學(xué)會(huì)多角度尋找解題思路

李月恬 陳德前

(江蘇省姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 225500;江蘇省興化市教育局教研室 225700)

本文以一些典型的中考題為例，來談?wù)勅绾味嘟嵌鹊貙ふ医忸}思路.

例1 若2a-b=5，則多項(xiàng)式6a-3b的值是____．

解法1 (參數(shù)代入法)將a當(dāng)做已知數(shù)(參數(shù))，根據(jù)“減數(shù)等于被減數(shù)減去差”，可得b=2a-5，則6a-3b=6a-3(2a-5)=6a-6a+15=15.

解法2 (整體代入法)把6a-3b變形為3(2a-b)，然后把2a-b整體代入，即可求得其值.6a-3b=3(2a-b))=3×5=15.

解法3 (特值代入法)取a=0，則b=-5，當(dāng)a=0，b=-5時(shí)，6a-3b=0-3×(-5)=15.

反思回味：對(duì)于給定的條件，要善于從多角度來看，這里解法1 是將字母a看作常數(shù)來參與運(yùn)算的；方法2是從整體的角度來看的，從待求的代數(shù)式中變換出已知條件式2a-b，整體代入，十分簡(jiǎn)捷，也可以將已知式兩邊同時(shí)乘以3，整體得出結(jié)論；方法3是從特殊與一般的角度來看的，巧妙地取a=0，則b為整數(shù)-5，代入求值式計(jì)算比較簡(jiǎn)捷，在用這種方法解題時(shí)要注意兩點(diǎn)：一是所取的字母值要使已知式和求值式有意義，二是所取的字母值要使計(jì)算簡(jiǎn)便.

例2 化簡(jiǎn)：x-{-5x-〔-y+(-x+3y)+x〕}.

分析本題中含有多層括號(hào)，可以先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)； 也可以先去大括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去小括號(hào)；聯(lián)想到學(xué)習(xí)相反數(shù)時(shí)化簡(jiǎn)多重括號(hào)的方法，還可以得到一種更簡(jiǎn)捷的方法：要確定每一項(xiàng)最后結(jié)果的符號(hào)，就是數(shù)“-”號(hào)的個(gè)數(shù)，如果是奇數(shù)個(gè)，那么結(jié)果的符號(hào)為負(fù)；如果是偶數(shù)個(gè)，那么結(jié)果的符號(hào)為正，這樣就可以一次性去掉所有括號(hào)．

解法1 原式=x-{-5x-〔-y-x+3y+x〕}=x-{-5x-〔+2y〕}=x-{-5x-2y}=x+5x+2y=6x+2y.

解法2 原式=x+5x+〔-y+(-x+3y)+x〕=6x-y+(-x+3y)+x=7x-y-x+3y=6x+2y.

解法3 原式=x+5x-y-x+3y+x=6x+2y．

反思回味：解法1是解決這類問題時(shí)最常用的方法，即從里到外去括號(hào)，要注意每去一次括號(hào)后就要將可合并的同類項(xiàng)合并起來，這樣就減少了項(xiàng)數(shù)，既可以避免錯(cuò)誤，又可以簡(jiǎn)化計(jì)算. 解法2與解法1的思路正好相反，從外向里去括號(hào)，運(yùn)用了整體思想，去大括號(hào)時(shí)，將中括號(hào)看作一個(gè)整體，去中括號(hào)時(shí)將小括號(hào)看作一個(gè)整體.解法3給出了化簡(jiǎn)多重括號(hào)的一種簡(jiǎn)捷方法，即通過數(shù)“-”號(hào)的個(gè)數(shù)來判斷每一項(xiàng)最后結(jié)果的符號(hào)：如果是奇數(shù)個(gè)，那么結(jié)果的符號(hào)為負(fù)；如果是偶數(shù)個(gè)，那么結(jié)果的符號(hào)為正.這個(gè)法則可簡(jiǎn)記為“奇負(fù)偶正” ．

例3 從棱長(zhǎng)為2的正方體毛坯的一角，挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，得到一個(gè)如圖1所示的零件，則這個(gè)零件的表面積為 ．

分析解決本題首先想到的是計(jì)算出各個(gè)“外露”部分表面的面積，再求和，容易產(chǎn)生遺漏或重復(fù)；仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，從正方體毛坯中挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，則這個(gè)零件的表面積通過補(bǔ)形就等于原正方體的表面積，計(jì)算就十分簡(jiǎn)單.

解法1 這個(gè)零件的表面積=2×2×3+1×1×3+(2×2-1×1)×3=24.

解法2 這個(gè)零件的表面積=2×2×6=24.

反思回味：這類題的最大特點(diǎn)是不需要怎樣去計(jì)算，只靠仔細(xì)觀察結(jié)合實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，就很容易解決，掌握視圖的概念是解題的關(guān)鍵.這里采用的技巧就是補(bǔ)形，即將問題中的原圖形(非規(guī)則圖形或非特殊圖形)經(jīng)過添加輔助線以后，轉(zhuǎn)化為一個(gè)完整的特殊圖形，讓問題中的隱含條件顯露出來，從而使問題得以簡(jiǎn)捷獲解．

例4 已知如圖2所示的圖形的面積為24，根據(jù)圖中的條件，可列出方程： ．

反思回味：本題盡管是一道“小題”，但它“小題大做”，能充分考查了不同層次解題者的思維水平和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用能力．在每一種思路下得到的方程的簡(jiǎn)繁程度是一目了然的，但這些方程本質(zhì)上是相同的，因此給出的眾多答案可以把不同層次解題者的思維層次充分地映射出來，所以說，本題是題目小，功能大．

例5 災(zāi)后重建，四川從悲壯走向豪邁．災(zāi)民發(fā)揚(yáng)偉大的抗震救災(zāi)精神，桂花村派男女村民共15人到山外采購(gòu)建房所需的水泥，已知男村民一人挑兩包，女村民兩人抬一包，共購(gòu)回15包．請(qǐng)問這次采購(gòu)派男女村民各多少人？( ).

A．男村民3人，女村民12人

B．男村民5人，女村民10人

C．男村民6人，女村民9人

D．男村民7人，女村民8人

分析這是一道典型的實(shí)際問題應(yīng)用題，隨著我們思考角度的不同，解法也不一樣：

視角1(設(shè)直接未知數(shù)列一元一次方程求解的角度)：題目中有兩個(gè)等量關(guān)系：一是男村民人數(shù)+女村民人數(shù)=15人，二是男村民挑的水泥包數(shù)+女村民挑的水泥包數(shù)=15包．現(xiàn)在要求的是這次采購(gòu)派男女村民各多少人，有兩個(gè)未知數(shù)，根據(jù)第一個(gè)等量關(guān)系知，可設(shè)直接未知數(shù)，設(shè)其中一個(gè)未知量為x人，則由第一個(gè)等量關(guān)系可知另一個(gè)未知量為(15-x)人，再由第二個(gè)等量關(guān)系列方程求解．

視角2(設(shè)間接未知數(shù)列一元一次方程求解的角度)：題目中有兩個(gè)等量關(guān)系：一是男村民人數(shù)+女村民人數(shù)=15人，二是男村民挑的水泥包數(shù)+女村民挑的水泥包數(shù)=15包．現(xiàn)在要求的是這次采購(gòu)派男女村民各多少人，這可以通過求出男、女村民挑的水泥包數(shù)來求出．根據(jù)第二個(gè)等量關(guān)系，可設(shè)間接未知數(shù)，設(shè)其中一個(gè)未知量為x包，則由第二個(gè)等量關(guān)系可知另一個(gè)未知量為(15-x)包，再由第一個(gè)等量關(guān)系列方程求解．

視角3 (從分組的角度)：因?yàn)槟写迕褚蝗颂魞砂?，女村民兩人抬一包，所以可以把一個(gè)男村民和兩個(gè)女村民分成一組，每組3人挑3包水泥，15個(gè)人可以分為5組，5組15人挑15包水泥，這樣這次采購(gòu)派男女村民人數(shù)就一目了然了．

解法3 一個(gè)男村民和兩個(gè)女村民分成一組，則每組3人挑3包水泥，則5組村民15人正好挑15包水泥，5組中有5個(gè)男村民和10個(gè)女村民，選B．

反思回味：解決實(shí)際問題應(yīng)用題，方程是最有效的模型之一，隨著未知數(shù)選擇的不同，得到的解法也不一樣；數(shù)量關(guān)系選擇的不同，得到的解法也不一樣；由于題目沒有要求用方程來求解，所以采用算術(shù)方法來解決本題更簡(jiǎn)捷.

[1]杭永根，陳德前.開放探究問題(3)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬)，2017(1-2)：105-109.

[2]霍彩霞.如何進(jìn)行審題[J].初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)(七年級(jí))，2016(7-8)：98-101.