基于分?jǐn)?shù)階Fourier變換的微弱LFM信號(hào)檢測(cè)

紀(jì)秀美，張 莉，李俊超

（1.31002部隊(duì)；2.31008部隊(duì)，北京 100091）

LFM信號(hào)是被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納及通信領(lǐng)域，也是一種典型的低截獲概率信號(hào)[1-4]。對(duì)于LFM信號(hào)的檢測(cè)，目前國(guó)內(nèi)外已提出多種檢測(cè)方法[5-7]，但是隨著信噪比的降低，其檢測(cè)性能顯著下降。文獻(xiàn)[8]采用增加信號(hào)采樣點(diǎn)的方法改善信號(hào)的輸出信噪比，但是，信號(hào)的觀測(cè)時(shí)間和采樣頻率是受限的。文獻(xiàn)[9]提出了一種微弱LFM信號(hào)檢測(cè)方法，該方法在LFM信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier域LMS自適應(yīng)濾波算法的基礎(chǔ)上，采用自適應(yīng)譜線增強(qiáng)器技術(shù)，來(lái)改善信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換的輸出信噪比。但是，該方法增大了算法的運(yùn)算復(fù)雜性，而且，當(dāng)信噪比較低時(shí)，自適應(yīng)譜線增強(qiáng)器也無(wú)法分離LFM信號(hào)與噪聲，這樣就無(wú)法改善輸出信噪比。

針對(duì)分?jǐn)?shù)階Fourier域的微弱LFM信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題，本文推導(dǎo)了離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算條件下，LFM信號(hào)的輸出信噪比的表達(dá)式[10-11]，得出信號(hào)的輸出信噪比由信號(hào)的輸入信噪比和采樣點(diǎn)數(shù)決定。本文提出一種通過(guò)提高信號(hào)采樣頻率或者對(duì)已采樣信號(hào)作擬合插值的方法，在離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算條件下，改善信號(hào)的輸出信噪比，提高分?jǐn)?shù)階Fourier變換對(duì)微弱LFM信號(hào)的檢測(cè)能力。

1 分?jǐn)?shù)階Fourier變換

信號(hào)x(t)的FRFT定義式為：

FRFT的變換核Kα(t,u)為：

Xp(u)的逆變換為：

由式（3）可以看出，信號(hào)x(t)由一組權(quán)系數(shù)為Xp(u)的正交基函數(shù)K-α(t,u)所表征。

由于實(shí)際應(yīng)用中，大多采用數(shù)字信號(hào)處理方式，本文討論離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算條件下，微弱LFM信號(hào)的檢測(cè)。對(duì)于離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換的快速算法，在計(jì)算之前要求對(duì)信號(hào)進(jìn)行量綱歸一化[12]。量綱歸一化方法為：假定連續(xù)信號(hào)x(t)在時(shí)間軸和頻

率軸上都是緊支撐的，時(shí)域區(qū)間為[-Δt/2,Δt/2]，頻域區(qū)間為[-Δf/2,Δf/2]，則信號(hào)的時(shí)寬帶寬積為N=ΔtΔf。由于時(shí)間和頻率的量綱不同，為了分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算方便，要將時(shí)間和頻率都轉(zhuǎn)換成量綱為一的域。引入一個(gè)具有時(shí)間量綱的因子s=(Δt/Δf)1/2，并令x=t/s，v=fs。則新坐標(biāo)系(x,v)實(shí)現(xiàn)了量綱歸一化。在新坐標(biāo)系內(nèi)，時(shí)間和頻率的限定區(qū)間均為[-Δx/2,Δx/2]，其中，Δx=(Δt/Δf)1/2。信號(hào)的采樣間隔為1/Δx，采樣點(diǎn)數(shù)為N=Δx2。因?yàn)樵趯?shí)際中能夠獲得的只有信號(hào)的觀測(cè)時(shí)間Td和采樣頻率fs，所以令Δt=Td，Δf=fs[7]。

在滿足上述條件下，離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換快速算法的表達(dá)式為：

2 LFM信號(hào)尖峰在平面上的位置及高度

設(shè)有限長(zhǎng)單分量LFM信號(hào)x(t)模型如下：

式（5）中：f0為初始頻率；μ為調(diào)頻率；觀測(cè)時(shí)間為。

該信號(hào)的時(shí)頻分布如圖1所示。

在圖1中，粗黑線表示LFM信號(hào)的時(shí)頻分布線，β（β∈(0,π/2)或β∈(π/2,π)）為時(shí)頻線與t軸的夾角，本文取β∈(0,π/2)。u⊥v坐標(biāo)系表示時(shí)頻軸以角α逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，本文取α∈[0,π]，即p∈[0,2]，α0=p0π/2為“最佳”分?jǐn)?shù)階數(shù)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角。umax為時(shí)頻線與“最佳”分?jǐn)?shù)階域u軸的交點(diǎn)。

式（6）說(shuō)明，LFM信號(hào)的“最佳”分?jǐn)?shù)階旋轉(zhuǎn)角由該信號(hào)的調(diào)頻率決定。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為信號(hào)的“最佳”分?jǐn)?shù)階旋轉(zhuǎn)角α0時(shí)，信號(hào)頻譜聚集于點(diǎn)umax上，形成尖峰，該點(diǎn)即為頻譜最大值所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)：

由式（6）～（8）可知，LFM信號(hào)在平面（α,u）上的最大值的位置由信號(hào)的調(diào)頻率和初始頻率決定，且由最大值點(diǎn)的坐標(biāo)（α0,umax）估計(jì)信號(hào)參數(shù)值。在離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算條件下，因受量綱歸一化的影響，在量綱歸一化坐標(biāo)系內(nèi)，信號(hào)尖峰的位置變?yōu)閇7]：

由文獻(xiàn)[8]可知，LFM信號(hào)離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換模的最大值為，則。

3 LFM信號(hào)離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換的輸出信噪比分析

附加高斯白噪聲LFM信號(hào)的模型為：

式（10）中：v(t)為零均值復(fù)高斯白噪聲，且噪聲方差為；Td為信號(hào)的觀測(cè)時(shí)間；信號(hào)的采樣頻率為fs；信號(hào)的信噪比為。

如果只有信號(hào)x(n)而不存在噪聲，則在(α,u)平面上呈現(xiàn)一個(gè)尖峰，其峰值位于處，峰值為。對(duì)于觀測(cè)序列r(n)=x(n)+v(n)，其峰值在處發(fā)生隨機(jī)起伏，并有一定的起伏方差。輸出信噪比為：

聯(lián)立式（12）和（13）可得：

將式（14）代入式（11）得：

式（15）說(shuō)明LFM信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換輸出信噪比只與輸入信噪比和信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)。其中，輸入信噪比由信號(hào)的能量與雷達(dá)偵察接收機(jī)的內(nèi)部熱噪聲的能量決定。當(dāng)4SNR2N?1時(shí)，式（15）可近似表示為SNRout=SNR2N，即增大信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)N可以改善輸出信噪比。因此，當(dāng)4SNR2N?1時(shí)，可以通過(guò)增加信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)，提高信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換輸出信噪比。對(duì)于LFM信號(hào)脈沖壓縮雷達(dá)，對(duì)信號(hào)的有效采集時(shí)間為信號(hào)的脈沖寬度，一般為一固定值，無(wú)法延長(zhǎng)信號(hào)的觀測(cè)時(shí)間，只能采用提高信號(hào)采樣頻率的方法來(lái)增加信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)。但是，信號(hào)的采樣頻率受到數(shù)據(jù)采集硬件等條件的限制，不可能無(wú)限增大。當(dāng)信號(hào)采樣頻率無(wú)法提高時(shí)，可以采用對(duì)已采樣信號(hào)進(jìn)行插值處理的方法，增加信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)，來(lái)提高信號(hào)的輸出信噪比。最終，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Fourier變換對(duì)微弱LFM信號(hào)的檢測(cè)。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上面的結(jié)論，用一組仿真數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明。仿真信號(hào)樣本為單個(gè)LFM信號(hào)加高斯白噪聲，形式同式（10），其中，LFM信號(hào)的初始頻率為f0=20 MHz，調(diào)頻率為μ=50 MHz/μs，觀測(cè)時(shí)間Td=1 μs。圖2是信號(hào)在不同信噪比和采樣頻率下的分?jǐn)?shù)階Fourier變換模平方的三維分布圖。

由圖2 a）、b）的仿真結(jié)果可以看出，隨著信噪比的降低，LFM信號(hào)逐漸被噪聲淹沒(méi)，無(wú)法被檢測(cè)到，但是當(dāng)采樣頻率fs增加1倍，采樣點(diǎn)數(shù)增加1倍時(shí)，在離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算條件下，LFM信號(hào)的輸出信噪比明顯提高，LFM信號(hào)可被有效檢測(cè)，如圖2 c）所示。當(dāng)信號(hào)的采樣頻率fs保持不變，采用擬合插值方法，增加信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)，隨著插值倍數(shù)的增加，在離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算條件下，LFM信號(hào)的輸出信噪比不斷增加，并且比較明顯，直至LFM信號(hào)可被有效檢測(cè)，如圖2 d）～f）所示。仿真表明，通過(guò)對(duì)已采樣信號(hào)進(jìn)行擬合插值處理，在離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算條件下，可以顯著提高LFM信號(hào)的輸出信噪比，改善偵察系統(tǒng)對(duì)低截獲概率信號(hào)的偵察能力。

5 結(jié)論

本文研究了分?jǐn)?shù)階Fourier變換對(duì)微弱LFM信號(hào)的檢測(cè)。通過(guò)分析LFM信號(hào)在離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算條件下的輸出信噪比，得出了當(dāng)觀測(cè)信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)較大時(shí)，分?jǐn)?shù)階Fourier變換可有效提高LFM信號(hào)的輸出信噪比。利用這一結(jié)論，本文提出采用增加采樣頻率fs，或者保持采樣頻率fs不變，采取對(duì)已采樣信號(hào)進(jìn)行擬合插值的方法，在離散分?jǐn)?shù)階Fourier變換計(jì)算條件下，改善LFM信號(hào)的輸出信噪比，提高偵察系統(tǒng)對(duì)微弱LFM信號(hào)的檢測(cè)能力。同樣，該方法也可以推廣應(yīng)用于具有線性調(diào)頻特性的其他信號(hào)，如文獻(xiàn)[13-16]對(duì)幾種典型相位編碼信號(hào)和對(duì)稱(chēng)三角調(diào)頻連續(xù)波信號(hào)的檢測(cè)，對(duì)于提高偵察系統(tǒng)對(duì)具有線性調(diào)頻特性的低截獲概率信號(hào)有一定實(shí)用價(jià)值。

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