在動(dòng)態(tài)中演繹，在問(wèn)題中探究
——對(duì)“平面與平面垂直”一課引發(fā)的立體幾何教學(xué)思考

夏利杰

（山東省濟(jì)南中學(xué)，山東濟(jì)南 250001）

在動(dòng)態(tài)中演繹，在問(wèn)題中探究
——對(duì)“平面與平面垂直”一課引發(fā)的立體幾何教學(xué)思考

夏利杰

（山東省濟(jì)南中學(xué)，山東濟(jì)南 250001）

立體幾何的教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，三維空間是人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力，是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特征和立體幾何的特點(diǎn)，積極探索適合學(xué)生的教學(xué)方式。

直觀感知體驗(yàn)；問(wèn)題探究；空間想象能力；邏輯思維能力

英國(guó)著名數(shù)學(xué)家M.阿蒂亞曾認(rèn)為，幾何是直觀邏輯，代數(shù)是有序邏輯。這表明，幾何不只是一個(gè)數(shù)學(xué)分支，而且是一種思維方式，它滲透到數(shù)學(xué)的所有分支。因此，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、把握?qǐng)D形的能力就成為高中學(xué)習(xí)幾何的主要目的?！翱臻g想象能力”是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出的，幾何直觀能力是本世紀(jì)最著名的數(shù)學(xué)家希爾伯特提出的，這兩種能力對(duì)于學(xué)生思維的發(fā)展和對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解都是非常重要的。在教學(xué)過(guò)程中，教師要更加關(guān)注通過(guò)對(duì)整體圖形的把握去培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力，通過(guò)“直觀感知、操作確認(rèn)、觀察發(fā)現(xiàn)、思辨論證”等學(xué)習(xí)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。本文以平面與平面垂直一課為例，談一點(diǎn)在立體幾何授課方面的體會(huì)。

1 動(dòng)手操作，直觀感知，在動(dòng)態(tài)中學(xué)習(xí)定義

在講授面面垂直的定義時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)。

探究學(xué)習(xí)1：利用你手中的正方形紙（1）對(duì)折（2）沿對(duì)角線折，使紙片折后兩部分分別所在的平面互相垂直，仔細(xì)觀察體會(huì)，你能試著給出面面垂直的定義嗎？

此環(huán)節(jié)老師邊巡視邊組織學(xué)生觀察，同時(shí)把制作好的幾何畫板動(dòng)畫在投影上展示，設(shè)置這一環(huán)節(jié)的目的是通過(guò)動(dòng)手折紙迅速的把學(xué)生組織到教學(xué)中來(lái)，同時(shí)，沿對(duì)角線折紙是為了更清晰的感知面面垂直的概念。在學(xué)生動(dòng)手折紙的同時(shí)，老師要注意培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、自我歸納的能力，比較不同的折疊方式背后的相同點(diǎn)以構(gòu)建面面垂直的概念，這個(gè)環(huán)節(jié)除了根據(jù)已經(jīng)完成的折紙實(shí)踐之外，老師還可利用我們立體幾何中重要的載體——長(zhǎng)方體，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)面面垂直的認(rèn)知，以深化概念，從而突破教學(xué)難點(diǎn)！

2 從生活到定理，探究中發(fā)現(xiàn)真理

學(xué)生的認(rèn)知是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由現(xiàn)象到本質(zhì)逐步深化升華的過(guò)程，那么在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)上，我們要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地以“實(shí)踐、探索、體驗(yàn)、碰撞、發(fā)現(xiàn)”為中心，進(jìn)行自主探索式學(xué)習(xí)，使學(xué)習(xí)過(guò)程成為沿著知識(shí)發(fā)生和發(fā)展過(guò)程的再實(shí)踐、再探索、再體驗(yàn)、再發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)造性活動(dòng)。

讓課堂上的數(shù)學(xué)真正回歸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。筆者首先安排了下面的探究。

探究學(xué)習(xí)2：（1）旋轉(zhuǎn)門在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，門和地面的關(guān)系是怎樣的？里面蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)原理？

這個(gè)探究活動(dòng)猜想面面垂直的判定，但僅有猜想是不夠的，接下來(lái)帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯證明，得出兩平面垂直的判定定理，當(dāng)然也要指導(dǎo)學(xué)生達(dá)到文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的緊密結(jié)合！得出面面垂直的判定以后，對(duì)我們的生活有什么實(shí)際意義呢？我安排了一個(gè)小環(huán)節(jié)。

學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)：如果你是一個(gè)質(zhì)檢員，你怎樣去檢測(cè)、判斷建筑中的一面墻和地面是否垂直呢？

這個(gè)小環(huán)節(jié)不但使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)是從生活中來(lái)到生活中去的一門學(xué)科，還進(jìn)一步落實(shí)了面面垂直的判定定理。為了突出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，筆者緊接著設(shè)置了一個(gè)例題。

學(xué)以致用1：

例1.已知RTΔABC中，AB=AC=a,AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使∠BDC成直角。求證：（1）平面ABD平面⊥BDC,平面ACD平面⊥BDC；（2）∠BAC=60°

這是一個(gè)折疊問(wèn)題，折疊問(wèn)題能更好地考察學(xué)生的空間想象能力，在折疊的過(guò)程中，哪些量變化了，哪些量沒(méi)有發(fā)生改變需要每個(gè)同學(xué)獨(dú)立解決，對(duì)于學(xué)有困難的學(xué)生，我們剛才的正方形紙片也恰好派上用場(chǎng)，手中的紙一擺，變與不變，立刻呈現(xiàn)，這也是逐步培養(yǎng)學(xué)生空間立體感的有效手段!

3 合作探究學(xué)定理本質(zhì)，規(guī)范嚴(yán)密加強(qiáng)邏輯推理

遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)生認(rèn)知的過(guò)程性，促使學(xué)生主動(dòng)探究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)所在。在學(xué)習(xí)面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，筆者安排了另一個(gè)探究學(xué)習(xí)。

探究學(xué)習(xí)3：在剛才的命題中，直線AB，平面α，平面β有以下三種關(guān)系平面α⊥平面β，構(gòu)造一個(gè)新的命題直線AB⊥平面β，請(qǐng)同學(xué)們用書本、課桌和筆搭出模型，積極思考，判斷命題的真假。如果真，請(qǐng)證明，如果假，那么再添什么條件才能成立呢？

這組命題，通過(guò)互換面面垂直判定中的條件和結(jié)論組成新的命題，借以猜想面面垂直的性質(zhì)，這個(gè)問(wèn)題的探究大膽的放給學(xué)生討論，，讓學(xué)生以筆為線，以書本和桌面為面，整個(gè)位置關(guān)系的感知確認(rèn)以學(xué)生分組討論的方式進(jìn)行，討論之后每組派一名代表發(fā)言，這樣即培養(yǎng)了學(xué)生的協(xié)作意識(shí)，又化解了教學(xué)難點(diǎn)。這個(gè)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)讓學(xué)生體會(huì)到立體幾何的學(xué)習(xí)生活化，可操作化。學(xué)生也在擺放的過(guò)程中能進(jìn)一步鞏固所學(xué)，強(qiáng)化新知！

通過(guò)操作探究擺放得出的面面垂直的性質(zhì)同樣需要嚴(yán)格的證明與三種語(yǔ)言的統(tǒng)一。

為了鞏固教學(xué)重點(diǎn)和進(jìn)一步理解難點(diǎn)，筆者設(shè)置了下面的練習(xí)。

學(xué)以致用2：

判斷下列命題是否正確。

（1）平面α⊥平面β,則平面α內(nèi)的任意一條直線必垂直于平面β（ ）

（2）平面α⊥平面β,α∩β＝l，則垂直于交線l的直線必垂直于平面β（ ）

（3）已知平面α⊥平面β,則過(guò)平面α內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，此垂線必垂直于平面β（ ）

（4）平面α內(nèi)的一條直線和平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則平面α⊥平面β（ ）

（5）過(guò)平面α外一點(diǎn)P有且只有一個(gè)平面和平面α垂直（ ）

學(xué)以致用3：見(jiàn)課本例題，不再詳述。

（1）～（3）是為了考察面面垂直的性質(zhì)，（4）～（5）是為了考察面面垂直的判定。對(duì)于學(xué)以致用3，有兩個(gè)意圖，一是為了鞏固面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)然在這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中，剛才的正方形紙片的對(duì)折恰是我們的實(shí)物模型，可拿來(lái)觀察幫助解決問(wèn)題，同時(shí)通過(guò)老師的精心設(shè)計(jì)動(dòng)畫，讓學(xué)生在驚喜中看到CD的長(zhǎng)實(shí)際就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于學(xué)生的空間想象和幾何直觀能力的培養(yǎng)都會(huì)有所幫助！

4 教無(wú)止境，研無(wú)止境

平面與平面垂直是一節(jié)傳統(tǒng)課，新教材把面面垂直的定義、性質(zhì)與判定放在一個(gè)課時(shí)里，所以筆者心里始終覺(jué)得內(nèi)容多任務(wù)重，從開(kāi)始上課就心里始終想著節(jié)約時(shí)間以便完成教學(xué)任務(wù)，這種急躁使得課前的“靜態(tài)設(shè)計(jì)”與課上的“動(dòng)態(tài)生成”之間產(chǎn)生了小矛盾，在面面垂直的定義學(xué)習(xí)過(guò)程中占用時(shí)間稍多，導(dǎo)致后面定理的推導(dǎo)與應(yīng)用顯得落實(shí)不是特別扎實(shí)。同時(shí)，正因?yàn)闀r(shí)間上的緊張，對(duì)于課上個(gè)別學(xué)生偶然冒出的思維沒(méi)有過(guò)多的關(guān)注，因此在上課中捕捉到的課堂生成資源很少，這與學(xué)校提倡的“綠色教學(xué)”理念尚不相符。

教無(wú)止境，學(xué)無(wú)止境，研無(wú)止境。上完本節(jié)課，感覺(jué)：教而不研則淺，研而不教則空。數(shù)學(xué)教學(xué)不是枯燥乏味、一成不變的工作，而是一門博大精深、不斷創(chuàng)新的學(xué)問(wèn)。如何把一節(jié)課教得本質(zhì)、平易近人又能讓學(xué)生學(xué)得愉快，怎樣教給學(xué)生“招”最終還能讓學(xué)生“無(wú)招勝有招”，這些都是我們平時(shí)應(yīng)該多琢磨的地方。同時(shí)，理論還需要實(shí)踐來(lái)提升，教師的本質(zhì)工作是教書，教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)才是一名稱職的老師?，F(xiàn)行的課程改革在繼續(xù)進(jìn)行，在不斷探索的過(guò)程中，我們還需要不斷思考不斷交流，共同提高！

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社,2003.

[2]章建躍.“卡西歐杯”第五屆全國(guó)高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評(píng)比活動(dòng)總結(jié)暨大會(huì)報(bào)告理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生 理解教學(xué)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2010(24):3-7，15.

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A

2096-4110（2017）03（b）-0096-02