關(guān)注抽象過程 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
——《乘法分配律》教學(xué)與評析

執(zhí)教/林 慧 評析/韓梅

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級下冊第62～63頁。

【教學(xué)過程】

一、呈現(xiàn)情境，引思激問

談話：學(xué)校要舉行體育藝術(shù)節(jié)，四五年級展示的是“花樣跳繩”。為了這次體藝節(jié)的精彩展示，四五年級的同學(xué)們到器材室借跳繩來了。（課件出示借跳繩場景）

師：仔細(xì)觀察，從圖中你獲得了哪些信息？

（學(xué)生交流）

師：根據(jù)這些信息你能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生1：四年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？

生2：五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？

生3：四、五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？

【評析：以學(xué)生熟悉的學(xué)校體育藝術(shù)節(jié)為背景，創(chuàng)設(shè)一個(gè)充滿現(xiàn)實(shí)的問題情境，讓學(xué)生獲取現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)信息，引發(fā)數(shù)學(xué)問題，激起探究欲望，從而積極主動(dòng)地帶著自己的知識(shí)基礎(chǔ)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)開啟探究活動(dòng)?！?/p>

二、探索發(fā)現(xiàn)，激思猜測

1.初步感知。

解決問題：四、五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩。

活動(dòng)：先列綜合算式自主解決問題，再交流想法。

結(jié)合反饋板書：

（6+4）×24

6×24+4×24

比較兩道算式。

生1：通過計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)這兩種解法雖列式不同，但都能解決上面的問題。

生2：雖然這兩個(gè)算式樣子不同，但是計(jì)算結(jié)果是相等的。

師：我們可以把兩個(gè)算式寫成一個(gè)等式。

2.類比體驗(yàn)。

出示問題二：為了這次體藝節(jié)，體操隊(duì)還排練了精彩的團(tuán)體操。

男生每行6人，共10行；女生每行9人，共10行。你知道參加團(tuán)體操表演的一共有多少人嗎？（呈現(xiàn)團(tuán)體操隊(duì)形圖）

（1）學(xué)生自主解答。

（2）交流反饋，教師相機(jī)板書：

（7+9）×10

7×10+9×10

（3）觀察等式，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，引發(fā)猜想。

觀察等號兩邊的算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？像這樣的情況，是偶然巧合還是有其中的規(guī)律呢？你能大膽地猜一猜嗎？

【評析：從生活中的實(shí)際問題出發(fā)，在學(xué)生獨(dú)立思考、探索的基礎(chǔ)上引導(dǎo)有效的交流，在交流中相互啟發(fā)，通過觀察、類比、列舉，使學(xué)生對乘法分配律有了初步感知，形成豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。觀察、猜想充分體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，學(xué)生通過解決問題、觀察感悟、比較猜想等多種學(xué)習(xí)活動(dòng)，生動(dòng)活潑地建構(gòu)起對數(shù)學(xué)富有個(gè)性的理解，發(fā)展了學(xué)習(xí)能力?！?/p>

三、自主探究，集思釋疑

1.自主舉例，驗(yàn)證猜想。

（1）自主舉例，深入體驗(yàn)規(guī)律。

（2+3）×5=2×5+3×5

（100+50）×2=100×2+50×2

（40+3）×10=40×10+3×10

……

（2）想一想，像這樣的等式寫得完嗎？

（3）能用語言描述的方式說明猜想是正確的嗎？相互說一說。

2.反饋交流，引導(dǎo)概括。

（1）在小組里交流發(fā)現(xiàn)，可以嘗試采用語言、文字或圖畫等各種方式來表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)和想法。

（2）學(xué)生在展臺(tái)上講解反饋。

生1：用字母表示，（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

生2：用語言敘述，兩個(gè)數(shù)的和乘第三個(gè)數(shù)，可以把這兩個(gè)數(shù)分別和第三個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加，結(jié)果不變。

生3：畫圖表示，（□＋○）×Δ＝□×Δ＋○×Δ。

小結(jié)板書課題。

3.揭示規(guī)律，反向延伸。

任何事物都可以從正反兩方面去看，你們反著讀一讀用字母表示的等式，這個(gè)規(guī)律還存在嗎？a×c＋b×c＝（a＋b）×c。

4.回顧歸納，反思內(nèi)化。

回憶一下，在我們以往的學(xué)習(xí)中曾經(jīng)在哪些地方運(yùn)用過乘法分配律嗎？

生1：長方形的周長計(jì)算。

生2：兩位整數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)的筆算。

【評析：從數(shù)學(xué)的角度來看，數(shù)學(xué)反映的是事物之間的關(guān)系和規(guī)律，它來源于生活而又遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于生活。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是對生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重組、加工，逐步抽象成數(shù)學(xué)模型，這樣的學(xué)習(xí)過程要讓學(xué)生親身經(jīng)歷。學(xué)生通過自主舉例驗(yàn)證猜想，在感悟的基礎(chǔ)上加深了理解，再通過交流，逐步能用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行概括。正是因?yàn)榻陶呒皶r(shí)去情境進(jìn)而數(shù)學(xué)化，有效地引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)概括，促進(jìn)了教學(xué)目標(biāo)得以順利達(dá)成?！?/p>

四、鞏固應(yīng)用，拓思提升

1.填空。

27×12＋43×12=（27＋□）×□

15×26＋14×15＝ □○（□○□）

56×□＋44×□＝（□○□）○□

63×15＋□×□＝（□＋□）×□

2.簡便計(jì)算。

75×22＋25×22

125×（8＋80）

102×15

3.試一試。

26×16＋44×16＋30×16

這道題和剛才研究的題目有什么不同？你能簡算嗎？

那看來，乘法分配律還可以拓展。能用示意圖把拓展后的乘法分配律這樣表示出來嗎？

4.想一想，生活中還有哪些問題可以用乘法分配律解決？

【評析：學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了乘法分配律，為使學(xué)到的知識(shí)能更好地納入到原有的已有知識(shí)體系里，進(jìn)行一定數(shù)量、有針對性、有實(shí)效的基本練習(xí)是必需的。本課練習(xí)的設(shè)計(jì)緊扣教學(xué)重點(diǎn)，注重練習(xí)的層次和坡度，關(guān)注實(shí)際應(yīng)用，很好地引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了用模的過程，促進(jìn)了對所學(xué)知識(shí)的深化理解。】

【總評】

模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一，數(shù)學(xué)模型是溝通生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系的橋梁，建立模型的過程就是架設(shè)這座橋梁的過程，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)展開、推進(jìn)和提升的過程。“乘法分配律”是關(guān)于運(yùn)算性質(zhì)的知識(shí)，它溝通了乘法與加、減法之間的關(guān)系，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用價(jià)值，是培養(yǎng)學(xué)生建模能力的很好素材。本課的教學(xué)是通過現(xiàn)實(shí)生活情境呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，引發(fā)數(shù)學(xué)思考，提出數(shù)學(xué)問題，再圍繞問題開展研究活動(dòng)，在探索活動(dòng)中建構(gòu)乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用模型解決現(xiàn)實(shí)問題。

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

現(xiàn)代教育理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)素材來源于學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，課始先將學(xué)生引進(jìn)生活，在具體情境中體驗(yàn)、感受生活化的數(shù)學(xué)，為后面回歸生活，體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的生活做好準(zhǔn)備。新課程要求“建立模型首先要從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”。這表明發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)?！俺朔ǚ峙渎伞笔呛艹橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)，如果沒有具體的感知材料，學(xué)生就無法獲得體驗(yàn)的機(jī)會(huì)，只能是在教師帶領(lǐng)下空洞地概括、硬記，只有提供豐富的學(xué)習(xí)素材，才能促進(jìn)學(xué)生自主探索建立模型。本課以學(xué)校體育藝術(shù)節(jié)為大背景，由此引出“花樣跳繩”和“團(tuán)體操表演”兩個(gè)問題情境。將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生熟悉且感興趣的問題有機(jī)融合，讓學(xué)生真切地感受到所學(xué)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。隨后結(jié)合情境引導(dǎo)學(xué)生提出問題再列式解答，對于問題一出現(xiàn)不同的算式（6+4）×24 和 6×24+4×24 后，組織學(xué)生結(jié)合情境討論算理，前一種算法是把四、五年級合起來算出一共有多少個(gè)班，再算跳繩的總根數(shù)；后一種算法是先分別算出四、五年級的根數(shù)再算總根數(shù)。解決問題二——團(tuán)體操表演中的數(shù)學(xué)問題，更是讓學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的過程中感受兩種算法之間的關(guān)系，分開算和合起來算的思路形成的過程也正是學(xué)生感知乘法分配律的過程。抓住不同算式結(jié)果相等而得到一道等式，學(xué)生在初步感知數(shù)學(xué)模型的同時(shí)也為后續(xù)模型的建立積累了豐富的素材。這一教學(xué)環(huán)節(jié)的安排符合學(xué)生的心理特點(diǎn)，利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的親切感與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

二、類比推理，初現(xiàn)模型

2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長期的、循序漸進(jìn)的過程。本課中通過問題設(shè)計(jì)有效地發(fā)展了學(xué)生的推理能力。首先是合情推理探路徑：在兩組等式得出后引導(dǎo)學(xué)生“觀察等號兩邊的算式，你發(fā)現(xiàn)了什么？像這樣的情況，是偶然巧合還是有其中的規(guī)律呢？你能大膽地猜一猜嗎？”在學(xué)生想辦法驗(yàn)證猜想時(shí)給出了友情提醒。一是讓學(xué)生通過實(shí)際情境列舉幾組相等的但形式不一樣的等式，初步感知規(guī)律，提出猜想，再列舉更多的符合這種規(guī)律的幾組算式，驗(yàn)證它們是否相等，最后得出結(jié)論。通過問題的引導(dǎo)讓學(xué)生經(jīng)歷合情推理的過程，探索、歸納、感受規(guī)律，再通過演繹推理明道理。合情推理的過程對于四年級的學(xué)生來說并不困難，符合學(xué)生的年齡特征和心理規(guī)律，而演繹推理的過程正是從不完全歸納向完全歸納發(fā)展的必經(jīng)之路。友情提醒中的第二條“講道理”就是引導(dǎo)學(xué)生從意義上來證明猜想的正確性。學(xué)生可能從問題的實(shí)際意義“四、五年級一共有10個(gè)班，也就是領(lǐng)10個(gè)24根”和數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義“（6+4）個(gè)24也就是6個(gè)24加4個(gè)24”兩個(gè)層面來體會(huì)與認(rèn)識(shí)，從而發(fā)展演繹推理的能力。在這樣先合情再演繹的推理過程中，學(xué)生經(jīng)歷了舉例驗(yàn)證到說理驗(yàn)證的數(shù)學(xué)化的過程，積累了關(guān)于乘法分配律的感性經(jīng)驗(yàn)，初步體會(huì)到乘法分配律的數(shù)學(xué)意義。

三、多元表征，建立模型

模型建立的重要一環(huán)就是“用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”，因此引導(dǎo)學(xué)生用個(gè)性化的表達(dá)方式將乘法分配律表示出來，模型才能真正地建立起來。本課教學(xué)中，在證明結(jié)論后，通過有層次的問題引領(lǐng)學(xué)生表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)。如：可以嘗試采用語言、文字或圖畫等各種方式來表達(dá)。再到如果用字母a、b、c表示三個(gè)加數(shù)，這樣的規(guī)律該怎樣表示？學(xué)生進(jìn)行了創(chuàng)造、個(gè)性化的表達(dá)和交流。這一過程既是學(xué)生觸及規(guī)律本質(zhì)的過程，亦是積累共識(shí)的過程。既增強(qiáng)學(xué)生用符號表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律的意識(shí)，體會(huì)用字母式子表示乘法分配律的嚴(yán)謹(jǐn)與簡潔；也有利于學(xué)生抽象思維能力的提升。在這一逐步抽象的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了乘法分配律模型建立的過程。

本節(jié)課中讓學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、驗(yàn)證規(guī)律、個(gè)性概括并應(yīng)用實(shí)踐的過程。學(xué)生在觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，完成了推理、抽象，建立起乘法分配律的模型。然而模型思想的形成不是一蹴而就的，它需要學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)長期的過程才能有所感悟。在這一過程中，學(xué)生總是從相對簡單到相對復(fù)雜，相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗(yàn)，初步掌握一些建模方法，才能逐步形成運(yùn)用模型去進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。