淺析高中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)的圖像性質(zhì)及根的求解

伍俊溢

摘 要：次函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中非常重要的一部分，成為每年高考幾乎必考的題目，所占分值也比較大，是所有考生學(xué)習(xí)備考中都不可忽視的的知識(shí)點(diǎn)。本文將從二次函數(shù)的圖像性質(zhì)以及它的應(yīng)用、二次函數(shù)的根的求解方法這兩個(gè)方面展開一些梳理和討論，希望能帶給同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的一些幫助。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；圖像性質(zhì)；根的求解

在高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)部分，函數(shù)的圖像是我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)掌握的部分，它的特征和性質(zhì)在幫助我們后續(xù)很多題目的分析解決有很大的幫助。可以說(shuō)，關(guān)于二次函數(shù)的圖像性質(zhì)和函數(shù)根的求解有很大的關(guān)聯(lián)，在學(xué)習(xí)的時(shí)候應(yīng)該要把兩者結(jié)合起來(lái)學(xué)習(xí)。

一、二次函數(shù)圖像性質(zhì)及其應(yīng)用

（一）二次函數(shù)的圖像性質(zhì)

1.二次函數(shù)有三種表達(dá)式：

（二）二次函數(shù)圖像性質(zhì)的應(yīng)用

二次函數(shù)的圖像有很多好的性質(zhì)，可以幫助我們方便快速的解決很多二次函數(shù)中的問(wèn)題，比如根的求解問(wèn)題，單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題，求最值的問(wèn)題等。

1.利用二次函數(shù)求解y=ax^2+bx+c（a不等于0）大于0，小于0或者等于0時(shí)的x的取值范圍。我們知道，在二次函數(shù)圖像上，有關(guān)鍵的三個(gè)點(diǎn)，頂點(diǎn)（-b/2a，（4ac-b^2）/4a ）以及函數(shù)和x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。利用求根公式或者因式分解法可以求出兩個(gè)交點(diǎn)x1、x2，通過(guò)觀察二次函數(shù)的圖像我們可以得出：當(dāng)a>0時(shí)，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上，函數(shù)值大于0，在x1、x2兩個(gè)點(diǎn)上，函數(shù)值等于0，在（x1，x2）上，函數(shù)值小于0；當(dāng)a<0時(shí)，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上，函數(shù)值小于0，在x1、x2兩個(gè)點(diǎn)上，函數(shù)值等于0，在

（x1，x2）上，函數(shù)值大于0。

2.二次函數(shù)的圖像是一個(gè)對(duì)稱圖形，我們可以利用它的對(duì)稱性和凸性求解最值的問(wèn)題。為了更好地解釋求解過(guò)程，這里我舉一個(gè)比較簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明問(wèn)題。已知函數(shù)y=x2+2x+2，求函數(shù)在（-3，-2）上的最值。由函數(shù)的性質(zhì)可以得出，該函數(shù)的開口方向向上，對(duì)稱軸是x=-1，因此可知，在區(qū)間（-3，-2）上函數(shù)是單調(diào)遞減的，并且在x=-3時(shí)函數(shù)有最大值，在x=-2時(shí)函數(shù)有最小值。

3.二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可以用來(lái)證明不等式。例如：已知a>0，2b>a+c，求證b-0，所以有A、B，且A

設(shè)f（x）=ax2-2bx+c（a>0），因?yàn)閍>0，2b>a+c，所以有f（1）=a-2b+c<0，加上圖像開口向下，我們可以得出該二次函數(shù)圖像一定與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)分別為x1、x2，且x1<10，所以b-

二、二次函數(shù)的求根方法和技巧

（一）頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)

在題目中已經(jīng)告訴二次函數(shù)經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可以考慮用頂點(diǎn)式解答。該題型往往比較簡(jiǎn)單，直接設(shè)函數(shù)的表達(dá)式是y=a（x-h）2+k進(jìn)行求解即可。

（二）三點(diǎn)式求解二次函數(shù)

三點(diǎn)式也是在函數(shù)求解方法中常用的一種，原理也相對(duì)簡(jiǎn)單。如果題目中告知函數(shù)經(jīng)過(guò)確定的三個(gè)點(diǎn)，則可以用該方法求解。此時(shí)，只需要將函數(shù)設(shè)成一般式即y=ax^2+bx+c，然后分別將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入函數(shù)式中求出a、b、c即可。

另外，交點(diǎn)式、平移式等也是在二次函數(shù)求解中經(jīng)常會(huì)使用到的方法，我們可以發(fā)現(xiàn)，每種方法都有各自適合的題型特點(diǎn)，具體方法的應(yīng)用我們要根據(jù)不同的題目特點(diǎn)和要求進(jìn)行選擇。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，二次函數(shù)的學(xué)習(xí)由于涉及到的知識(shí)點(diǎn)繁多，題型變化又復(fù)雜多變，對(duì)于這部分我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中一定要熟知它的圖像性質(zhì)及應(yīng)用，注意不同性質(zhì)間的聯(lián)系，并對(duì)不同題型的解題方法多加總結(jié)才能更好地掌握這部分的知識(shí)點(diǎn)。

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