組距式分組下關(guān)于眾數(shù)計算問題的若干思考

曹潔+馬玲玲+焦榮榮

摘要：在教學(xué)過程中，經(jīng)過對眾數(shù)的分析研究認為，在現(xiàn)行的統(tǒng)計學(xué)教材中就眾數(shù)的計算方法有值得商榷之處。

關(guān)鍵詞：眾數(shù)；組距式分組；連續(xù)式；間斷式

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）08-0201-02

統(tǒng)計中一旦收集了數(shù)據(jù)，第一步就是整理數(shù)據(jù)，也就是實用簡單的指標去描述數(shù)據(jù)。完成這一步最容易的方法就是計算幾種不同形式的集中趨勢（measures of central tendency），它能夠最好的代表一組數(shù)據(jù)的數(shù)值，一般具有三種形式：均值、中位數(shù)和眾數(shù)。

一、眾數(shù)的概念

某制鞋廠要了解消費者最需要哪種型號的男士皮鞋，調(diào)查了某百貨商場某季度男士皮鞋的銷售情況，得到資料如表1。

從表1的資料可以看出，25.5厘米的鞋號銷售量最多。統(tǒng)計學(xué)中，把在一組數(shù)據(jù)當(dāng)中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值就稱為眾數(shù)（mode），一般用M表示。眾數(shù)是位置平均數(shù)，它不受極端變量的影響，這是眾數(shù)區(qū)別于均值的一個重要標志。

眾數(shù)容易被人們“忽視”，因為人們仿佛總是更喜歡去記憶那些需要“計算”的事情，認為眾數(shù)只要被“數(shù)”出來就可以。眾數(shù)，的確是最籠統(tǒng)、最不精確的集中趨勢，但它卻在理解特定的數(shù)據(jù)分布中扮演著重要的角色。

二、眾數(shù)的重要性

毫無疑問，對于定性數(shù)據(jù)，類似種族群體、眼睛顏色、收入檔次等變量的集中趨勢只可以使用眾數(shù)來進行描述。例如，你不可能用中位數(shù)來描述哪個鞋碼在銷售中占有優(yōu)勢，也不能使用均值——平均鞋碼為25.65厘米顯然是沒有實際意義的。而1231個人中幾乎一半（541）人的鞋碼是25.5厘米似乎是描述這個變量一般水平的最好的方式。再如，為了掌握市面上某種商品的價格水平，完全不必全面登記該商品的全部價格去計算其均值，因為均值很容易受到極端值的影響，只是需要用該商品成交量中最多的那個價格即價格的眾數(shù)作為代表值，就可以反映該商品價格的一般水平。

三、關(guān)于眾數(shù)的計算

就眾數(shù)的計算方法來看，現(xiàn)行的統(tǒng)計學(xué)教材中的處理值得商榷。

一般情況下，在給出所有數(shù)據(jù)或在對數(shù)據(jù)進行了單項式分組的情況下，直接找到頻數(shù)最大的變量值就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，但是在組距式分組的情況下，對于眾數(shù)的推算有以下的計算公式：

上限公式：M=U-d

下限公式：M=L+d

其中，U表示眾數(shù)所在組上限；L表示眾數(shù)所在組下限；Δ表示眾數(shù)所在組頻數(shù)與其下限的鄰組頻數(shù)的差；Δ表示眾數(shù)所在組頻數(shù)與其上限的鄰組頻數(shù)的差；d表示眾數(shù)所在組的組距。

由于一般的數(shù)據(jù)分布中眾數(shù)只有一個，所以上限公式和下限公式計算得到的眾數(shù)應(yīng)當(dāng)是一樣的，這一點非常重要。

例如：計算某班50名同學(xué)某一門課程成績的眾數(shù)，資料如表2所示。

其中，眾數(shù)所在的組為“66—69”這一組，U=69，L=66，Δ=20-10=10，Δ=20-13=7、d=3根據(jù)公式可得：

上限公式：M=69-×3≈67.76

下限公式：M=66+×3≈67.76

四、幾種特殊情況下眾數(shù)計算的探討

1.偏態(tài)分布。一組數(shù)據(jù)有如下分布（見表3），利用公式計算眾數(shù)。

由分布情況可知，眾數(shù)所在的組為“9—13”這一組，按照公式進行計算，得到M=12.2。但是如果是這樣一組數(shù)據(jù)，具體如圖1所示。

1、3、4、6、7、9、9、12、12、13、16、16、16、16、20

顯然，這組數(shù)據(jù)符合表3中的數(shù)據(jù)分布情況，對于組距式分組，我們無法判斷它的眾數(shù)是什么，只能用眾數(shù)的計算公式對它的眾數(shù)進行一個估計和推斷。

2.間斷式組距式分組。雖然我們很不喜歡間斷式的組距式分組，但不可否認，它依然是存在的。比如剛才說的某班50名同學(xué)的成績，我們假設(shè)每一個學(xué)生的成績都沒有小數(shù)，于是，我可以對成績進行間斷式的組距式分組。

你能猜到出現(xiàn)了什么情況嗎？

上限公式：M=68-×3≈66.76

下限公式：M=66+×3≈67.76

是的，使用上限公式和下限公式所計算的結(jié)果出現(xiàn)了異常。對比后發(fā)現(xiàn)，除了眾數(shù)所在組的上限從69變到了68以外，公式里的其他條件都沒有發(fā)生變化。這又是為什么呢？首先能想到的原因就在于我們的間斷式分組上。我們都知道，如果分組是表2中的連續(xù)式分組，有一個原則叫做“上限不在內(nèi)”，也就是說，在“66—69”中，上限69是沒有包含在這一組中的，而是變成了下一組的下限，那么反過來考慮，能不能認為在間斷式分組計算眾數(shù)公式時，M=U-d中的U其實就是下一組的下限呢？當(dāng)然可以，并且我們已經(jīng)得到了驗證。根據(jù)這種情況，我們給出在間斷式組距式分組下眾數(shù)的計算公式：

上限公式：M=L-d

下限公式：M=L+d

其中，L表示與眾數(shù)所在組后一組下限；L表示眾數(shù)所在組下限；Δ表示眾數(shù)所在組頻數(shù)與其下限的鄰組頻數(shù)的差；Δ表示眾數(shù)所在組頻數(shù)與其上限的鄰組頻數(shù)的差；d表示眾數(shù)所在組的組距。

當(dāng)然，此時的組距應(yīng)當(dāng)是本組上限—前組上限。就是我們所說的間斷式分組的組距的計算方法。

還有其他的解釋嗎？讓我們把焦點放在公式中所涉及到的對象上面。之前提到，公式中“d”是眾數(shù)所在組的組距，也就是說，不管是連續(xù)式分組還是間斷式分組，眾數(shù)的計算只和眾數(shù)所在的那一組有關(guān)系，所以這時候，d就應(yīng)該是68-66=2，此時，

上限公式：M=68-×2≈67.18

下限公式：M=66+×2≈67.18

不要再去糾結(jié)為什么兩種方式得到的眾數(shù)值不一樣，就像前邊解釋過的，我們通過公式計算出來的眾數(shù)只是實際眾數(shù)的一個近似值。

注釋：

（1）集中趨勢：是指一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向。

（2）均值：即算術(shù)平均數(shù)，是觀察值的總和除以觀察值總個數(shù)的商。

（3）中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按照一定的順序排列，處于中間位置的數(shù)就是中位數(shù)。

（4）標志值：數(shù)量標志在各單位的具體表現(xiàn)數(shù)值。

（5）位置平均數(shù)：總體中處于特殊位置的個別單位的標志值。一般有眾數(shù)和中位數(shù)。

（6）定性數(shù)據(jù)：表示事物的品質(zhì)特征，不能用數(shù)值表示，結(jié)果表現(xiàn)為類別。

（7）單項式分組：一個變量值為一組。

（8）組距式分組：將變量值一次劃分為幾個區(qū)間，每個區(qū)間為一組，每個變量值按其大小確定所屬的區(qū)間。

參考文獻：

[1]夏鷺平.統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)[M].哈爾濱工程大學(xué)出版社，2014.

[2][美]薩爾金德.愛上統(tǒng)計學(xué)第二版[M].史玲玲，譯.重慶大學(xué)出版社，2011.