追求自然生長(zhǎng)、思維流暢的課堂教學(xué)

●詹高晟(列東中學(xué) 福建三明 365000)

追求自然生長(zhǎng)、思維流暢的課堂教學(xué)

●詹高晟(列東中學(xué) 福建三明 365000)

文章通過對(duì)課例“因式分解”的展示與評(píng)析，引發(fā)如何優(yōu)化課堂教學(xué)的思考.要優(yōu)化課堂教學(xué)，應(yīng)吃透教材，對(duì)教材進(jìn)行適當(dāng)處理，做到“信奉而不唯是，遵循而有所立”；還應(yīng)在教學(xué)中基于知識(shí)的自然生長(zhǎng)，設(shè)計(jì)思維流暢的教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生自主完成知識(shí)的建構(gòu).

課堂教學(xué)；教材處理；自然生長(zhǎng)；思維流暢

在一次市級(jí)學(xué)科帶頭人跟崗實(shí)踐中，實(shí)踐導(dǎo)師開設(shè)的“因式分解”(北師大版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)第4.1節(jié))教學(xué)展示課得到了聽課教師的好評(píng)，課后大家就這節(jié)課的教學(xué)展開了深入的討論，也引發(fā)筆者進(jìn)一步思考，現(xiàn)整理成文，與同行交流.

1 教學(xué)內(nèi)容

教材安排如下4個(gè)環(huán)節(jié)來展開教學(xué)：

環(huán)節(jié)1 提出問題“993-99能被100整除嗎”，并給出小明的做法(如圖1所示),指出解決問題的關(guān)鍵是把一個(gè)整數(shù)化成幾個(gè)數(shù)的積的形式，然后讓學(xué)生類比小明的做法，嘗試把a(bǔ)3-a化成幾個(gè)整式的乘積的形式，即a3-a=a(a+1)(a-1).

圖1

環(huán)節(jié)2 觀察如圖2和圖3所示的2個(gè)拼圖過程，寫出相應(yīng)的關(guān)系式，拼圖前后的面積不變，讓學(xué)生從幾何角度體會(huì)因式分解的意義.

圖2

圖3

環(huán)節(jié)3 觀察上述情境中得到的3個(gè)式子：a3-a=a(a+1)(a-1)，ma+mb+mc=m(a+b+c),x2+2x+1=(x+1)2,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)他們的共同特點(diǎn)，歸納獲得因式分解的意義.

環(huán)節(jié)4 安排如下的“做一做”，通過具體例子，使學(xué)生體會(huì)因式分解與整式乘法的關(guān)系：因式分解是整式乘法的逆變形.

做一做：

1.計(jì)算下列各式：

1) 3x(x-1)=________;

2)m(a+b-1)=________;

3) (m+4)(m-4)=________；

4) (y-3)2=________.

2.根據(jù)上面的算式進(jìn)行因式分解：

1) 3x2-3x=( )( )；

2)ma+mb-m=( )( )；

3)m2-16=( )( )；

4)y2-6y+9=( )( ).

2 教學(xué)過程簡(jiǎn)錄及評(píng)析

片斷1 聚焦引言，直擊課題

上課伊始，教師告訴學(xué)生從本節(jié)課開始要學(xué)習(xí)新的一章“因式分解”.

師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，按照學(xué)習(xí)新知的一般思路，我們應(yīng)該去研究因式分解的哪些內(nèi)容？

生1：因式分解的概念、計(jì)算和應(yīng)用.

教師肯定學(xué)生的回答，請(qǐng)學(xué)生翻看教材的目錄，明確本章所要研究的主要內(nèi)容是因式分解的概念和因式分解的方法，并告訴學(xué)生因式分解是后面學(xué)習(xí)分式化簡(jiǎn)等內(nèi)容的重要基礎(chǔ).

接著，教師讓學(xué)生閱讀教材的章引言和觀察章前主題圖，進(jìn)一步明確本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)，進(jìn)而提出問題：為什么主題圖中把對(duì)開的2輛列車分別起名為“因式分解號(hào)”和“整式乘法號(hào)”？隨后指出通過本節(jié)新課的學(xué)習(xí)就能解決這一問題，點(diǎn)明本節(jié)課要研究的主要內(nèi)容是因式分解的概念.

評(píng)注 本節(jié)課是“因式分解”整個(gè)章教學(xué)的起始課.因式分解的概念是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，教師不但關(guān)注因式分解概念的教學(xué)，還非常注重發(fā)揮“章引言”的教學(xué)功能.通過翻看教材目錄和指導(dǎo)學(xué)生閱讀章引言，幫助他們了解本章的主要內(nèi)容，熟悉本章概貌，初步把握本節(jié)課在整章的地位與作用，以防學(xué)生“只見樹木，不見森林”，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之初就能看到“森林”，弄清學(xué)習(xí)的脈絡(luò).同時(shí)，主題圖展示的2輛對(duì)開的列車，直觀形象地反映出因式分解和整式乘法間的關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，讓學(xué)生在“憤悱”狀態(tài)下進(jìn)入新知探究.

片斷2 類比探究，引出概念

教師提出問題“993-99能被100整除嗎？”并給出小明的做法，然后引導(dǎo)學(xué)生明確每一步做法的依據(jù)，并提出問題：解決這一問題的關(guān)鍵是什么？

生2：把一個(gè)數(shù)式分解成幾個(gè)數(shù)的積的形式.

教師順勢(shì)回顧因數(shù)分解的概念：把一個(gè)整數(shù)分解成幾個(gè)整數(shù)(1除外)相乘的形式叫做因數(shù)分解.

師：類似地，能否把a(bǔ)3-a化成幾個(gè)整式乘積的形式？

先由學(xué)生獨(dú)立思考，再共同交流得到a3-a=a(a+1)(a-1).

師：這種變形與因數(shù)分解類似，給它取名為因式分解，你能模仿因數(shù)分解的概念給因式分解下個(gè)定義嗎？

生3：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做因式分解.

師：很好，請(qǐng)大家找一找這個(gè)定義中的關(guān)鍵詞.

生4：多項(xiàng)式、整式、積.

評(píng)注 這里通過“判斷993-99能否被100整除”這一問題的解決，自然地提出因數(shù)分解的概念，避免了“什么叫因數(shù)分解”這種空洞的提問，借助具體問題把抽象的概念具體化，學(xué)生易于理解，效果很好.接著結(jié)合具體例子，通過類比，從數(shù)式的分解到多項(xiàng)式的分解，由學(xué)生自主歸納出因式分解的概念.這一過程讓學(xué)生去思考和總結(jié)，自主經(jīng)歷新知的探究過程，因式分解概念的引出水到渠成，“學(xué)生是主體”這一理念得到充分體現(xiàn).隨后又由學(xué)生自己去找出概念中的關(guān)鍵詞，找關(guān)鍵詞的過程就是對(duì)概念深化認(rèn)識(shí)的過程，找到了關(guān)鍵詞，對(duì)因式分解意義的理解也就上了一個(gè)臺(tái)階.通過探究得到的概念，才會(huì)理解深刻，記憶牢固.

片斷3 暴露思維，合作解疑

因式分解的概念形成后，教師安排如下練習(xí)：

練習(xí)1 下列等式中，從左到右的變形哪些是因式分解？

1) (a+b)(a-b)=a2-b2；

3) 4x2+4x+1=4x(x+1)+1；

4) 4x2+4x+1=(2x+1)2；

6) 12a2b3c=2a2×2b3×3c；

7) (3-x)(2-x)=(x-2)(x-3).

評(píng)注 對(duì)于因式分解的概念，學(xué)生找到了其中的關(guān)鍵詞，是否就真正理解了呢？這組辨析題是最好的試金石.觀察學(xué)生的解題表現(xiàn)，可以發(fā)現(xiàn)他們對(duì)概念并沒有完全弄懂，還沒有真正悟透.理解“積的形式”這幾個(gè)字，對(duì)于不少學(xué)生來說并不簡(jiǎn)單，需要一個(gè)復(fù)雜的思維過程.在教學(xué)設(shè)計(jì)中安排這一組有針對(duì)性的題目，對(duì)學(xué)生全方位理解概念的內(nèi)涵與外延是有益的，特別是第2)，3)小題.當(dāng)學(xué)生陷入思維困惑時(shí)，教師“以學(xué)定教”，及時(shí)調(diào)整教學(xué)節(jié)奏，放緩思維坡度，拉長(zhǎng)思維過程，與學(xué)生一起交流討論，從而讓“學(xué)為中心”的理念得到充分體現(xiàn).

片斷4 辨析感悟，深化理解

師：練習(xí)1中的第4)，5)小題，它們都是因式分解，可結(jié)果不一樣，你能作出解釋嗎？

生5：只要反過來去驗(yàn)證一下就明白了.

師：能說具體點(diǎn)嗎？

生(眾)：整式的乘法.

師：能說說因式分解和整式乘法的關(guān)系嗎？

生6：一種互為相反的運(yùn)算.

師：能說準(zhǔn)確點(diǎn)、具體點(diǎn)嗎？

生6：一種互逆變形.

生7：整式的乘法是一種運(yùn)算，左邊是幾個(gè)整式的積，右邊的計(jì)算結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式或單項(xiàng)式.因式分解的左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊的結(jié)果是幾個(gè)整式的積的形式，2者是互逆的.

隨后教師安排學(xué)生再次觀察教材的章前主題圖，體會(huì)把2輛對(duì)開的列車分別起名為“因式分解號(hào)”和“整式乘法號(hào)”的原因，并安排了以下練習(xí)：

練習(xí)2 檢驗(yàn)下列因式分解是否正確：

1) -2x2+4x=-2x(x+2)；

2) 2x2-9=(2x+3)(2x-3).

評(píng)注 這里教師沒有像教材那樣專門安排“做一做”，而是充分發(fā)揮練習(xí)題的教學(xué)功能，通過問題“它們都是因式分解，可結(jié)果不一樣”引導(dǎo)學(xué)生去逆向驗(yàn)證，自然喚醒舊知“整式乘法的意義”，進(jìn)而提出問題“因式分解與整式乘法有什么關(guān)系”，深化因式分解概念的理解.在這一過程中，教師的設(shè)問循序漸進(jìn)，指向明確，引導(dǎo)學(xué)生思維自然向前推進(jìn).特別是通過2次追問“能說具體點(diǎn)嗎”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的探究步步深入，避免思考浮于表面，同時(shí)又讓“先知先覺者”帶動(dòng)“后知后覺者”一起經(jīng)歷知識(shí)的探究過程，促進(jìn)全體學(xué)生共同成長(zhǎng).通過再次觀察主題圖，直觀感受因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，呼應(yīng)課題引入時(shí)的問題，釋疑解惑，加深對(duì)因式分解概念的理解.

片斷5 豐富認(rèn)識(shí)，拓展思維

師：我們已經(jīng)從“數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)了因式分解，那么能否從“形”的角度來理解呢？請(qǐng)大家觀察這2個(gè)拼圖過程(詳見教學(xué)內(nèi)容“環(huán)節(jié)2”)，寫出相應(yīng)的關(guān)系式.

學(xué)生獨(dú)立思考后，教師引導(dǎo)學(xué)生從拼圖前后面積保持不變?nèi)胧謱懗鲫P(guān)系式，并借助拼圖再次感悟因式分解是整式的恒等變形.接著安排如下練習(xí)：

練習(xí)3 將圖4中的4個(gè)圖形拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，據(jù)此寫出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解.

圖4

評(píng)注 教師在學(xué)生已經(jīng)理解因式分解意義的情況下，通過2個(gè)拼圖問題——拼圖前后的面積不變性，引導(dǎo)學(xué)生從形的角度豐富對(duì)因式分解概念的理解，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀.隨后安排的練習(xí)3引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)嘗試的方式拼出大長(zhǎng)方形，再去思考拼圖所反映的數(shù)學(xué)過程，理解拼圖與因式分解之間的聯(lián)系，在活動(dòng)中充分感受數(shù)與形的有機(jī)融合，使抽象思維與形象思維相互作用，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與圖形性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，從而讓學(xué)生對(duì)因式分解概念的理解再次得到升華.

3 教學(xué)思考

3.1 教材處理：信奉而不唯是，遵循而有所立

教材是知識(shí)的載體，蘊(yùn)涵課標(biāo)的精神實(shí)質(zhì)，凝聚編者的智慧，是教與學(xué)的藍(lán)本.但由于教材的簡(jiǎn)潔性和基礎(chǔ)性，很難做到完全適合不同類型的學(xué)校，這就給教師留下了二次創(chuàng)造的空間.“因式分解”這節(jié)課，教材編者的意圖是安排“環(huán)節(jié)1”和“環(huán)節(jié)2”，讓學(xué)生通過具體例子，從“數(shù)”與“形”2個(gè)方面來體會(huì)因式分解的意義，進(jìn)而歸納獲得因式分解的概念.這樣的編排存在的不足也是顯而易見的，學(xué)生通過“環(huán)節(jié)1”已經(jīng)實(shí)現(xiàn)因數(shù)分解到因式分解的類比，因式分解的概念呼之欲出，如果此時(shí)進(jìn)入“環(huán)節(jié)2”，就把原來自然流淌的思維強(qiáng)行掐斷.

本節(jié)課的設(shè)計(jì)，把“環(huán)節(jié)2”后移到“片斷5”的位置，確保片斷2～4的教學(xué)連貫展開，自然流暢地引入因式分解的概念，然后通過一組練習(xí)題，讓學(xué)生從“數(shù)”的角度加深對(duì)概念的理解.在此基礎(chǔ)上，通過“片斷5”再?gòu)摹靶巍钡慕嵌热ヘS富因式分解概念的理解，既深化概念的認(rèn)識(shí)，又滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，提升數(shù)學(xué)思維能力.教師在處理“因式分解與整式乘法的關(guān)系”這一教學(xué)內(nèi)容時(shí)，也摒棄了教材的處理方式，而是直接利用練習(xí)1中2個(gè)小題的教學(xué)素材自然地提出問題，順勢(shì)回憶整式乘法的含義，進(jìn)而提出問題“因式分解與整式乘法有什么關(guān)系”，這樣既能把節(jié)約出的時(shí)間讓位于核心知識(shí)的探究，又能實(shí)現(xiàn)同樣的教學(xué)效果，還能最大限度地發(fā)揮練習(xí)題的教學(xué)功能，何樂而不為？當(dāng)然，我們對(duì)教材“不唯是”“有所立”，前提是要深刻理解教材，特別是要從知識(shí)的整體架構(gòu)去分析教材，讀懂編者意圖，再根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，對(duì)教材進(jìn)行合理地重組或加工，做到“信奉而不唯是，遵循而有所立”，以便更好地服務(wù)課堂教學(xué).

3.2 教學(xué)環(huán)節(jié)：基于知識(shí)生長(zhǎng)，追求思維流暢

作為思維見長(zhǎng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能單純地依靠接受、記憶、模仿和練習(xí).正所謂“學(xué)的真諦在于悟”，只有學(xué)生親身體驗(yàn)過的，才能獲得屬于他們自身的經(jīng)驗(yàn)，才能實(shí)現(xiàn)遷移應(yīng)用[1].因此，在教學(xué)中教師要基于數(shù)學(xué)知識(shí)，自然生長(zhǎng)，設(shè)計(jì)思維流暢的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，自主完成知識(shí)的建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升.

本節(jié)課，由于是章起始課，教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧以往研究新知的一般思路，從整體上把握整章的知識(shí)框架，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，避免學(xué)習(xí)的盲目性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的預(yù)見性和主動(dòng)性.在概念探究中，教師將學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)與新知識(shí)自然對(duì)接，類比因數(shù)分解的概念，通過具體例子讓學(xué)生在思維的最近發(fā)展區(qū)，自主探究，歸納總結(jié)出因式分解的概念.這一過程中，因式分解的概念是學(xué)生自己通過類比得到的，關(guān)鍵詞是學(xué)生自己尋找到的，真正讓學(xué)生去思考，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，把靜態(tài)的知識(shí)動(dòng)態(tài)化，數(shù)學(xué)知識(shí)的過程價(jià)值得到充分發(fā)揮.“片斷4”是“片斷3”的自然延續(xù)，教師通過精心設(shè)計(jì)的2個(gè)問題(練習(xí)1中的第4)和第5)小題)，引發(fā)學(xué)生去逆向驗(yàn)證，進(jìn)而思考因式分解與整式乘法的相互關(guān)系.當(dāng)學(xué)生自以為理解了其實(shí)并不深刻、自以為明白了而又難于言表時(shí)，教師可適時(shí)追問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，把思維引向深入，整個(gè)教學(xué)過程環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)，始終吸引著學(xué)生的智力參與，他們的思維在知識(shí)的推進(jìn)中自然地流淌，享受著數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)旅程中特有的曲徑尋幽之樂.

在日常教學(xué)中，每節(jié)課都應(yīng)該有一條清晰的主線，以此帶動(dòng)知識(shí)的自然生長(zhǎng)，讓學(xué)生的思維在課堂激蕩，使知識(shí)與技能、過程與方法、情感與態(tài)度等目標(biāo)順利達(dá)成.

[1] 林日福.慢化應(yīng)用題教學(xué)過程，提升學(xué)生解題能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2014(10)：38-40.

憶超負(fù)荷問題，如何把信息的同時(shí)加工變成依次加工，思維圖示無疑是很好的工具.

所謂思維圖示法，就是把條件和結(jié)論之間的關(guān)系，用示意圖或線段圖簡(jiǎn)略而充分地表示出來，從而顯示出條件與條件之間、條件與結(jié)論之間的直觀關(guān)系，進(jìn)而找到解題的途徑和思維方法.

美國(guó)著名思維教育專家海勒博士在1988年提出了Thinking Maps，其中包含了圓圈圖、氣泡圖、雙氣泡圖、數(shù)形圖、括號(hào)圖、流程圖、復(fù)流程圖、橋形圖這8種具有特定形式和用途的思維可視化工具.這些工具能有效地幫助學(xué)生將隱性的思維顯性化，同時(shí)增加思考的深度和廣度，讓思考更有條理.

圖1

用來分析事物順序或步驟的圖示就叫做流程圖[2].如圖1，流程圖由方框和箭頭組成.每個(gè)方框中書寫一個(gè)步驟，箭頭方向表示步驟順序.每一個(gè)步驟還可以有“子步驟”，也就是將步驟細(xì)化拆分后的步驟，這些子步驟要寫在步驟下面，用豎線連接，如果子步驟間也有明顯的順序，也可以用箭頭將它們連接起來.結(jié)合解題分析，僅需在每個(gè)方框內(nèi)寫上已知條件，將條件的等價(jià)變形寫在子步驟方框內(nèi)，這樣問題的分析就變得有條不紊，合理高效.

圖2

用來表示因果關(guān)系、分析原因和結(jié)果的圖示就叫做復(fù)流程圖[2].復(fù)流程圖可以理解為流程圖的組合，將流程圖的步驟、順序關(guān)系變?yōu)樵蚝徒Y(jié)果的描述，就形成了一個(gè)復(fù)流程圖.如圖2，在繪制時(shí)，將某一現(xiàn)象作為中心詞，在它的左側(cè)書寫出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因，在它的右側(cè)書寫現(xiàn)象所導(dǎo)致的結(jié)果，原因和結(jié)果不需要一一對(duì)應(yīng).結(jié)合解題分析，需選擇某一條件或某一過程作為中心詞，其左側(cè)書寫產(chǎn)生的條件，右側(cè)書寫由此可產(chǎn)生的結(jié)論.問題的拓展就應(yīng)運(yùn)而生.

思維圖示法的根本特點(diǎn)有2個(gè)：一是形象化人腦的思考過程，可以把大腦中的思維活動(dòng)延伸到外部，通過圖形使之外向化、具體化.而思維圖示躍然紙上，所勾勒的形象通過眼睛的觀察又被反饋到大腦，刺激大腦作進(jìn)一步思考、判斷和綜合，如此循環(huán)往復(fù)，最初的解題思考也隨之愈發(fā)深入.二是有利于分散的條件系統(tǒng)化，便于分析條件之間的關(guān)系，不受邏輯推導(dǎo)限制，能讓思維更靈活，思路更開闊.

下面筆者結(jié)合具體事例進(jìn)行說明：如何借助流程圖幫助學(xué)生分析和解決問題、加深思考、開拓思路.

圖3

分析 根據(jù)題目中條件給出的先后順序，將條件逐一表示出來，該流程圖如圖4所示:

圖4

每個(gè)條件在不同學(xué)生的腦中形成的反饋不一定相同，不同的學(xué)生對(duì)題目中重點(diǎn)關(guān)注的條件也有所不同，如果刻意地追求統(tǒng)一的理解和同時(shí)的關(guān)注，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致部分學(xué)生跟不上上課的節(jié)奏.允許學(xué)生有不同的看法、不同的理解，并且把這些看法和理解標(biāo)注在條件下方，尋找可行方案，一題多解就自然產(chǎn)生了，如果在不同理解過程中可以發(fā)現(xiàn)條件的本質(zhì)作用、內(nèi)在的聯(lián)系，那么一題多變、多題一解自然生成.

理解1 解析幾何的本質(zhì)就是用代數(shù)的方法解決幾何問題，因此題目中的條件往往是用幾何語言即圖形語言敘述的，條件中也暗含著作圖的順序.因此直接用條件寫出來的流程圖是圖形語言的直譯，如果將每個(gè)條件的圖形語言轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)語言，就可得其代數(shù)的解決方案.于是流程圖可改寫成如圖5所示的形式：

圖5

解法1 1)設(shè)點(diǎn)P(2t,t2).

2)設(shè)過點(diǎn)P的切線方程為

y-t2=k(x-2t),

則

Δ=k2-4kt+2t2-2=0.

設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k2，則

從而

2xM=2k1，

即

即

y=2tx+2-t2.

5)于是

令s=1+4t2(其中t≥1),則

雖然解題過程比較繁雜，但在流程圖的導(dǎo)引下，學(xué)生的解題思路清晰，將解題過程分解為5個(gè)步驟，化繁為簡(jiǎn)，化整為零，解題信心十足，從而提高了學(xué)生解題的正確率.

理解2 如果對(duì)流程圖中的某些條件有不同的理解，那么可以得到不同的解決方案.比如切點(diǎn)M,N，解法1中理解為直線與曲線的交點(diǎn)，也可理解為曲線上的2個(gè)點(diǎn)，只是過這2個(gè)點(diǎn)的切線將符合一定的要求.于是將流程圖改寫成如圖6所示的形式：

圖6

2)以M為切點(diǎn)的切線PM的方程為

即

同理可得,切線PN的方程為

即

4)因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線x2=4y上，所以

5)直線MN的方程為

即

6)點(diǎn)P到直線MN的距離為

反思 此法因?yàn)樽兞吭黾樱沟弥本€MN的方程復(fù)雜，限制條件復(fù)雜性增加，該解法并沒有優(yōu)勢(shì).

理解3 若將點(diǎn)M,N理解為直線MN與拋物線C2的交點(diǎn)，則將流程圖改寫成如圖7所示的形式：

圖7

解法3 1)設(shè)直線MN的方程為

y=kx+b.

則

3)切線PM的方程為

即

同理可得切線PN的方程為

k2=4(2-b).

理解4 如果將直線MN理解為切點(diǎn)弦所在直線，即直線MN由多個(gè)條件一起確定，那么流程圖升級(jí)為復(fù)流程圖，具體表示如圖8所示：

圖8

即

y-x0x+y0-2=0,

從而

借助已有的結(jié)論，不僅可以簡(jiǎn)化解題過程，而且命題者的意圖也一目了然，考查有關(guān)切點(diǎn)弦的性質(zhì)，大膽猜想與此弦有關(guān)的性質(zhì)：從線段角度出發(fā)，可以考查有關(guān)長(zhǎng)度、距離、面積等問題；從直線角度出發(fā)，可以考查斜率、截距、中點(diǎn)等問題；從運(yùn)動(dòng)的角度出發(fā)，可以考查有關(guān)軌跡問題；從函數(shù)的角度出發(fā)，可以研究哪些是定值、哪些具有最小(最大)值.于是可以得到如圖9所示的復(fù)流程圖，逐一研究發(fā)現(xiàn)下列問題.

圖9

在研究過程中可以發(fā)現(xiàn)：研究的關(guān)注點(diǎn)始終是直線MN，即y-x0x+y0-2=0，直線的性質(zhì)也被點(diǎn)(x0,y0)決定.于是大膽猜想：如果直線的斜率為定值，即x0為定值，那么點(diǎn)P應(yīng)該在怎樣的曲線上呢？如果直線在y軸上的截距為定值或直線過定點(diǎn),對(duì)點(diǎn)P的要求又會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？一切與(x0,y0)有關(guān)的要素都可以加以大膽的想象,于是所有人都可以在如圖10所示的流程圖上再增加研究的方向，從而更改條件，改編題目.

圖10

解題之后再回頭看，怎么看，看什么呢？始終是個(gè)難點(diǎn).借助思維圖示，我們可以在原來雁過無痕的思考過程中尋找是否有不同的理解，在思維的起點(diǎn)上尋找是否有更短的路徑、更快捷的方法，一題多解就應(yīng)運(yùn)而生，沒有一點(diǎn)牽強(qiáng)附會(huì)，一題多變也變得觸手可及，沒有遙不可攀的感覺.讓思維可視化成為常態(tài)，學(xué)生的解題才可以真正做到舉一反三，才可以真正脫離題海戰(zhàn)術(shù).

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 吳增生.用數(shù)學(xué)發(fā)展智慧:基于腦、適于腦、發(fā)展腦的數(shù)學(xué)教學(xué)策略[M].南昌：江西教育出版社，2015.

[2] 趙國(guó)慶.思維可視化[M].北京:北京師范大學(xué)出版社，2016.

圖1

線性規(guī)劃問題圖解法的本質(zhì)是根據(jù)“等值線”原理，將二維的平面區(qū)域最值問題轉(zhuǎn)化為一維的平行直線系的縱截距的最值問題，這一思維方法可以推廣至非線性規(guī)劃的最值問題．例如，在約束條件x+2y≤8，4x≤16,4y≤12，x≥0，y≥0下，求2x+3y,x2+y2,x2+2y2的取值范圍．

例1 已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在[-1，1]上的最大值.

1)證明:當(dāng)|a|≥2時(shí),M(a,b)>2;

2)當(dāng)a,b滿足M(a,b)≤2時(shí),求|a|+|b|的最值.

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

分析 由題設(shè)條件知：

從而轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題．

圖2

方法2 (放縮與構(gòu)造)由-3≤a+b≤1,-1≤a-b≤3，得

|a+b|≤3, |a-b|≤3，

從而

|a|+|b|≤3,

取a=2,b=-1或a=-2,b=-1符合條件．

無論哪種方法，其本質(zhì)都?xì)w結(jié)于等值法的幾何直觀．一般地，對(duì)于二元函數(shù)的最值問題，我們可以繪出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，構(gòu)造等值線將平面區(qū)域的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為某一等值路線，最值通常在路線與等值線相切的切點(diǎn)處取到，然后通過求導(dǎo)或判別式法計(jì)算最值．

2 “等值線”的向量特征及其應(yīng)用

2.1 “等值線”的向量方程

圖3

是一組平行直線系．

(2016年10月浙江省數(shù)學(xué)新高考試題第21題)

圖4

2.2 “等值圓”的向量方程

證明 設(shè)AB的中點(diǎn)為O，則

從代數(shù)特征看，設(shè)A(-t,0)，B(t,0),P(x,y),則

(x+t,y)·(x-t,y)=λ，

即

x2+y2=t2+λ,

( )A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC

圖5 圖6

參 考 文 獻(xiàn)[1] 楊世明,王雪琴.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)[M].青島:中國(guó)海洋大學(xué)出版社,1998:295-298.[2] 潘成銀.平面向量基本定理系數(shù)等值線[J].數(shù)學(xué)通訊,2013(1):40.[3] 祝敏芝.為構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程而設(shè)計(jì)——課例“平面向量基本定理”評(píng)析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(5):36.

2016-09-27；

2016-10-30作者簡(jiǎn)介：詹高晟(1976-)，男，福建三明人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.2

A

1003-6407(2017)02-07-04