵在于利用圓的特殊性質(zhì)，找到切線長(zhǎng)作為等價(jià)替換，問題即可解決.

化簡(jiǎn)得2x1-4y1+3=0(這就是點(diǎn)P滿足的軌跡方程).

因?yàn)閨PM|=|PO|，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值.而|PO|的最小值可轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線2x1-4y1+3=0的距離，即

聯(lián)立方程組

解得

( )

圖1

分析 如圖1，畫出草圖，不難發(fā)現(xiàn)2條曲線相離，且位置比較特殊.觀察可知，曲線上2個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最短距離轉(zhuǎn)化為2個(gè)頂點(diǎn)(定點(diǎn))間的距離，此時(shí)問題就變得簡(jiǎn)單了.

解 因?yàn)镸,N間距離的最小值是5,所以橢圓與拋物線不相交.

如圖1，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)與橢圓上頂點(diǎn)的距離就是動(dòng)點(diǎn)M,N之間距離的最小值.拋物線的頂點(diǎn)N(0,2m2)，橢圓的頂點(diǎn)M(0,3)，從而動(dòng)點(diǎn)M,N之間距離的最小值為5,于是

2m2-3=5,

解得m=±2.故選B.

2 借助三角函數(shù)，尋求合二為一

1)將曲線C和直線l化為直角坐標(biāo)方程;

2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l距離的最大值.

(2016年廣東省廣州市第二次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)理科試題第23題)

分析 此類型題在數(shù)學(xué)高考全國(guó)卷的選做題中常常出現(xiàn).比較快捷的解決方法是利用參數(shù)方程表示曲線上的某一動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題.

3 借助數(shù)形結(jié)合，凸顯直觀形象

有這樣的一類題：它們的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在某區(qū)域內(nèi)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在某特殊曲線上.此時(shí)2個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的距離問題可轉(zhuǎn)化為一個(gè)定點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)某一動(dòng)點(diǎn)的距離最值問題.

( )

分析 此題涉及線性規(guī)劃問題.先將不等式組表示成平面區(qū)域，再根據(jù)圓的特殊性質(zhì),通過數(shù)形結(jié)合可解決問題.

圖2

解 由題意：平面區(qū)域D表示△ABO(含邊緣)的陰影部分，且A(0，3)，O(0，0)，B(1，1)；圓心C的坐標(biāo)為(5，0)，半徑為1(如圖2所示).要求2個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的距離，可轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離,即先求圓心C到△ABO的陰影部分內(nèi)任一動(dòng)點(diǎn)的距離.經(jīng)觀察可知，BC距離為最小,AC距離為最大,于是

4 借助二次函數(shù)，尋求配方到位

有這樣的一類題：2個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在常見的特殊曲線上，且這些動(dòng)點(diǎn)均可以用含參坐標(biāo)表示.此時(shí)可以直接運(yùn)用距離公式，把它轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)然后求得最值.

例5 如圖3，以正方體的3條棱所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上.當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究|PQ|的最小值.

(人教版《數(shù)學(xué)(選修2-1)》第113頁(yè)習(xí)題B組的

第2題)

圖3

分析 這是一道課本習(xí)題.2個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別在2條異面直線上，關(guān)鍵是把動(dòng)點(diǎn)用含參坐標(biāo)表示出來(lái)，再轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求最值.

解 設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為a.點(diǎn)P在對(duì)角線AB上運(yùn)動(dòng)，從而可設(shè)P(λ,λ,a-λ)(其中0≤λ≤a).又點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)，從而可設(shè)Q(0,a,μ)(其中0≤μ≤a),于是

|PQ|2= (0-λ)2+(a-λ)2+(μ-a+λ)2=

5 借助導(dǎo)數(shù)工具，尋求轉(zhuǎn)換條件

有這樣的一類題:它們的一動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)函數(shù)圖像上，另一動(dòng)點(diǎn)在另一個(gè)函數(shù)(分段函數(shù))圖像上.若運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式，則方法簡(jiǎn)單，但運(yùn)算復(fù)雜，只能可望而不可及；此時(shí)若能借助導(dǎo)數(shù)這一工具，利用切線間的距離，則比較容易求得最值.

( )

分析 此題涉及到2個(gè)函數(shù)圖像上的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，關(guān)鍵在于分別求出2條曲線上切線的最值，此時(shí)2條切線互相平行.此類問題要注意進(jìn)行檢驗(yàn)，防止“多一個(gè)”或“漏一個(gè)”.

解得a=2.

圖4

[1] 楊偉達(dá).淺談解析幾何中幾種常見的最值問題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2014(7)：15-16.

??2016-09-14；

2016-10-28

楊偉達(dá)(1973-)，男，廣東廣州，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-06-03