拉長過程，突顯問題解決的經(jīng)驗形成

費嶺峰++朱國榮

【摘 要】“問題解決”的核心價值，在于引導學生經(jīng)歷過程，積累問題解決的活動經(jīng)驗。人教版“用面積知識解決問題”是一節(jié)典型的問題解決課，教師在教學時可以從問題解決的教學價值思考入手，設(shè)計從“一般”到“特殊”的學習路徑，結(jié)合“問題提出”“信息分析”“典型問題的解答”與“變式拓展練習”等環(huán)節(jié)，通過拉長過程，引導學生實現(xiàn)問題解決中的經(jīng)驗形成。

【關(guān)鍵詞】問題解決 拉長過程 活動經(jīng)驗 經(jīng)驗形成

【課前思考】“問題解決”僅僅是已學知識技能的練習鞏固與簡單應用嗎？

“用面積知識解決問題”一課是人教版教材三年級下冊第五單元例8的內(nèi)容。在學習這個內(nèi)容前，學生已經(jīng)結(jié)合教材例1～例7內(nèi)容（如左圖）的學習，理解了“面積”，知道了一些常用“面積單位”，學會了長方形、正方形的面積計算方法，以及有了面積單位間的進率的學習作基礎(chǔ)。那么，現(xiàn)在我們要問：作為本單元的最后一節(jié)內(nèi)容，例8的學習，僅僅是前面所學知識技能的練習鞏固與簡單應用嗎？

從教材內(nèi)容編排（如左圖）分析，教材例題為：一個長6米、寬3米的客廳地面，用邊長3分米的正方形地磚鋪，需要多少塊？

由于例題中兩個圖形提供的長度單位不同，所以在解決此問題過程中，除了解題思路用到“長方形、正方形的面積計算”方面的知識之外，還需要用到“單位間化聚”的知識。教學意圖很明顯，即結(jié)合“大圖形中包含幾個小圖形”的問題解決過程，鞏固長、正方形面積計算及面積單位化聚的知識。而且這樣的意圖，在教材“分析與解答”及“回顧與反思”環(huán)節(jié)中，同樣可以明確看到。只是從“大圖形中包含有幾個小圖形”問題的學習價值上思考，作為一類討論圖形面積之間關(guān)系的問題，是一種比較典型的“與面積相關(guān)的問題”，將會在后續(xù)知識的學習中多次出現(xiàn)。

比如：（1）把一塊長2米，寬1米的鐵皮，剪成兩條直角邊均為0.5米的三角形鐵片，可以剪多少塊？（“鐵皮”換成“布匹”，“三角鐵”換成“三角巾”也可）

（2）明明家的客廳要鋪地磚（如右圖）。如果用邊長為整分米的正方形地磚鋪滿客廳（使用的地磚都是整塊），可以選擇邊長是幾分米的地磚？

（3）在一個長20米，寬15米的果園里種果樹。每棵果樹的占地是一個面積為4平方米的正方形。這個果園里最多可以種果樹多少棵？

……

類似于這樣的問題，都可以看成是以例8的問題為基本模型。因此，本節(jié)內(nèi)容的學習，目標僅僅定位于運用所學知識（如面積計算方法、長度單位、面積單位的化聚等）解決問題，顯然是不夠的。如能引導學生回歸“面積意義”的本源，結(jié)合面積意義的深入理解，拉長解決問題策略探索的體驗過程，積累相應的問題解決的活動經(jīng)驗，是否能更好地實現(xiàn)本例題的學習價值呢？

我們認為，如此類“計算大圖形中包含有幾個小圖形”的問題，涉及的知識雖然與面積知識相關(guān)，但解決此類問題的思路卻不止“分別計算出大圖形面積和小圖形面積，再用‘大圖形面積÷小圖形面積求得塊數(shù)”這一條。況且因為這條路徑只能解決如例8“大圖形里包含整數(shù)個小圖形”的特殊情況，而無法直接解決“商是非整數(shù)”的情況，顯然不具有普適性。

事實上，解決此類問題還有一種更具普適性的方法，即結(jié)合面積探究中的動手操作——“擺（或畫）小方塊”的活動經(jīng)驗，直觀找到相應的“塊數(shù)”。這條路徑可以解決此類問題中的任意情況。而且這條路徑，因為從圖形中的“長度要素”切入，為后續(xù)如上面提到的“剪三角鐵”“果樹棵數(shù)”“客廳地磚邊長”等應用問題的解決有相應的借鑒作用。

基于以上分析，我們將此課的教學目標確定如下：

1.結(jié)合“大圖形中包含幾個小圖形”的問題解決過程，感知此類問題的結(jié)構(gòu)特點，并能根據(jù)問題的特點采用“擺（或畫）”的方法或利用“面積”之間關(guān)系的方法解決此類問題，提高學生合理選擇方法解決問題的能力。

2.結(jié)合“大圖形中包含幾個小圖形”的問題解決過程，進一步鞏固長方形、正方形的面積計算方法，熟練面積單位化聚的技能，提高學生的運算能力。

【教學實踐】設(shè)計從“一般”到“特殊”的學習路徑，引導學生經(jīng)歷問題解決的全過程

經(jīng)過解讀，我們發(fā)現(xiàn)，教材本身提供的例題，因為解決的是一個特殊問題（即大圖形中正好包含整數(shù)個小圖形），學生對“大圖形面積÷小圖形面積=包含的塊數(shù)”的方法比較容易理解，而對“沿著長鋪的塊數(shù)×沿著寬鋪的塊數(shù)=總塊數(shù)”的方法則比較難以認可或接受。學習后，往往會形成“求大圖形里包含幾個小圖形的問題，只要用大圖形面積÷小圖形面積”的思維定勢，不利于學生對一般方法的理解與掌握。因此，我們將整節(jié)課的學習路徑進行了重新設(shè)計，從“一般”情況切入，有意識地放大了引導學生經(jīng)歷問題解決的全過程，為學生獲得更為豐富的解決此類問題的活動經(jīng)驗提供幫助。整節(jié)課主要通過四個層次的活動展開教學。

活動一：結(jié)合提出問題，體會信息間的關(guān)系

情境信息（如下圖）：卡紙的長是8厘米，寬是5厘米。一張正方形數(shù)字卡片的邊長是2厘米。

師：看了這些信息后，你能提出數(shù)學問題嗎？

教學中，學生提出了這樣一些問題：

（1）這張長方形卡紙的面積是多少？（板書）

（2）一張長方形紙的周長是多少？

（3）正方紙數(shù)字卡片的周長和面積是多少？（板書“求面積”這個問題）

（4）一共可以剪幾張數(shù)字卡片？（板書）

提出這些問題后，請學生說一說是根據(jù)哪些信息提出來的。目的在于引導學生關(guān)注信息之間的關(guān)系，深度解讀信息，既讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的過程，同時又是經(jīng)歷“閱讀與理解”的過程，一舉兩得。

活動二：經(jīng)歷解題方法的理解過程，體會不同解題思路的意義

請學生圍繞問題“一共可以剪幾張數(shù)字卡片”，嘗試解答。完成后，組織交流，重點討論兩種典型材料。

材料一：8×5=40（平方厘米），2×2=4（平方厘米），40÷4=10（張）。

材料二：用畫圖法解決（如下圖），得到的結(jié)果是8張。

先交流兩種方法的思考過程，再重點組織討論：哪種方法是對的？為什么？

材料一的思考過程是：8×5，先算出長方形卡紙的面積，再算出一張數(shù)字卡片的面積。長方形面積÷數(shù)字卡片的面積，可以算出剪幾張。這種思路是：大圖形面積÷小圖形面積。

材料二的思考過程則是：從長看，沿長剪可以剪4張，沿寬剪可以剪2張，4×2=8張。這是用“行的張數(shù)×列的張數(shù)”算出總共剪的張數(shù)。

本活動重點在于引導學生呈現(xiàn)不同的解題思路，經(jīng)歷思維從不完善走向完善的過程。主要策略是數(shù)形結(jié)合，展示思維過程，讓更多的學生體會到，類似于這樣的問題，通過畫圖可以比較清楚地表達思考過程，也能夠比較準確地找到問題解決的關(guān)鍵點。

活動三：再次經(jīng)歷問題解決，進一步豐富感性經(jīng)驗

情境材料：小北用的長方形卡紙長是12厘米，寬是9厘米；要剪的正方形數(shù)字卡片邊長是3厘米。一共可以剪幾張？

學生自主解決后反饋交流。重點比較以下兩種方法的異同。

方法一：12÷3=4（張），9÷3=3（張），4×3=12（張）。

方法二：12×9=108（平方厘米），3×3=9（平方厘米），108÷9=12（張）。

發(fā)現(xiàn)這一問題無論是“行的張數(shù)×列的張數(shù)”的方法，還是用“大圖形面積÷小圖形面積”的方法，結(jié)果卻是一樣的。

組織討論，解析原因：沿長剪邊長是3的正方形，正好；沿寬剪，也正好。隨之，教師借助媒體展示剪的過程，并引導小結(jié)：像解決這類大圖形面積里面有幾個小圖形面積的問題，我們可以用行的數(shù)量與列的數(shù)量相乘解決，特殊情況下還可以用大圖形面積除以小圖形面積，也可以解決。

本環(huán)節(jié)解決的問題看似與前面的問題類似，其實不然。這個問題是用兩條思路都能順利解決的。目的讓學生體會，這樣的問題因為有一定的特殊性，所以用“大圖形面積÷小圖形面積”也是可以的，經(jīng)歷從“一般”到“特殊”的過程。

活動四：解決生活問題，體會數(shù)學與生活的聯(lián)系

師：像這樣的問題，生活中其實有很多的。比如教室里面鋪的地磚，也會碰到這樣的問題。（隨之呈現(xiàn)教材例題，請學生獨立完成解答）

此處教材例題作為鞏固練習，一是為了幫助學生進一步強化此類問題的解決過程，豐富經(jīng)驗；二是因為這個問題的重點已經(jīng)不在解題思路上，而是在單位的化聚和面積計算方法的熟練上，因此特別注意了對單位化聚部分的關(guān)注和面積計算方法的關(guān)注，強調(diào)對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握。

活動五：變換情境，拓寬思路，發(fā)展思維能力（略）

【課后反思】拉長過程，突顯問題解決中的經(jīng)驗形成，同樣是解決問題的重要教學目標

經(jīng)過本課的教學，我們在問題解決內(nèi)容的教學處理上，對以下兩個方面的體驗還是比較深刻的。

一是多層次經(jīng)歷問題解決的全過程，充分感知了“信息解讀—問題解答—回顧反思”這一問題解決過程中的各個要點

因為“問題解決”的核心價值，在于引導學生經(jīng)歷過程，積累問題解決的活動經(jīng)驗。特別是對“表征問題”和“表征分析”需要有充分的感知和體驗。本課正是通過四個問題的解決，借助每個問題的解決過程中，圍繞 “問題提出”“信息分析”“典型問題的解答”與“變式拓展練習”等環(huán)節(jié)，充分展開探討、體驗，有層次地引導學生感受問題解決各環(huán)節(jié)的操作要點。比如“信息解讀”，從第一個問題開始，特別采用“根據(jù)信息提出問題”的操作方法，改變以往直接提問“有哪些信息”的狀況，讓學生的信息解讀更有目的性和自我需求加強，體會問題的真實性和生成性。再如“解決問題”環(huán)節(jié)，由于采用“嘗試—分享”的方式，學生個性化的解題方法得以呈現(xiàn)，活動中又重點落實互動交流，使學生的思維在碰撞中得到發(fā)展。

二是經(jīng)歷“一般”方法到“特殊”方法的發(fā)現(xiàn)過程，引導學生體會不同結(jié)構(gòu)的問題在解決方法上的差異性

很多時候，我們是從“特殊”到“一般”來組織學生學習的。本節(jié)課采用了從“一般”到“特殊”的活動設(shè)計，更加符合問題解決的本質(zhì)內(nèi)涵。問題解決中的“問題”更多應該是真實的問題。而真實的問題，又大都屬于結(jié)構(gòu)不良的問題。傳統(tǒng)的應用題教學中，因為很少出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良的數(shù)學問題而通常被人詬病。新課程理念下的問題解決，倡導采用真實問題，提供結(jié)構(gòu)不良問題，其目的就在于引導學生經(jīng)歷符合“問題解決”特征的學習活動，真正提高問題解決的能力。從本課的材料也可以看出，第一個問題與第二個問題相比，在結(jié)構(gòu)上就復雜了些。所以在解決時，直接用“大圖形面積÷小圖形面積”是解決不了的，需要研究大圖形的長、寬與小圖形邊長的關(guān)系，才能更準確地把握信息要素，順利解決問題。于是，畫圖，以“數(shù)形結(jié)合”的方式理解信息之間的關(guān)系，準確找到解題突破口，順利解決問題。這從解題方法來說，這種方法具有一般性，因為所有類似的問題都可以用這種方法解決。而出現(xiàn)類似第二個問題的情況，除了用這種一般方法解決之外，還可以直接用“大圖形面積÷小圖形面積”的方法加以解決。因為在這個問題中，由于要素的特殊性，就不影響采用這種方法來解決這個問題的過程。

基于此，我們會有更深的體會：新課程理念下的問題解決，其最大的價值不在于解決某個具體的問題，而是從解決某個具體的問題過程中，經(jīng)歷問題解決的全過程，形成“表征問題”和“表征分析”的基本活動經(jīng)驗。

（浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓中心 314001 浙江省嘉興教育學院 314001）