基于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的反艦導(dǎo)彈飽和攻擊模型

李 明，王光輝，謝宇鵬，徐光達(dá)

（海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001）

反艦導(dǎo)彈飽和攻擊是突破一體化艦載防空系統(tǒng)的核心戰(zhàn)術(shù)，因?yàn)橐惑w化艦載防空系統(tǒng)都是為抗擊反艦導(dǎo)彈的飽和攻擊而設(shè)計(jì)的。文獻(xiàn)[1]研究了一個(gè)批次反艦導(dǎo)彈突破艦載反導(dǎo)武器的攔截問(wèn)題，但沒(méi)有考慮反導(dǎo)武器的連續(xù)攔截能力；文獻(xiàn)[2]建立了艦艇編隊(duì)防空的模型，但沒(méi)有考慮不同反導(dǎo)武器有效空域?qū)r截效果的影響；文獻(xiàn)[3-5]采用時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)導(dǎo)引律；文獻(xiàn)[6-9]為每枚彈構(gòu)造一個(gè)虛擬領(lǐng)彈的方式，解決齊射的反艦導(dǎo)彈幾乎同時(shí)到達(dá)目標(biāo)問(wèn)題，但沒(méi)有解決反艦導(dǎo)彈的使用效率問(wèn)題。在正常情況下，反艦導(dǎo)彈捕捉目標(biāo)的概率一般接近1[10]，所以本文僅研究反艦導(dǎo)彈的突防問(wèn)題。本文建立了一種動(dòng)態(tài)模型模擬一體化艦載防空系統(tǒng)攔截齊射反艦導(dǎo)彈的過(guò)程，因?yàn)橥环?枚即可對(duì)艦艇目標(biāo)造成致命打擊，以突防1枚以上反艦導(dǎo)彈作為形成飽和攻擊的標(biāo)志。

1 艦載一體化防空系統(tǒng)的排隊(duì)服務(wù)規(guī)則

艦載一體化防空系統(tǒng)主要包括艦空導(dǎo)彈、火炮和電子戰(zhàn)系統(tǒng)，指揮控制系統(tǒng)將它們有機(jī)連接在一起，它根據(jù)目標(biāo)的速度、位置、各反導(dǎo)武器的性能、狀態(tài)，為每一枚進(jìn)入的反艦導(dǎo)彈分配武器，共同完成防空反導(dǎo)的任務(wù)。

1.1 艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)排隊(duì)服務(wù)規(guī)則

由于地球曲率的影響，艦載雷達(dá)難于在遠(yuǎn)距離上發(fā)現(xiàn)掠海飛行的反艦導(dǎo)彈，因此，這里僅研究應(yīng)用最廣泛的半主動(dòng)尋的中近程艦空導(dǎo)彈的攔截問(wèn)題。

雖然威脅程度可由多種因素融合而成[11]，但任何來(lái)襲的反艦導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)而言都是致命的。因此，本文采用根據(jù)反艦導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)的時(shí)間長(zhǎng)短確定反艦導(dǎo)彈的威脅等級(jí)，反艦導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)的時(shí)間越短，威脅程度越大。艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)對(duì)反艦導(dǎo)彈的攔截是一個(gè)先來(lái)先服務(wù)的模型，反艦導(dǎo)彈是顧客，艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)提供服務(wù)。因?yàn)榕炤d制導(dǎo)雷達(dá)對(duì)掠海飛行導(dǎo)彈的作用距離在20km左右，與反艦導(dǎo)彈末制導(dǎo)雷達(dá)的自導(dǎo)距離相近，在此距離上很難判斷反艦導(dǎo)彈是否被成功干擾。因此，應(yīng)該為每枚進(jìn)入艦空導(dǎo)彈發(fā)射區(qū)的反艦導(dǎo)彈提供服務(wù)（攔截），但艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)同時(shí)攔截反艦導(dǎo)彈數(shù)不大于可用制導(dǎo)雷達(dá)數(shù)。服務(wù)規(guī)則概括為：

1）以進(jìn)入目標(biāo)的順序作為武器分配的優(yōu)先排序；

2）進(jìn)入艦空導(dǎo)彈發(fā)射區(qū)的反艦導(dǎo)彈，如果沒(méi)有空閑制導(dǎo)雷達(dá)可用，插入排隊(duì)隊(duì)列等待服務(wù)；

3）艦空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)提供的服務(wù)是每次發(fā)射n（n=1,2）枚艦空導(dǎo)彈進(jìn)行攔截；

4）只有判斷本次攔截失敗，才能實(shí)施下一次攔截；

5）只有判斷攔截成功或反艦導(dǎo)彈飛出艦空導(dǎo)彈發(fā)射區(qū)，其占用的制導(dǎo)雷達(dá)才能分配給其他反艦導(dǎo)彈（轉(zhuǎn)火）。

1.2 電子戰(zhàn)系統(tǒng)的排隊(duì)服務(wù)規(guī)則

電子戰(zhàn)系統(tǒng)對(duì)反艦導(dǎo)彈的干擾可以看作是對(duì)成批顧客服務(wù)。電子干擾是否成功主要由3個(gè)因素決定，一是反艦導(dǎo)彈末制導(dǎo)系統(tǒng)的制導(dǎo)體制、工作方式、采用的抗干擾技術(shù)、信息處理技術(shù)和目標(biāo)識(shí)別技術(shù)等；二是目標(biāo)艦干擾裝備的性能、使用時(shí)機(jī)及使用方法；三是目標(biāo)艦所在戰(zhàn)場(chǎng)的電磁環(huán)境。因此，對(duì)反艦導(dǎo)彈干擾效果進(jìn)行仿真很復(fù)雜，即使采取實(shí)物進(jìn)行反艦導(dǎo)彈抗電子干擾的試驗(yàn)，其結(jié)果也未必具有代表性和普遍意義[12]。因此，本文僅設(shè)置電子戰(zhàn)系統(tǒng)對(duì)每枚反艦導(dǎo)彈成功干擾的概率。

1.3 小口徑火炮服務(wù)規(guī)則

反艦導(dǎo)彈的速度快、體積小，且大中口徑火炮的射速低，它們的作戰(zhàn)空域與近程艦空導(dǎo)彈重合[13]。所以，這里僅研究近程小口徑火炮對(duì)反艦導(dǎo)彈的攔截問(wèn)題。

小口徑火炮系統(tǒng)對(duì)反艦導(dǎo)彈的攔截是一個(gè)先來(lái)先服務(wù)的模型，服務(wù)規(guī)則[14]為：

1）以進(jìn)入目標(biāo)順序作為武器分配的優(yōu)先排序；

2）只有進(jìn)入小口徑火炮有效作用范圍，才申請(qǐng)服務(wù)；

3）因?yàn)檠芯康氖歉邚?qiáng)度的反艦導(dǎo)彈攻擊，提供的服務(wù)是為每一枚反艦導(dǎo)彈分配一座小口徑火炮；

4）沒(méi)有可用的小口徑火炮時(shí)，則進(jìn)入排隊(duì)隊(duì)列等待服務(wù)；

5）只有反艦導(dǎo)彈進(jìn)入火炮的近界，才能轉(zhuǎn)火。

2 一體化反導(dǎo)武器的攔截過(guò)程

被目標(biāo)探測(cè)到的反艦導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)均造成致命的威脅。由于反艦導(dǎo)彈有自尋的能力，在相對(duì)較遠(yuǎn)的距離上很難判斷電子干擾的結(jié)果，如果反艦導(dǎo)彈較接近目標(biāo)時(shí)，可通過(guò)目標(biāo)的航路捷徑判斷反艦導(dǎo)彈被干擾的效果。所以，被目標(biāo)探測(cè)到的反艦導(dǎo)彈首先分配給艦空導(dǎo)彈，突破艦空導(dǎo)彈和電子戰(zhàn)系統(tǒng)攔截的反艦導(dǎo)彈，再分配給近程火炮，在攔截反艦導(dǎo)彈的過(guò)程中各反導(dǎo)武器的狀態(tài)根據(jù)攔截效果和反艦導(dǎo)彈位置發(fā)生變化[15]。

2.1 反導(dǎo)武器的狀態(tài)

制導(dǎo)雷達(dá)共有2種狀態(tài)：

發(fā)射裝置有3種狀態(tài)：

小口徑火炮有3種狀態(tài)：

2.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)構(gòu)

控制中心控制攻防對(duì)抗的過(guò)程，采用時(shí)間觸發(fā)器，實(shí)時(shí)更新各反艦導(dǎo)彈的狀態(tài)和位置信息[16]，根據(jù)排隊(duì)規(guī)則分配武器，進(jìn)行攔截效果判斷和結(jié)果統(tǒng)計(jì)，更新并登記反艦導(dǎo)彈（ASM）及反導(dǎo)武器（SAM）的狀態(tài)，如圖1所示。

圖1為反艦導(dǎo)彈和防空武器系統(tǒng)的對(duì)抗仿真結(jié)構(gòu)，在設(shè)定初始條件后可以根據(jù)時(shí)間觸發(fā)機(jī)制進(jìn)行對(duì)抗仿真。在時(shí)刻t，第j枚導(dǎo)彈的實(shí)時(shí)距離為

式（4）中：R1為發(fā)射第1枚艦空導(dǎo)彈時(shí)，第1枚進(jìn)入的反艦導(dǎo)彈與目標(biāo)的距離；Rj為對(duì)抗到t時(shí)刻，第j枚反艦導(dǎo)彈與目標(biāo)的距離；va為反艦導(dǎo)彈的平均速度；Δti為第i枚與第i+1枚反艦導(dǎo)彈進(jìn)入目標(biāo)的時(shí)間間隔，該時(shí)間間隔用[0，1]均勻分布隨機(jī)數(shù)表示[13]；t為系統(tǒng)時(shí)間，是發(fā)射第1枚艦空導(dǎo)彈攔截第1枚進(jìn)入的反艦導(dǎo)彈的時(shí)間，且

式中，τ為時(shí)間觸發(fā)器的步長(zhǎng)。

當(dāng)k=0時(shí)，第1枚進(jìn)入的反艦導(dǎo)彈與目標(biāo)的距離為

式（6）中：Rmax為艦空導(dǎo)彈的發(fā)射區(qū)遠(yuǎn)界；vs為艦空導(dǎo)彈的平均飛行速度；t1為艦空導(dǎo)彈火控系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間（轉(zhuǎn)火時(shí)間）。

隨著k的增加，反艦導(dǎo)彈的位置和反導(dǎo)武器的狀態(tài)被更新。

2.3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移條件

2.3.1 艦空導(dǎo)彈狀態(tài)轉(zhuǎn)移條件

當(dāng)?shù)趈枚反艦導(dǎo)彈進(jìn)入艦空導(dǎo)彈發(fā)射區(qū)時(shí)，申請(qǐng)服務(wù)的條件為：

式中，Rmin為艦空導(dǎo)彈的發(fā)射區(qū)近界。

制導(dǎo)雷達(dá)Zi分配給Dj，其狀態(tài)從0轉(zhuǎn)移到1。

Dj為第j枚反艦導(dǎo)彈被艦空導(dǎo)彈成功攔截或進(jìn)入艦空導(dǎo)彈的最小攔截距離[17]，其占用的Zi從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)0，即

式（8）、（9）中：t2為攔截效果評(píng)估時(shí)間；Ps為艦空導(dǎo)彈一次攔截成功摧毀一枚反艦導(dǎo)彈的概率；η1為[0，1]均勻分布隨機(jī)數(shù)；tLi為發(fā)射裝置Li開(kāi)始發(fā)射導(dǎo)彈的時(shí)間；tm為從申請(qǐng)發(fā)射裝置到發(fā)射完畢的時(shí)間，且當(dāng)發(fā)射裝置空閑時(shí)，

當(dāng)發(fā)射裝置忙時(shí)，

式（10）、（11）中：n為一次攔截齊射艦空導(dǎo)彈數(shù)；t3為2枚艦空導(dǎo)彈的發(fā)射間隔；tL是發(fā)射裝置可用的時(shí)間；tZi為制導(dǎo)雷達(dá)Zi被分配給Dj的時(shí)間。

于是有：

式中，Ps1為艦空導(dǎo)彈單發(fā)毀傷概率。

Zi保持忙的條件是攔截失敗[18]，且該反艦導(dǎo)彈仍在艦空導(dǎo)彈發(fā)射區(qū)內(nèi)，即

發(fā)射完畢且發(fā)射裝置Li有導(dǎo)彈，其狀態(tài)從2變?yōu)?，即

式中，mLi為L(zhǎng)i剩余艦空導(dǎo)彈數(shù)，且

式（15）中：mk為攔截Dj時(shí)Li發(fā)射的導(dǎo)彈數(shù)；MLi為L(zhǎng)i的初始備彈量。

發(fā)射完畢且發(fā)射裝置Li沒(méi)有導(dǎo)彈，其狀態(tài)轉(zhuǎn)為2，即

發(fā)射裝置Li裝填好導(dǎo)彈，其狀態(tài)從2轉(zhuǎn)為0。

2.3.2 近程火炮狀態(tài)轉(zhuǎn)移條件

未被艦空導(dǎo)彈攔截或突破艦空導(dǎo)彈攔截、且未被電子干擾的反艦導(dǎo)彈，當(dāng)其進(jìn)入小口徑火炮的射界時(shí)，才會(huì)為其分配小口徑火炮[19]。Dj已被分配給艦空導(dǎo)彈的情況下：

式（17）中：η2為[0，1]均勻分布隨機(jī)數(shù)；Pe為Dj被成功干擾的概率；Rgmin為火炮的射擊近界。

Dj未被分配給艦空導(dǎo)彈的情況下：

小口徑火炮Gi分配給Dj后，Dj=1。因?yàn)榉磁瀸?dǎo)彈的速度快，小口徑火炮對(duì)其射擊的時(shí)間只有幾秒鐘，不考慮火炮在射擊時(shí)間內(nèi)的轉(zhuǎn)火問(wèn)題。Gi從Rgmax射擊到Rgmin，其狀態(tài)轉(zhuǎn)為0的時(shí)間及條件為

式（19）中：tGi為火炮Gi被分配給Dj的時(shí)間；nGi為剩余炮彈數(shù)，且

式（20）中：NG為火炮初始備彈量；nk為火炮Gi攔截Dk的炮彈消耗量，如果火炮Gi未被分配給Dj，nk=0；如果火炮Gi被分配給Dj，則

式（21）、（22）中：vr為射速，單位為發(fā)/秒。

當(dāng)彈鼓內(nèi)的炮彈用完，火炮的狀態(tài)為2。重新裝填好炮彈，Gi=0。

2.3.3 反艦導(dǎo)彈狀態(tài)轉(zhuǎn)移條件

如果Dj被成功攔截，Dj=1，其條件為：

式（23）中：η3為[0，1]均勻分布隨機(jī)數(shù)；Pg為Dj被火炮成功攔截的概率，且

式（24）中，Pg1為一座火炮從Rgmax射擊到Rgmin對(duì)反艦導(dǎo)彈的摧毀概率。

3 飽和攻擊所需齊射反艦導(dǎo)彈數(shù)

對(duì)反導(dǎo)能力較強(qiáng)的目標(biāo)而言，小規(guī)模反艦導(dǎo)彈的齊射很難突破目標(biāo)的攔截[20]，如果Dj突破了目標(biāo)的攔截，可近似認(rèn)為達(dá)到了飽和攻擊[21]，即：如果Dj滿(mǎn)足

齊射j枚反艦導(dǎo)彈能對(duì)目標(biāo)形成飽和攻擊，一次模擬結(jié)束。

因?yàn)轱柡凸羲椠R射導(dǎo)彈數(shù)未知，在仿真對(duì)抗中，齊射反艦導(dǎo)彈數(shù)不限，齊射j枚反艦導(dǎo)彈達(dá)到飽和攻擊的次數(shù)為Nj，共進(jìn)行N次模擬，齊射j枚反艦導(dǎo)彈形成飽和攻擊的概率密度為：

齊射j枚反艦導(dǎo)彈形成飽和攻擊的概率為：

所需齊射反艦導(dǎo)彈數(shù)的數(shù)學(xué)期望為：

假設(shè)在一次齊射沒(méi)有達(dá)到目的的情況下，再次齊射相同數(shù)量的反艦導(dǎo)彈，反艦導(dǎo)彈消耗量的期望值[22]為f(j)。

所需最優(yōu)齊射導(dǎo)彈數(shù)為：

4 舉例

各參數(shù)為：Rmax=15km，Rmin=2km，vs=1km/s，Ps=0.5；t1=4 s，t2=3 s，t3=3 s，ML=60，有效照射雷達(dá)3部，發(fā)射裝置2座，n=2；有效火炮2座，vr=50 round/s，NG=3 000，Rgmin=0.3km ，Rgmax=1.5km ，tg=2 s，Pg=0.7；va=0.3km/s；τ=0.05 s，N=5 000。因?yàn)閷?duì)抗的時(shí)間非常短，不考慮艦空導(dǎo)彈和火炮的重新裝填。仿真結(jié)果如表1、2和圖2、3所示，表1、2中的所需齊射導(dǎo)彈數(shù)按大取整。

表1 達(dá)成飽和攻擊概率及所需導(dǎo)彈數(shù)（N=1）Tab.1 Reach saturation attack probability and the number of missiles（N=1）

表2 達(dá)成飽和攻擊概率及所需導(dǎo)彈數(shù)（N=2）Tab.2 Reach saturation attack probability and the number of missiles（N=1）

表1顯示要求突防1枚反艦導(dǎo)彈的概率越高，所需齊射的反艦導(dǎo)彈數(shù)越多。相鄰反艦導(dǎo)彈進(jìn)入目標(biāo)的時(shí)間間隔越短，所需的反艦導(dǎo)彈數(shù)越少。

比較表1、2，可以發(fā)現(xiàn)，在相同條件下，當(dāng)齊射導(dǎo)彈數(shù)稍大于突防1枚所需齊射導(dǎo)彈數(shù)時(shí)，另1枚反艦導(dǎo)彈很容易突破目標(biāo)的防御，這意味著飽和攻擊已形成。

圖2顯示齊射反艦導(dǎo)彈數(shù)以一定的概率對(duì)目標(biāo)形成飽和攻擊，在反艦導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)時(shí)間間隔一定的情況下，隨著齊射反艦導(dǎo)彈數(shù)的增加，概率密度的變化率有一躍升，它是艦載反導(dǎo)系統(tǒng)能在該條件下同時(shí)攔截反艦導(dǎo)彈數(shù)的臨界點(diǎn)，且反艦導(dǎo)彈到達(dá)目標(biāo)的時(shí)間間隔越短，達(dá)到該臨界點(diǎn)所需齊射反艦導(dǎo)彈數(shù)越少，即越易形成飽和攻擊。

圖3顯示了不同齊射導(dǎo)彈數(shù)的彈藥消耗量的變化趨勢(shì)，齊射導(dǎo)彈數(shù)過(guò)少或過(guò)多的效率都低，存在一個(gè)最優(yōu)齊射數(shù)量，它與反艦導(dǎo)彈進(jìn)入目標(biāo)的密度和反導(dǎo)武器的性能有關(guān)。

仿真結(jié)果也給出了電子干擾對(duì)飽和攻擊所需反艦導(dǎo)彈數(shù)的影響。因?yàn)槲覀兗僭O(shè)干擾效果采用反艦導(dǎo)彈的航路捷徑來(lái)判斷，干擾結(jié)果僅影響小口徑火炮的攔截，所以，有和沒(méi)有電子干擾仿真結(jié)果的差異不是很大。

5 結(jié)論

建立的模型模擬了艦載反導(dǎo)武器對(duì)齊射反艦導(dǎo)彈的攔截過(guò)程[23]，得到了齊射反艦導(dǎo)彈數(shù)與形成飽和攻擊概率的關(guān)系，只要確定了齊射反艦導(dǎo)彈進(jìn)入目標(biāo)的時(shí)間分布和反導(dǎo)武器的主要參數(shù)，即可利用本模型仿真對(duì)目標(biāo)實(shí)施飽和攻擊所需齊射導(dǎo)彈數(shù)的最優(yōu)值，為高效率使用反艦導(dǎo)彈奠定了基礎(chǔ)。

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