要效果也要效率
——一道高考?jí)狠S題的方法探究與高考第2輪復(fù)習(xí)啟示*

●錢大林 (嚴(yán)州中學(xué)新校區(qū) 浙江建德 311600)

●沈 良 (蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311202)

要效果也要效率
——一道高考?jí)狠S題的方法探究與高考第2輪復(fù)習(xí)啟示*

●錢大林 (嚴(yán)州中學(xué)新校區(qū) 浙江建德 311600)

●沈 良 (蕭山區(qū)第五高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311202)

如何站在整體、系統(tǒng)的高度有效進(jìn)行二輪復(fù)習(xí)是一個(gè)重要的課題.文章通過一道高考?jí)狠S題的方法探究，從“一題多解,規(guī)劃‘解’的重點(diǎn)”“一題多變,定位‘變’的重心”“多題一解,把握‘一’的核心”這3個(gè)方面研究如何開展專題復(fù)習(xí),讓二輪復(fù)習(xí)既有效果又有效率.

方法探究;復(fù)習(xí)啟示;效果效率

教學(xué)是有目標(biāo)的行為,每一節(jié)課都必須為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)而努力[1].有效果的教學(xué),即課堂能達(dá)成培育學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo).有效率的教學(xué),即教師能遵循教學(xué)活動(dòng)的客觀規(guī)律,順應(yīng)學(xué)情,減少非本質(zhì)的影響,以盡可能少的時(shí)間投入,達(dá)成我們所預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).高三的第1輪復(fù)習(xí)通過問題復(fù)習(xí)方法,第2輪以專題提升能力,該階段更要站在整體、系統(tǒng)的高度,不斷優(yōu)化思維過程,培養(yǎng)學(xué)生見到問題選擇方法的批判思維,總體提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)與方法的綜合能力.筆者通過對(duì)2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題第2)小題的方法探究,就如何讓高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)既富有效果又富有效率,談?wù)勛约旱南敕?懇請(qǐng)同行批評(píng)指正.

題目 設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R).

2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn),且0≤b-2a≤1,求b的取值范圍.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第20題)

1 命題意圖探究

從問題敘述上看,該題延續(xù)了浙江省高考命題以往的風(fēng)格——題干通俗易懂、簡(jiǎn)潔明了.試題的題型和背景熟悉而常見,有著“起點(diǎn)低、入口寬、多層次、區(qū)分好”的特色.第1)小題與第2)小題采用并列的形式設(shè)計(jì),2者獨(dú)立不關(guān)聯(lián).第1)小題是學(xué)生非常熟悉的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題求解,屬于基礎(chǔ)考查;第2)小題是一道情境熟悉、角度變換、穩(wěn)定考查基礎(chǔ)、推陳出新的考題,它給學(xué)生一種熟悉又不知道從何處下手的感覺,較好地考查了學(xué)生在解決二次函數(shù)零點(diǎn)問題上知識(shí)與方法的綜合運(yùn)用能力,難度較大.

2 第2)小題解法探究

思路1 運(yùn)用線性規(guī)劃方法解決

這是比較大眾化的想法，是把二次函數(shù)零點(diǎn)的分布轉(zhuǎn)化為對(duì)稱軸、端點(diǎn)函數(shù)值、判別式等等價(jià)條件.依題知

下面可令x=a,y=b作出相應(yīng)可行域,如圖1～2所示，研究y的取值范圍.

圖1 圖2

評(píng)注 該思路簡(jiǎn)單自然，分類及畫圖較繁瑣．在考場(chǎng)如戰(zhàn)場(chǎng)的解題過程中，需要我們擁有扎實(shí)的基本功和應(yīng)變能力[2]． 于是筆者自然設(shè)想，思路1是否能求簡(jiǎn)變通呢?

事實(shí)上，思路1 可以略作簡(jiǎn)化: 由于函數(shù)有零點(diǎn)，則

顯然,此解法充分利用隱含條件,將字母a的范圍縮小,起到了簡(jiǎn)化討論的作用.

思路2 運(yùn)用變更主元的方法解決

圖3

設(shè)t∈[-1,1],則t2+at+b=0,令a=x,b=y,得直線xt+y+t2=0(如圖3所示),從而關(guān)于x,y的約束條件組是

聯(lián)立

于是

聯(lián)立

從而

于是

y∈[-1,0].

評(píng)注 該思路的著力點(diǎn)是引入了零點(diǎn)t當(dāng)參數(shù),利用變更主元法，把等式t2+at+b=0看成關(guān)于a,b為主元的直線方程xt+y+t2=0(令a=x,b=y),解題效率明顯提高.

思路3 轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)解決

圖4

思路4 運(yùn)用“以值代參”方法解決

該思路中一個(gè)合乎情理的切入點(diǎn)是：如何利用思路1中發(fā)現(xiàn)的f(-2)=4+b-2a∈[4,5].于是,設(shè)t,s是f(x)的2個(gè)零點(diǎn),且t∈[-1,1],由f(x)=(x-t)(x-s),得

f(-2)=(2+t)(2+s),

從而

4≤(2+t)(2+s)≤5.

因?yàn)閠∈[-1,1],所以

當(dāng)0≤t≤1時(shí),

當(dāng)-1≤t≤0時(shí),

-3≤b<0.

評(píng)注 思路4啟示我們：聯(lián)系函數(shù)值f(-2)與參數(shù)a,b間的橋梁起到了關(guān)鍵作用.不妨把上述用函數(shù)值代替參數(shù)的關(guān)鍵處稱為“以值代參”,該方法在解題教學(xué)中具有一定的推廣價(jià)值.

3 二輪復(fù)習(xí)啟示

3.1 一題多解,規(guī)劃“解”的重點(diǎn)

解題方法的多樣性、靈活性決定了二輪復(fù)習(xí)一題多解的常態(tài)化.“解”的重點(diǎn)放在何處，關(guān)系到預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的效果.查漏補(bǔ)缺、提升綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的能力是該階段的主要教學(xué)任務(wù).因此,在課堂中是否有必要全部詳細(xì)分析上述解題思路？顯然要有取舍,要突出主次.如在簡(jiǎn)要肯定思路1的同時(shí),要順勢(shì)在思路1的基礎(chǔ)上留足時(shí)間讓學(xué)生有所改進(jìn),凸顯優(yōu)化思維過程,這是“解”的重點(diǎn)之一;至于思路2和思路3,體現(xiàn)了代數(shù)問題幾何化的觀點(diǎn),教師要啟發(fā)學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)幾何要素、怎么進(jìn)行幾何直觀、怎么進(jìn)行變更主元、怎么進(jìn)行構(gòu)造方程與函數(shù)等等,這些都是“解”的重點(diǎn)之二；對(duì)于思路4，如何用“以值代參”的想法嫁接b的取值范圍,便是“解”的重點(diǎn)之三了.

二輪復(fù)習(xí)需要關(guān)注學(xué)生對(duì)運(yùn)算實(shí)際操作的可行性分析和預(yù)判,關(guān)注如何優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu),增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力,培育學(xué)生的核心素養(yǎng),這些都是教師規(guī)劃“解”的重點(diǎn)的決策依據(jù).規(guī)劃鞏固題“解”的重點(diǎn)放在何處、詳略得當(dāng),同樣關(guān)乎我們的教學(xué)效果.

思路1 (“以值代參”法)根據(jù)題意,設(shè)2個(gè)相異的零點(diǎn)為x1,x2,且0

1

于是

-3

從而

評(píng)注 留足時(shí)間讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)用2個(gè)相異的零點(diǎn)嫁接參數(shù)a,b,進(jìn)一步得到a,b的范圍.

思路2 (變更主元法)設(shè)s,t為方程f(x)=0的解,且0

從而

于是

因此

因?yàn)?

0

故

評(píng)注 重點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)變更主元,挖掘幾何要素,其他步驟簡(jiǎn)要點(diǎn)評(píng).

思路3 (線性規(guī)劃法)依據(jù)題意知

即

圖5

即

評(píng)注 激勵(lì)學(xué)生嘗試寫出零點(diǎn)分布的等價(jià)條件組,畫出可行域及簡(jiǎn)要呈現(xiàn)范圍.

3.2 一題多變,定位“變”的重心

一題多變,能考查學(xué)生數(shù)學(xué)理解的深刻性、分析思維的靈活性及解題技能的熟練性.“變”能有效擴(kuò)大“戰(zhàn)果”.二輪復(fù)習(xí)“變”的重心定位在哪里？變條件、變?cè)O(shè)問、變參數(shù)、變方法等等,這些都應(yīng)在課前有相應(yīng)的規(guī)劃,否則容易偏離教學(xué)目標(biāo),影響二輪專題復(fù)習(xí)的效果與效率.

在日常教學(xué)時(shí)筆者發(fā)現(xiàn)：當(dāng)二次函數(shù)的零點(diǎn)問題主要考查零點(diǎn)或系數(shù)的值、范圍時(shí),學(xué)生在應(yīng)用“設(shè)而不求與設(shè)而求之”的技能上有明顯的思維定勢(shì).在解決圓錐曲線問題時(shí)，學(xué)生能熟練應(yīng)用這方面技能,但在二次函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用上卻缺少主動(dòng),數(shù)學(xué)方法的使用竟然出現(xiàn)了“章節(jié)差異”.這一現(xiàn)象主導(dǎo)著二輪復(fù)習(xí)課的“變題”，有必要鎖定這一重心,努力提升學(xué)生應(yīng)用這項(xiàng)技能的熟練性與靈活性.

變式題1 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)在[-1,1]上存在零點(diǎn),求a2+b2的取值范圍.

思路1 (設(shè)而不求)設(shè)t為函數(shù)f(x)在[-1,1]上的零點(diǎn),則t2+at+b=0,變形得at+b=-t2.由柯西不等式知

(-t2)2=(at+b)2≤(a2+b2)(t2+1)2,

于是

思路2 (設(shè)而不求)設(shè)t∈[-1,1],則

t2+at+b=0.

因此，a2+b2的取值范圍為[0,+∞).

思路 (設(shè)而求之)設(shè)函數(shù)3個(gè)不同的零點(diǎn)為x1,x2,x3,由

2)當(dāng)-1

在a∈(-1,0]上單調(diào)遞增,故

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家奧加涅相說過:“必須重視,很多例題、習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”[3]很多數(shù)學(xué)問題本身看似平淡無奇,但若能挖掘其內(nèi)涵、適當(dāng)變化,常常會(huì)有意想不到的收獲.相信學(xué)生經(jīng)歷了上述變式訓(xùn)練之后,在明算理、優(yōu)方法上一定會(huì)上一個(gè)新的臺(tái)階.

3.3 多題一解,把握“一”的核心

羅增儒先生曾倡導(dǎo)：“通過有限的典型例題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學(xué)機(jī)智.”[3]也就是說,教師在解題教學(xué)中不能僅僅停留在對(duì)解題的分析和評(píng)價(jià)上,還要善于把解決問題的思想方法進(jìn)一步推廣、延伸到其他問題的解答上,讓學(xué)生掌握貌似不同問題的統(tǒng)一解題方法與技能,形成舉一反三的能力.

二輪復(fù)習(xí)需要教師在解題后進(jìn)行提煉和升華,要做到多題一解,就要把握提煉“一”的核心是什么.當(dāng)復(fù)習(xí)真正做到多題一解時(shí),學(xué)生面對(duì)的“題?！币簿涂s成了“題盆”.“題盆”的形成,也便是二輪復(fù)習(xí)的理想狀態(tài).上述解決問題的思想都可以歸結(jié)為核心——幾何思想或代數(shù)思想.下面通過一個(gè)拓展題,再予以說明.

圖6

思路1 (幾何思想)由0≤f(a)≤1得

0≤b-2a2≤1,

令直線l:3x+2y=0,則滿足點(diǎn)集{(a,b}|0≤b-2a2≤1}中的動(dòng)點(diǎn)(a,b)到定直線l的距離為

因此

|3a+2a|∈[0,24].

令t=|3a+2b|,則t∈[0,24],所以

思路2 (代數(shù)思想)由0≤f(a)≤1得0≤b-2a2≤1，從而

4a2+3a≤3a+2b≤4a2+3a+2.

令g(a)=4a2+3a,其中a∈[-1,2]，從而

令h(a)=4a2+3a+2,其中a∈[-1,2]，從而

4 結(jié)束語

作為一名高三數(shù)學(xué)教師,應(yīng)當(dāng)經(jīng)常提醒自己:并不是所有的數(shù)學(xué)知識(shí)與方法在二輪復(fù)習(xí)階段都可以全面鋪開,一定要依據(jù)學(xué)情,學(xué)會(huì)取舍與選擇,關(guān)鍵在于“明算理、優(yōu)方法、提品質(zhì)”.要經(jīng)常想一想:我們是否真正做到了一名“眼睛里既有數(shù)學(xué)又有學(xué)生,對(duì)教育有足夠理解”的教師.二輪復(fù)習(xí)時(shí)間短、要求高,只要精致規(guī)劃,從“一題多解,規(guī)劃‘解’的重點(diǎn)”“一題多變,定位‘變’的重心”“多題一解,把握‘一’的核心”,一定能讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落實(shí)到課堂復(fù)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié),讓二輪復(fù)習(xí)既富有效果也富有效率.

[1] 裴光亞.教學(xué)的第一推動(dòng)力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(3):1.

[2] 毛良忠.一道高考?jí)狠S題的解題賞析及教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(4):33-35.

[3] 柏長(zhǎng)勝.一道課本例題結(jié)論的推廣及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(5):38-39.

??2016-10-10；

2016-11-16

錢大林(1970-)，男，浙江建德人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122

A

1003-6407(2017)03-23-05