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    拉格朗日中值定理的教學設(shè)計

    2017-03-13 08:31:59趙薩日娜
    文化創(chuàng)新比較研究 2017年31期
    關(guān)鍵詞:開區(qū)間羅爾中值

    趙薩日娜

    (吉林省經(jīng)濟管理干部學院,吉林長春 130000)

    1 教學背景

    學生通過前期教學,對于學習本節(jié)課的相關(guān)知識基礎(chǔ)而言,基本掌握了直線的斜率公式、直線的方程、函數(shù)的連續(xù)性及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)圖像的特點、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和基本求導(dǎo)公式。學生的逆向思維、創(chuàng)造思維、邏輯思維能力有待進一步開發(fā)和鍛煉。

    2 教學目標

    通過本課教學使學生理解拉格朗日中值定理及其幾何解釋;了解構(gòu)造輔助函數(shù)的思想方法和用羅爾定理證明拉格朗日定理的方法;掌握羅爾定理與拉格朗日定理的關(guān)系。從而達到鍛煉學生逆向思維、創(chuàng)造思維、邏輯思維的目的。

    3 教學方法

    主要采用講授法、數(shù)形結(jié)合法、啟發(fā)式教學等。

    4 教學內(nèi)容

    4.1 羅爾定理及其幾何意義

    若函數(shù) f(x)滿足:(1)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)f(a)=f(b),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點 ξ,使得 f′(ξ)=0。 其幾何意義如(圖 1):在端點同高的連續(xù)光滑曲線弧AB上至少有一點C,在該點處的切線是水平的。

    圖1

    圖2

    4.2 拉格朗日定理的引出

    指出定理中條件(3)f(a)=)f(b)較為苛刻,提出若去掉此條件,即,將圖1傾斜一定的角度觀察,會產(chǎn)生什么結(jié)論?從而引出拉格朗日中值定理。

    注意,先讓學生獨立思考兩分鐘,然后提問學生,引導(dǎo)其從幾何圖形的變化入手得到新結(jié)論:即如圖2拉格朗日定理的幾何解釋——連續(xù)光滑曲線弧AB上至少有一點C,在該點處的切線是平行于弦AB的。

    再根據(jù)幾何解釋得到其內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系:

    若函數(shù) f(x)滿足:(1)閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得

    4.3 拉格朗日定理的證明

    思路:構(gòu)造輔助函數(shù)g(x),要求其滿足羅爾定理條件,尤其是 g(a)=g(b)…(1),同時由羅爾定理結(jié)論能使

    證明的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù),方法很多,主要借助逆向思維、創(chuàng)造思維.這里介紹兩種典型方法。

    因此,可構(gòu)造輔助函數(shù),

    已知有g(shù)(a)=g(b),滿足輔助函數(shù)的兩個要求。由羅爾定理證得拉格朗日定理。

    圖3

    如圖3,由弧AB與弦AB端點重合的特點,試取處,其對應(yīng)的弧AB上點M與 弦AB上點N的縱坐標之差為輔助函數(shù):

    則有 F(a)=F(b)=0 且

    滿足了構(gòu)造輔助函數(shù)的兩個要求。于是由羅爾定理,稍加整理證得拉格朗日定理。

    4.4 拉格朗日定理的應(yīng)用舉例

    應(yīng)用拉格朗日中值定理推得了用函數(shù)在區(qū)間上一階導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法。

    應(yīng)用拉格朗日中值定理推得了函數(shù)在某區(qū)間上一階導(dǎo)數(shù)恒為零,則此函數(shù)在此區(qū)間上是常數(shù)。

    例 1:設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù) f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且 f(a)=f(b)。 試證在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點 ξ,使得 f(ξ)>0。

    分析:依題設(shè)可知f(x)在[a,b]上滿足羅爾定理條件,而結(jié)論為導(dǎo)函數(shù)在某點處的值大于零,因此不能用羅爾定理,可設(shè)想,如果能利用拉格朗日中值定理,而 f(x2)-f(x1)與 x2-x1同號,則命題可證。為此構(gòu)造區(qū)間。

    證:因為 f(a)=f(b),且 f(x)不為常數(shù),因此至少存在一點 c∈(a,b),使得 f(c)≠f(a)=f(b)。不妨設(shè) f(c)>f(a),在[a,c]上f(x)滿足拉格朗日中值定理條件,故至少存在一點,使由于 f(c)>f(a),c>a,可知 f′(ξ)>0,證畢。

    5 教學小結(jié)

    在現(xiàn)如今高等數(shù)學教學越發(fā)的講究實用主義教學的大環(huán)境下,為使學生更多地領(lǐng)悟數(shù)學的精神實質(zhì)和思想方法,使學生自覺地接受數(shù)學文化的熏陶,講清楚一些經(jīng)典的、重要定義、定理的來龍去脈是非常必要的,尤其應(yīng)該講清楚邏輯證明的思路及過程,使學生體會嚴密有理、絲絲入扣的數(shù)學邏輯之美。

    [1]張澤林.關(guān)于拉格朗日(Lagrange)中值定理的教學設(shè)計[J].咸寧學院學報,2005(6):24-26.

    [2]黃強聯(lián),朱蘭萍.關(guān)于Lagrange中值定理的逆命題[J].高等數(shù)學研究,2012,15(5):15-16.

    [3]劉三陽,楊國平.關(guān)于Lagrange中值定理的反問題[J].高等數(shù)學研究,2007(5):40-41.

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