多方面剖析，例談柯西不等式的妙用

☉江蘇省海州高級中學(xué) 陶 飛

多方面剖析，例談柯西不等式的妙用

☉江蘇省海州高級中學(xué) 陶 飛

眾所周知，柯西不等式在數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用，它在不同領(lǐng)域的應(yīng)用靈活多變，柯西不等式在數(shù)學(xué)當(dāng)中有著很高地位，它的應(yīng)用是數(shù)學(xué)知識之間滲透性、統(tǒng)一性的表現(xiàn).柯西不等式相關(guān)應(yīng)用有一些基本的方法和技巧，下面通過具體例子來闡述這方面內(nèi)容.

一、最值問題，活學(xué)活用

利用柯西不等式求最值是定理的基本應(yīng)用，這種題目的關(guān)鍵就是要構(gòu)造一組數(shù)或者一組式子，使得題目中不等式轉(zhuǎn)化成柯西不等式的近似形式，這樣在通過變形、縮放等方法得到最后要求的結(jié)果.學(xué)生對定理的靈活掌握來源于平常的勤奮練習(xí)，所以學(xué)習(xí)要動腦又動手.

例1 已知a，b，c，d滿足a+b+c+d=m，a2+2b2+3c2+6d2=1.

（1）求m的取值范圍；

（2）若m=1，求a的最值.

解 析 ：（1） 由 柯 西 不 等 式 得 a2+2b2+3c2+6d2·所以m2≤2，即

點撥：例1是柯西不等式求最值的典型題，我們從題目中可以看出應(yīng)用柯西不等式的要點，而不等式縮放后為常數(shù)是應(yīng)用柯西不等式的基本要點之一，是需要熟練掌握的基本點，在日常的做題練習(xí)當(dāng)中，大家要注意總結(jié)這類關(guān)鍵點，做到一通百通.

二、三角函數(shù)，手到擒來

由于柯西不等式應(yīng)用廣泛，在很多題目當(dāng)中都會看到它的身影.在近年來的高考題目中各部分知識的綜合考查成為重點，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)和掌握的難點，大家都知道函數(shù)貫穿于整個中學(xué)學(xué)習(xí)階段，將兩者結(jié)合之后同學(xué)們是否還能從容應(yīng)對呢？下面來看例題是如何做的.

例2當(dāng)x=θ時，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cosθ=_______.

解析：由柯西不等式可得時，（fx）取得最大值，所以又由上面的柯西不等式取等號的條件可知，解方程組得

點撥：這里通過題目可以看到柯西不等式結(jié)合函數(shù)知識的應(yīng)用，所以同學(xué)們在解題當(dāng)中不能一味地“死做題，做死題”，要將數(shù)學(xué)知識中不同章節(jié)內(nèi)容聯(lián)系起來，用發(fā)展和聯(lián)系的眼光看數(shù)學(xué)知識，有創(chuàng)造性地思考問題，這樣才不會在這些新題型面前不知所措.

三、幾何問題，攻克難點

在浩瀚的數(shù)學(xué)知識體系當(dāng)中，任何兩個知識點的碰撞都可能會有引起火花.下面介紹的是在幾何當(dāng)中嵌入柯西不等式的解題方法，這里重在引導(dǎo)學(xué)生的思路，開拓學(xué)生的眼界和思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和發(fā)現(xiàn)意識，希望大家能夠通過例題洞悉其中的一些奧秘.

例3在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，求點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離.

解析：點P（x0，y0）到直線的最小距離，實際上就是點P到直線上某點Q（m，n）之間的距離最小值，即的最小值.根據(jù)柯西不等式知，由Q（m，n）在直線上得，所以即，從而得要求的最小值為

點撥：活學(xué)活用是數(shù)學(xué)解題的重要思維之一，這里展示的例題便充分說明了這一點.柯西不等式在幾何題當(dāng)中的應(yīng)用，是非常具有創(chuàng)新性的題目，這類新穎的題目是近年來高考的難點，能夠突破書本中知識的“枷鎖”，便決定了在難點測試中最后的成敗.

四、參數(shù)范圍，快速求解

利用柯西不等式可以快速求得參數(shù)的范圍，提高解題的效率.解決這類問題的關(guān)鍵在于仔細(xì)分析題目中的已知條件，找到各個條件之間的關(guān)系，再結(jié)合柯西不等式將它們聯(lián)系起來，從而高效地解決問題.

例4已知實數(shù)a、b、c滿足a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，求c的取值范圍.

解析：先來看一種錯誤的解法：根據(jù)（a2+b2+c2）（1+22+22）≥（a+2b+2c）2，解得（1+c）2≤9，則-4≤c≤2.這種解法忽略了柯西不等式等號成立時所需要滿足的條件，所求得的結(jié)果兩邊不能夠取得等號，因此將范圍擴(kuò)大，導(dǎo)致解題結(jié)果的錯誤.

下面來看正確的解法：通過觀察兩個式子的特點，可以根據(jù)柯西不等式建立與參數(shù)c有關(guān)的一元二次不等式，從而求出參數(shù)c的取值范圍.根據(jù)（a2+b2）（1+22）≥（a+2b）2，可以得到5（1-c）2≥（1-c）（21-c）2，即3c2-c-2≤0，解得，所以所求參數(shù)c的取值范圍為

點撥：本題的關(guān)鍵在于根據(jù)柯西不等式建立含有參數(shù)c的一元二次不等式，同時也不能忽略柯西不等式等號成立時所需要滿足的條件，只要注意以上的要點，利用柯西不等式求參數(shù)范圍的問題將會迎刃而解.

本文展示的四個例題是柯西不等式應(yīng)用的一部分類型，這在柯西不等式應(yīng)用當(dāng)中還只是冰山一角，柯西不等式是工具，數(shù)學(xué)的其他知識是基礎(chǔ)，只有打好這個基礎(chǔ)，才能運用好這個工具.希望學(xué)生能通過四個例題的反思，鍛煉自己的思維，將自己的能力提高一個檔次.