Caputo導(dǎo)數(shù)下分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量*

劉艷東，張毅

（1.蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009；2.蘇州科技大學(xué)土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

經(jīng)典力學(xué)中許多經(jīng)典的方法只適用于保守系統(tǒng)，對于非保守系統(tǒng)卻不適用。為了解決這一問題，1996年Riewe[1-2]將分數(shù)階微積分引入到非保守系統(tǒng)動力學(xué)，開啟了非保守系統(tǒng)的分數(shù)階建模及其研究。Frederico和 Torres[3-6]首先開展分數(shù)階Noether定理的研究，利用時間重新參數(shù)化方法證明了分數(shù)階力學(xué)和控制系統(tǒng)的Noether定理。張毅等[7-13]研究了分數(shù)階Birkhoff系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量。近年來，關(guān)于對稱性與守恒量的研究取得了許多成果[14-19]。但迄今為止，基于Frederico和 Torres定義的分數(shù)階守恒量概念建立的Noether定理僅研究了Noether對稱性與守恒量之間的聯(lián)系，尚未考慮其準對稱性。本文將基于Caputo導(dǎo)數(shù)用時間重新參數(shù)化方法研究分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)的Noether準對稱性，建立該系統(tǒng)準對稱性的定義和判據(jù)，給出Frederico-Torres守恒量定義下的分數(shù)階守恒量，并證明該系統(tǒng)的分數(shù)階Noether準對稱性定理。

1 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)

以下簡單介紹文中將用到的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及相關(guān)性質(zhì)，具體參見[20-21]。

設(shè)函數(shù)f（t）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)可積，則Riemann-Liouville分數(shù)階左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)分別定義為：

其中，Γ（*）是Euler Gamma函數(shù)，α是階數(shù)，且0≤α＜1。

設(shè)函數(shù)f（t）和g（t）是在區(qū)間[a，b]上的光滑函數(shù)，且f（a）＝f（b）＝0，則Caputo導(dǎo)數(shù)下的分數(shù)階分部積分公式為：

2 Caupto導(dǎo)數(shù)下分數(shù)階Lagrange方程

設(shè)Hamilton作用量為：

其 中qs（s＝1，2，…，n） 為 廣 義 坐 標(biāo)，為系統(tǒng)的 Lagrange函數(shù)。

分數(shù)階Hamilton原理可表示為：

帶有交換關(guān)系：

由分數(shù)階Hamilton原理可直接導(dǎo)出：

方程（16）就是Caputo導(dǎo)數(shù)下的分數(shù)階Lagrange方程。由分數(shù)階Lagrange方程描述的動力學(xué)系統(tǒng)可稱為分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)。

3 特殊無限小變換下系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量

下面研究在時間不變的特殊無限小變換下分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準對稱性與守恒量問題。首先由分數(shù)階守恒量的Frederico-Torres定義[3]，我們有：

定義1對于分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)沿著方程（16）的所有解曲線，有：

其中，m是任意整數(shù)，對于每一組函數(shù)I1i和I2i（i＝1，2，…，m），滿足

這里且，或且，則是該系統(tǒng)的分數(shù)階守恒量。

定義2設(shè)L1是另外的一個Lagrange函數(shù)，則時間不變的特殊無限小變換

是分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準對稱變換，當(dāng)且僅當(dāng)對任意[T1，T2]?[t1，t2]，有

成立。

由式（20），容易得到：

這里 ΔG＝εG（t，qs（t））。

判據(jù)1如果規(guī)范函數(shù)G（t，qs（t））和無限小生成元ξs滿足條件：

則變換（19）是分數(shù)階 Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準對稱變換。

證明考慮到式（21）對任意的積分區(qū)間[T1，T2]都成立，因此有：

將式（23）對ε求導(dǎo)，并令ε＝0，可得：

定理1對于分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)（16），如果無限小變換（19）是其Noether準對稱變換，則系統(tǒng)存在定義1意義下的分數(shù)階守恒量，形如：

證明由方程（16）可得：

將方程（26）代入式（22），注意到式（8）和（9），我們有：

由定義1，即得結(jié)果。證畢。

定理1稱為在時間不變的特殊無限小變換下分數(shù)階 Lagrange系統(tǒng)（16）的 Noether準對稱性定理。

4 一般無限小變換下系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量

下面研究在時間變化的一般無限小變換下分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準對稱性與守恒量問題。

定義3設(shè)L1是另外一個Lagrange函數(shù)，則時間變化的一般無限小變換

是分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準對稱變換，當(dāng)且僅當(dāng)對任意[T1，T2]?[t1，t2]，有

成立。

由式（28），我們有：

判據(jù)2如果規(guī)范函數(shù)G（t，qs（t））和無限小生成元和滿足條件：

則變換（27）是分數(shù)階 Lagrange系統(tǒng)（16）的Noether準對稱變換。

證明由式（29），可得：

考慮到式（31）對任意的積分區(qū)間[T1，T2]都成立，因此有：

并注意到：

其中，Δt＝εξ0，Δqs（t）＝εξs。由于：

將式（33）代入方程（32），同時等號兩邊對ε求導(dǎo)，并令ε＝0，可得：

定理2對于分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)（16），如果無限小變換（27）是其Noether準對稱變換，則系統(tǒng)存在定義1意義下的分數(shù)階守恒量，形如：

證明引進李普希茨變換

當(dāng) λ＝0時，滿足則Hamilton作用量（12）可表示為：

因此，如果作用量S[qs（·）]在定義3意義下準不變，則作用量在定義 2意義下準不變。由定理1，表達式

是系統(tǒng)的一個分數(shù)階守恒量。當(dāng)λ＝0時，我們得到：

將式（41）和（42）代入式（39），得到：

定理2稱為在時間變化的一般無限小變換下分數(shù)階 Lagrange系統(tǒng)（16）的 Noether準對稱性定理。

5 算 例

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的分數(shù)階Lagrange函數(shù)

其中，ω為常數(shù)。

方程（16）給出：

由條件（30），我們得到：

方程（45）有解：

生成元（46）相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether對稱變換，生成元（47）相應(yīng)于系統(tǒng)的Noether準對稱變換。根據(jù)定理2，系統(tǒng)存在如下分數(shù)階守恒量：

如取α＝1，則式（48）和（49）成為：

式（50）和（51）是經(jīng)典Lagrange系統(tǒng)的能量積分。

6 結(jié) 論

基于分數(shù)階微積分建立起來的非保守系統(tǒng)動力學(xué)模型可以更準確地刻劃復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)行為。因此，近20年來分數(shù)階約束力學(xué)系統(tǒng)動力學(xué)的研究引起了人們的廣泛關(guān)注并取得了重要進展。本文主要工作如下：1）建立了Caputo導(dǎo)數(shù)下分數(shù)階Lagrange方程。2）應(yīng)用時間重參數(shù)方法研究了分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)的Noether準對稱性，得到了Frederico-Torres形式的分數(shù)階守恒量，建立了分數(shù)階Lagrange系統(tǒng)的Noether準對稱性定理。文中給出的方法和結(jié)果可望進一步推廣應(yīng)用于分數(shù)階非完整力學(xué)系統(tǒng)等。

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