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      2類切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)的證明與應(yīng)用

      2017-02-20 03:45:50陳科鈞鎮(zhèn)海中學(xué)浙江寧波315200
      關(guān)鍵詞:外心比雪夫證法

      ●陳科鈞 (鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

      2類切比雪夫多項(xiàng)式性質(zhì)的證明與應(yīng)用

      ●陳科鈞 (鎮(zhèn)海中學(xué) 浙江寧波 315200)

      文章給出了2類切比雪夫多項(xiàng)式的2個(gè)不等式性質(zhì)的初等解法.以數(shù)學(xué)高考、競賽、學(xué)考試題為載體,分析這2個(gè)性質(zhì)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,嘗試用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)、方法去解釋中學(xué)數(shù)學(xué)問題.

      切比雪夫多項(xiàng)式;最值問題;積化和差;賦值法

      切比雪夫多項(xiàng)式是高等數(shù)學(xué)中的內(nèi)容,但是在全國各省市高考試題及各類數(shù)學(xué)競賽中多有涉及.張奠宙先生曾指出:“在日常的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,能夠用高等數(shù)學(xué)的思想、觀點(diǎn)、方法去解釋和理解中學(xué)數(shù)學(xué)問題的例子很多,重要的是作為一名數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具備這樣的思維意識.”[1]筆者給出了2類切比雪夫多項(xiàng)式中的2個(gè)性質(zhì)的初等解法及其應(yīng)用.

      1 性質(zhì)證明

      性質(zhì)1[2]設(shè)函數(shù)f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若對任意的x∈[-1,1],|f(x)|≤1,則|an|max=2n-1.

      先證明以下3個(gè)引理:

      因此對n+1也成立.

      證明 由積化和差公式可知

      證明 由積化和差公式可知

      性質(zhì)1的證明 令x=cosθ,其中θ∈[0,2π],由引理1可知

      從而

      即|an|≤2n-1.當(dāng)且僅當(dāng)|f(x)|=|cosnθ|(其中x=cosθ)時(shí),等號成立.

      性質(zhì)2的證明 令x=cosθ,其中θ∈[0,2π],由引理1可知

      從而|an|≤2n.當(dāng)且僅當(dāng)|g(x)|=|sin(n+1)θ|(其中x=cosθ)時(shí),等號成立.

      這樣就用初等的方法證明了以上2個(gè)性質(zhì),同時(shí)還可以得到2個(gè)推論:

      例1 已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,當(dāng)0≤x≤1時(shí),|f′(x)|≤1,試求a的最大值.

      (2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第9題)

      分析 將自變量的范圍變換到[-1,1],采用換元法.令t=2x-1,其中t∈[-1,1],則

      1)|a|≤2;

      2)|ax+b|≤2.

      (2015年奧林匹克希望聯(lián)盟夏令營試題第11題)

      從而

      故|ax+b|≤2.

      1),2)略.

      3)若對任意實(shí)數(shù)a,b,總存在實(shí)數(shù)x0∈[0,4]使得f(x0)≥m成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

      (2015年1月浙江省學(xué)業(yè)水平考試第34題)

      1),2)略.

      3)記g(x)=|f′(x)|(其中-1≤x≤1)的最大值為M,若M≥k對任意的b,c恒成立,求k的最大值.

      (2009年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題)

      切比雪夫多項(xiàng)式在數(shù)學(xué)競賽、高考、學(xué)業(yè)水平考試中的出現(xiàn),極大地豐富了考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容,具有良好的導(dǎo)向作用,因此教師有必要在教學(xué)中加大初等知識和高等知識交叉點(diǎn)的研究與學(xué)習(xí),優(yōu)化知識結(jié)構(gòu),并善于利用高等數(shù)學(xué)的知識、觀點(diǎn)和方法來審視初等數(shù)學(xué)知識,提高數(shù)學(xué)教學(xué)的能力.

      [1] 沈虎躍.一道競賽試題的解法分析與命題背景[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2009(10):34-36.

      [2] 佩捷,林常.切比雪夫逼近問題[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)出版社,2013.

      綜上所述,AE平分∠UAV,又AE⊥UV,故△AUV是等腰三角形.

      評注 此法最為簡潔,只需添加一條關(guān)鍵輔助線——公共弦即可完成全部證明,“兩線合一”判定等腰三角形是此法的核心要領(lǐng).通過分析問題所提供的信息,恰當(dāng)補(bǔ)出輔助圓,并合理挖掘圖形隱含的性質(zhì),可以使題設(shè)和結(jié)論的邏輯關(guān)系明朗化[1].好的解法應(yīng)當(dāng)盡量簡單,賞析多種證法可以幫助我們拓展思路,開闊眼界,明白什么是好的解法.

      除了證法1這種最簡潔的證法之外,該題還有其他證明方法:

      圖3

      證法2 如圖3,作出△ACX與△ABY的外接圓⊙O1,⊙O2,2個(gè)圓相交于點(diǎn)A,D,聯(lián)結(jié)AD,延長AB,AC分別與⊙O1,⊙O2相交于點(diǎn)E,F,聯(lián)結(jié)BD,DE,DF,DC.因?yàn)樵凇袿1中:BX·BC=AB·BE,在⊙O2中:CY·BC=CF·AC,又BX·AC=CY·AB,所以CF=BE.

      由∠DEB=π-∠DCA=∠DCF,∠DBE=π-∠DBA=∠DFC,知△DEB≌△DCF,從而DE=CD,于是∠BAD=∠DAC,即DA為∠BAC的角平分線.由根軸的性質(zhì)得:DA⊥O1O2,即DA⊥UV,從而DA既是角平分線又是底邊上的高,故△AUV是等腰三角形.

      評注 證法2采用了證全等三角形的方法,關(guān)鍵步驟是通過證明△DEB和△DCF全等,得到對應(yīng)邊DE和CD相等,從而得到⊙O1中一對圓周角∠BAD和∠DAC相等,即DA平分∠BAC.其實(shí),本題還可以通過證另一對三角形(△BEX和△FCY)全等來完成證明,囿于篇幅,此法請讀者自行證明.

      圖4

      證法3 如圖4,作出△ABC的外心O,聯(lián)結(jié)OA,OB,同時(shí)聯(lián)結(jié)O1A,O1X,聯(lián)結(jié)O1O,且與AB相交于點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)OO2,且與AC的延長線相交于點(diǎn)N.因?yàn)镺,O1分別為△ABC和△AXC的外心,所以AO=BO,AO1=XO1且∠AOB=2∠ACB=∠AO1X,從而

      △AOB∽△AO1X,

      于是

      又∠BAO=∠XAO1,從而

      ∠XAB= ∠XAO1+∠O1AU=

      ∠BAO+∠O1AU=∠O1AO,

      于是

      △AOO1∽△ABX,

      (1)

      同理可得

      △AOO2∽△ACY,

      (2)

      將式(1)除以式(2),并由已知條件BX·AC=CY·AB,得

      OO1=OO2,

      ∠OO1O2=∠OO2O1.

      又因?yàn)镺1O所在直線垂直于AC,O2O所在直線垂直于AB,所以

      ∠AUV= ∠OO1O2+∠O1MU=

      ∠OO1O2+90°-∠BAC,

      ∠AVU= ∠VO2N+∠ANO2=

      ∠OO2O1+90°-∠BAC,

      從而

      ∠AUV=∠AVU,

      于是△AUV是等腰三角形.

      評注 證法3比較特別,不同于大眾思路——證兩線合一,它采用直接證明2個(gè)底角相等達(dá)到證等腰三角形的目的,主要通過作△ABC的外心O,利用外心性質(zhì)構(gòu)造相似三角形,然后充分利用相似三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行證明.題目給出了△ACX,△ABY的外心O1,O2,從圖形完整性的角度看,補(bǔ)充△ABC的外心實(shí)為一條比較自然而合理的思路.

      圖5

      證法4 如圖5,作△ACX與△ABY的外接圓⊙O1,⊙O2,2個(gè)圓相交于點(diǎn)A,D,聯(lián)結(jié)AD,BD和DC.聯(lián)結(jié)YD并延長至點(diǎn)E,并聯(lián)結(jié)AE,XE,使得∠AEY=∠AXB.再聯(lián)結(jié)XD并延長至點(diǎn)F,并聯(lián)結(jié)YF,AF和EF,使得∠AFD=∠AYC.因?yàn)椤螦ED=∠AXB,∠ADE=π-∠ADY=π-∠ABY=∠ABX,所以

      △ABX∽△ADE,

      同理可得

      △ADF∽△ACY,

      于是

      又由已知條件BX·AC=CY·AB,可得

      從而

      DE=DF,

      于是

      ∠DEF=∠DFE.

      由△ABX∽△ADE可得

      從而

      ∠XAE=∠BAD,

      于是

      △AEX∽△ADB.

      同理可得

      △ACD∽△AYF,

      因此

      ∠AEX=∠ADB=∠AYB=∠AFD,

      即點(diǎn)A,X,E,F共圓,從而

      ∠BAD=∠XAE=∠DFE.

      同理可得點(diǎn)A,Y,E,F也共圓,從而

      ∠DEF=∠YAF=∠CAD,

      又因?yàn)橐炎C得∠DEF=∠DFE,所以

      ∠BAD=∠CAD,

      即DA為∠BAC的角平分線.由根軸的性質(zhì)得

      DA⊥O1O2,

      從而

      DA⊥UV,

      于是DA既是角平分線又是底邊上的高,故△AUV是等腰三角形.

      圖6

      評注 證法4所作輔助線比較多,由證明四點(diǎn)共圓得到相等的圓周角,然后結(jié)合根軸的性質(zhì)完成證明.

      證法5 如圖6,作出△ACX與△ABY的外接圓⊙O1,⊙O2,2個(gè)圓相交于點(diǎn)A,D,聯(lián)結(jié)DX,DB,DA,DC和DY,則

      ∠ADB=∠AYB,

      ∠ADX=∠ACX,

      從而∠XDB= ∠ADX-∠ADB=

      ∠ACX-∠AYB=∠CAY.

      (3)

      結(jié)合式(3)化簡得

      .

      記⊙O2的半徑為R2,由正弦定理知

      綜合式(4)和式(5)可知

      sin∠DXC=sin∠BAD.

      而∠DXC=∠DAC,且∠DXC與∠BAD均為銳角,于是

      ∠DXC=∠DAC=∠BAD,

      ∠UAD=∠VAD,

      因此DA為∠UAV的角平分線.由根軸的性質(zhì)得

      DA⊥O1O2,

      DA⊥UV,

      從而DA既是角平分線又是底邊上的高,故△AUV是等腰三角形.

      評注 證法5的特點(diǎn)是將題目已知邊的比例關(guān)系成功整合正弦定理,得到關(guān)鍵的角相等,從而證明了角平分線,之后的證明過程與上面諸法相同.

      參 考 文 獻(xiàn)

      [1] 倪建榮.平面幾何中線段“和差倍分”問題的證明[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2013(6):8-10.

      2016-09-26;

      2016-10-28作者簡介:陳科鈞(1988-),男,浙江寧波人,中學(xué)二級教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.

      O122.7

      A

      1003-6407(2017)02-45-04

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