讀邏輯RL與任意讀邏輯AL*

林淵雷

肇慶學(xué)院政法學(xué)院linyuanlei@126.com

讀邏輯RL與任意讀邏輯AL*

林淵雷

肇慶學(xué)院政法學(xué)院linyuanlei@126.com

本文認(rèn)為文獻(xiàn)（van Ditmarsch et.al.,2007）對(duì)認(rèn)知行動(dòng)“讀”形式化時(shí)，語(yǔ)法與語(yǔ)義混淆，給出的語(yǔ)法和語(yǔ)義不夠直觀、自然。本文在形式化認(rèn)知行動(dòng)“讀”時(shí)，嚴(yán)格區(qū)分語(yǔ)法和語(yǔ)義，在形式上更直觀自然、更易理解；在此基礎(chǔ)上，給出讀邏輯RL的公理系統(tǒng)，并證明其可靠性和完全性。另外，本文還對(duì)認(rèn)知行動(dòng)“讀”的量化進(jìn)行研究，給出了這個(gè)量化邏輯AL的形式化。在表達(dá)力方面，本文還得到如下結(jié)果：(1)讀邏輯RL、公開(kāi)宣告邏輯、認(rèn)知邏輯以及單認(rèn)知主體的任意讀邏輯AL表達(dá)力相等；(2)多認(rèn)知主體的任意讀邏輯AL的表達(dá)力要嚴(yán)格大于認(rèn)知邏輯、讀邏輯和公開(kāi)宣告邏輯。

讀；認(rèn)知行動(dòng)量化；知識(shí)更新

1 引言

多主體的互動(dòng)，往往也是多主體間大量信息的互動(dòng)。本文研究認(rèn)知行動(dòng)“讀”所導(dǎo)致的信息結(jié)構(gòu)和信息流的動(dòng)態(tài)變化，力圖提供準(zhǔn)確、直觀、容易理解的理論工具。

認(rèn)知行動(dòng)“讀”在文獻(xiàn)[4]第五章和第六章認(rèn)知行動(dòng)模型有討論。那里的“讀”是公開(kāi)的“讀”，不是私密的“讀”。即某認(rèn)知主體讀時(shí)，所有認(rèn)知主體都知道該認(rèn)知主體在“讀”關(guān)于某個(gè)命題的真假（盡管其他認(rèn)知主體可能不知道該命題具體到底是真還是假），并且都知道其他認(rèn)知主體也知道這一事實(shí)。

當(dāng)然，本文和[4]所討論的“讀”是公開(kāi)的，不意味著“讀”這一認(rèn)知?jiǎng)幼骶鸵欢ǘ际枪_(kāi)的。實(shí)際上，“讀”也可以是私密的，只不過(guò)私密的“讀”不是本文和[4]的研究范圍。

[4]在第六章給出了認(rèn)知行動(dòng)“讀”的語(yǔ)法和語(yǔ)義，并且給出了包含較一般化的認(rèn)知行動(dòng)的可靠完全的公理化系統(tǒng)。但是，這個(gè)系統(tǒng)有一個(gè)缺點(diǎn)：語(yǔ)法和語(yǔ)義混淆在一起，導(dǎo)致系統(tǒng)不直觀自然，難以理解。雖然[4]在第145–146頁(yè)做了一些辯護(hù)。筆者認(rèn)為其辯護(hù)的說(shuō)服力不充分，因?yàn)楦鶕?jù)[4]第149頁(yè)定義6.2和定義6.3，語(yǔ)法中的認(rèn)知行動(dòng)模型確實(shí)是語(yǔ)義上的模型，并非只是認(rèn)知行動(dòng)的名字。退一步，就算確實(shí)沒(méi)有混淆語(yǔ)法和語(yǔ)義，起碼是不直觀，也不符合習(xí)慣，難以理解。

本文第二節(jié)也對(duì)認(rèn)知行動(dòng)“讀”進(jìn)行形式化，這個(gè)形式化的語(yǔ)義與[4]第六章的“讀”等價(jià)。但是，語(yǔ)義和語(yǔ)法不混合在一起，形式化更直觀自然、容易理解，并給出了可靠、完全的公理化系統(tǒng)，稱(chēng)為“讀邏輯”。

公開(kāi)宣告邏輯是一個(gè)比較著名的動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯。其認(rèn)知?jiǎng)幼鳌肮_(kāi)宣告”，無(wú)論是宣告的內(nèi)容還是宣告動(dòng)作本身，都是對(duì)所有的認(rèn)知主體公開(kāi)的，所有的認(rèn)知主體都知道。例如：認(rèn)知主體a當(dāng)著所有認(rèn)知主體的面告訴大家“昨晚曼聯(lián)隊(duì)獲得了冠軍”，于是所有的認(rèn)知主體都知道所有的認(rèn)知主體都知道這件事。而本文的認(rèn)知?jiǎng)幼鳌白x”則是一種不同的認(rèn)知?jiǎng)幼?。還是用“昨晚曼聯(lián)隊(duì)獲得冠軍”舉例：認(rèn)知主體a正拿著昨晚曼聯(lián)隊(duì)球賽的報(bào)導(dǎo)在讀（默讀），所有認(rèn)知主體都看到a在（默）讀曼聯(lián)隊(duì)昨晚賽事報(bào)導(dǎo)，但是看不到他手里報(bào)導(dǎo)的內(nèi)容。所以與公開(kāi)宣告相比，雖然有公開(kāi)的一面，但是也有其私密的一面（別人雖然知道是關(guān)于什么的報(bào)導(dǎo)，但是看不到球賽報(bào)導(dǎo)的內(nèi)容）。

讀邏輯與公開(kāi)宣告邏輯相比，在Kripke語(yǔ)義上的特點(diǎn)是：公開(kāi)宣告邏輯刪除可能世界；本文的讀邏輯在保留所有的可能世界的基礎(chǔ)上刪除部分可達(dá)關(guān)系，而且刪可達(dá)關(guān)系時(shí)依認(rèn)知主體而定，不是像公開(kāi)宣告邏輯那樣不依賴(lài)于認(rèn)知主體。而在表達(dá)力方面，讀邏輯與公開(kāi)宣告邏輯一樣，都等價(jià)于認(rèn)知邏輯（S5系統(tǒng)），參見(jiàn)第三節(jié)定理3和定理4。

另外，在討論可知性問(wèn)題時(shí)，會(huì)涉及到認(rèn)知行動(dòng)的量化。

[5]有個(gè)著名的定理：如果存在還沒(méi)被知道的真理（truth），則“這個(gè)真理還沒(méi)被知道”本身就是不可知的。

該定理挑戰(zhàn)了下面兩個(gè)命題一致性：

A.所有的真理都是可知

B.存在還沒(méi)認(rèn)識(shí)的真理

可知論者持有前一個(gè)觀點(diǎn)，即所有的真理都是可知的。而第二個(gè)觀點(diǎn)，即“存在還沒(méi)認(rèn)識(shí)的真理”顯然為真，因?yàn)槿瞬皇侨摹５歉鶕?jù)該的定理，可以推出：所有的真理都是已經(jīng)被認(rèn)識(shí)的真理。這顯然和事實(shí)矛盾！

從動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯的角度看：摩爾句（Moore sentence）“p真但不知道p真”就是作為駁斥“所有的真理都是可知的”這一觀點(diǎn)的典型反例。詳細(xì)的討論可以參考[2]。

關(guān)于可知性研究的一個(gè)方向是：到底有哪些真理是不能被認(rèn)識(shí)的？除了摩爾句外，更多的反例可以參見(jiàn)[3]。

另一個(gè)研究方向是：有哪些真理是可知的？[2]就提出了這個(gè)問(wèn)題。[1]的前言也有一些簡(jiǎn)短的論述。本文對(duì)認(rèn)知行動(dòng)“讀”進(jìn)行量化，也是受到[1]的啟發(fā)。已經(jīng)知道的東西，即現(xiàn)有知識(shí)是靜態(tài)的；但是人類(lèi)的認(rèn)識(shí)是不斷前進(jìn)的，從而知識(shí)是動(dòng)態(tài)的，所以從動(dòng)態(tài)認(rèn)知邏輯的角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，可能比較方便。認(rèn)知主體認(rèn)識(shí)了原來(lái)不知道的真的命題，原因有很多，比如說(shuō)：有人告訴你，或者自己親身進(jìn)行科學(xué)探索，或者讀別人已經(jīng)總結(jié)出來(lái)的科學(xué)著作等等。廣義上，我們可以把這些都稱(chēng)之為認(rèn)知行動(dòng)?，F(xiàn)在，我們關(guān)心的是：

(1)什么樣的真命題可以通過(guò)認(rèn)知行動(dòng)而被認(rèn)知主體認(rèn)識(shí)？

(2)什么樣的真命題（或公式），使得存在某一認(rèn)知行動(dòng)，通過(guò)采取該認(rèn)知行動(dòng)而被認(rèn)知主體認(rèn)識(shí)？

這兩個(gè)問(wèn)題涉及到認(rèn)知行動(dòng)的量化。[1]研究了：通過(guò)某個(gè)“公開(kāi)宣告”，哪些真的公式可以被認(rèn)識(shí)。在[1]的最后，還簡(jiǎn)略地討論了“任意事件（arbitrary events）”，即任意認(rèn)知行動(dòng)，把對(duì)認(rèn)知行動(dòng)的量化分為以下四種（其中，U都是有窮認(rèn)知行動(dòng)模型，?是任意有窮迭代）：

第一種：M,s|=〈U〉φ當(dāng)且僅當(dāng)存在u∈U使得M,s|=〈U,u〉φ

第二種：M,s|=◇φ當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)給定的U，M,s|=〈U〉?φ

第三種：M,s|=◇φ當(dāng)且僅當(dāng)存在給定簽名（signature）的一個(gè)U（即U除了認(rèn)知行動(dòng)的前件（precondition）函數(shù)pre外，其他的參數(shù)是給定的），使得M,s|=〈U〉φ

第四種：M,s|=◇φ當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)U，使得M,s|=〈U〉φ

關(guān)于第一種和第二種認(rèn)知行動(dòng)量化的研究可分別參看[6]和[7]；而[1]的任意公開(kāi)宣告屬于第三種，本論文的任意讀邏輯AL本質(zhì)上也屬于第三種；最后一種較復(fù)雜，已有的文獻(xiàn)討論得比較少。

下面第三節(jié)討論了認(rèn)知行動(dòng)的量化問(wèn)題，討論不帶讀算子的任意讀邏輯AL，給出該邏輯的語(yǔ)法、語(yǔ)義，并且討論了該邏輯的公理化問(wèn)題和表達(dá)力問(wèn)題。

2 讀邏輯RL

本節(jié)給出讀邏輯RL（Read Logic）。“讀”分確定的（deterministic）“讀”與非確定的（non-deterministic）“讀”。比如說(shuō)：如果讀的是命題φ，則是確定的讀；如果讀是命題φ或?φ，但到底讀哪個(gè)沒(méi)有確定，則是非確定的“讀”。由于非確定的“讀”可用確定的“讀”定義，所以本文只討論確定的“讀”。

2.1句法與語(yǔ)義

2.1.1句法

定義1(讀邏輯語(yǔ)言L(fǎng)rl)讀邏輯語(yǔ)言L(fǎng)rl包括有窮的認(rèn)知主體集A和可數(shù)無(wú)窮的原子命題集P，BNF定義如下：

其中，a∈A，p∈P。另外我們定義[φ]ψ為∧a∈A[φ]aψ。其他聯(lián)結(jié)詞，如∨、→、?如通常那樣定義。

為引用方便，我們用Lel表示語(yǔ)言L(fǎng)rl在公式的歸納定義中不使用[φ]aψ所得到的語(yǔ)言（即認(rèn)知邏輯語(yǔ)言），用Lpl表示語(yǔ)言L(fǎng)el在公式的歸納定義中不使用Kaφ所得到的語(yǔ)言（即命題邏輯語(yǔ)言）。

我們希望用[φ]aψ表示“如果認(rèn)知主體a讀了公式φ，則ψ成立”，或者用更一般的動(dòng)態(tài)邏輯語(yǔ)言表述為：“如果φ是真的，則用[φ]a更新后，有ψ成立”。[φ]aψ讀作“如果認(rèn)知主體a讀了公式φ，則ψ成立”。要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是：模態(tài)算子[φ]a是一個(gè)□-類(lèi)型模態(tài)算子。所以下一節(jié)的語(yǔ)義中，當(dāng)φ假時(shí)，[φ]aψ為真。同時(shí)，[φ]a對(duì)偶算子是〈φ〉a，〈φ〉aψ表示“φ真并且認(rèn)知主體a讀了公式φ后，有ψ成立?！?/p>

2.1.2語(yǔ)義

定義2令M=(S,～,V)是一個(gè)認(rèn)知模型。對(duì)任意公式φ∈Lrl，我們有：

·M,s|=p當(dāng)且僅當(dāng)s∈Vp

·M,s|=?φ當(dāng)且僅當(dāng)M,s/|=φ

·M,s|=φ∧ψ當(dāng)且僅當(dāng)M,s|=φ且M,s|=ψ

·M,s|=Kaφ當(dāng)且僅當(dāng)：對(duì)任意t∈S，如果s～at，則M,t|=φ

·M,s|=[φ]aψ當(dāng)且僅當(dāng)：如果M,s|=φ，則M|[φ]a,s|=ψ

上面定義更新模型M|[φ]a時(shí)，特點(diǎn)是對(duì)～a的一些可達(dá)關(guān)系進(jìn)行刪除：如果認(rèn)知主體a在s狀態(tài)點(diǎn)下讀了φ，那么φ在s狀態(tài)點(diǎn)就是真的，同時(shí)a也認(rèn)為φ假是不可能的，因此如果s～at，而t中φ是假的，那么在更新模型M|[φ]a中就要?jiǎng)h除這個(gè)可達(dá)關(guān)系。相比較[4]的分析，這樣更直觀自然，從而更易理解。

我們把(···(M|[φ]a1)|[φ]a2)···)|[φ]an簡(jiǎn)寫(xiě)為M|[φ]a1[φ]a2···[φ]an。

在公開(kāi)宣告邏輯中，[φ1][φ2]ψ?[φ1∧[φ1]φ2]ψ是有效式。但是，在讀邏輯中，沒(méi)有相應(yīng)的定理，只能先化簡(jiǎn)一個(gè)讀算子，然后再化簡(jiǎn)另外一個(gè)讀算子。具體如下所示：

命題1下面三個(gè)都不是有效式。

(1)[φ1]a[φ2]bψ?[φ1∧[φ1]aφ2]bψ

(2)[φ1]a[φ2]bψ?[φ1∧[φ1]bφ2]aψ

(3)[φ1]a[φ2]aψ?[φ1∧[φ1]aφ2]aψ

證明.我們只給出第一個(gè)的反模型，對(duì)其他的兩個(gè)，讀者不難舉出一個(gè)反模型。令φ1=p1，φ2=p2，ψ=Kap1.并且令認(rèn)知模型M=(S,～,V)，其中：

2.2公理系統(tǒng)及其可靠性與完全性

2.2.1公理系統(tǒng)

表2-1公理系統(tǒng)RL

2.2.2公理系統(tǒng)RL的可靠性

表2-1給出的RL公理系統(tǒng)是可靠的。

命題2表2-1給出的——讀與否定公理、讀與知道算子公理——是有效的；等價(jià)替換規(guī)則是保真的。

此命題容易驗(yàn)證，本文略去不證。

定理1(RL可靠性定理)表2-1所給出的公理化系統(tǒng)RL是可靠的。

證明.首先，由認(rèn)知邏輯知：命題重言式，前面四個(gè)公理模式是有效的，MP規(guī)則和知道算子必然化規(guī)則是保真的。

其次，由讀算子語(yǔ)義定義知：讀與原子命題公理模式，讀與合取公理模式以及讀算子的必然化規(guī)則是有效的。

然后，由上面命題知：讀與否定，讀與知道算子是有效的；等價(jià)替換規(guī)則是保真的。因此，表2-1所給出的公理化系統(tǒng)是可靠的。

2.2.3公理系統(tǒng)RL的完全性

我們?cè)诒竟?jié)證明公理化系統(tǒng)RL的完全性?？梢圆扇≈苯幼C明方法，也可以采取間接證明方法。間接證明的一種可行方法，是把公理系統(tǒng)RL的完全性歸約為認(rèn)知邏輯的完全性，而認(rèn)知邏輯已經(jīng)知道是完全的。具體地說(shuō)：就是把Lrl的所有的公式等價(jià)地翻譯為L(zhǎng)el的公式。為了節(jié)省篇幅，同時(shí)也便于跟認(rèn)知邏輯作比較，這里只給出間接證明方法。

定義3(翻譯)翻譯t是如下定義的從Lrl的公式到Lel的公式的映射。

(1)t(p)=p

(2)t(?φ))=?t(φ)

(3)t(φ∧ψ))=t(φ)∧t(ψ)

(4)t(Kaφ))=Kat(φ)

(5)t([θ1]a1···[θn]anp)=t([θ1]a1···[θn-1]an-1(θn→p)),n＞0

(6)t([θ1]a1···[θn]an?ψ)=t([θ1]a1···[θn-1]an-1(θn→?[θn]anψ)),n＞0

(7)t([θ1]a1···[θn]an(ψ1∧ψ2))=t([θ1]a1···[θn]anψ1∧[θ1]a1···[θn]anψ2)，n＞0

(8)t([θ1]a1···[θn]anKbψ)=t([θ1]a1···[θn-1]an-1(θn→Kb[θn]anψ))，an=b,n＞0

(9)t([θ1]a1···[θn]anKbψ)=t([θ1]a1···[θn-1]an-1(θn→(Kb[θn]anψ)∧(Kb[?θn]anψ)))，an/=b,n＞0

下面的完全性證明，采取的是結(jié)構(gòu)歸納法；不過(guò)，不是通常意義上的公式復(fù)雜度，而是另外定義的復(fù)雜度，實(shí)際上是讀算子的復(fù)雜度。為了區(qū)別通常意義的公式的復(fù)雜度，我們稱(chēng)下面定義的公式的復(fù)雜度為r-復(fù)雜度。

定義4(公式的r-復(fù)雜度)Lrl的公式的r-復(fù)雜度由下面給出：

(1)r(p)=0

(2)r(?φ)=r(φ)

(3)r(φ∧ψ))=r(φ)+r(ψ)

(4)r(Kaφ)=r(φ)

(5)r([θ1]a1···[θn]anp)=r([θ1]a1···[θn-1]an-1(θn→p))+1,n＞0

(6)r([θ1]a1···[θn]an?ψ)=r([θ1]a1···[θn-1]an-1(θn→?[θn]anψ))+1,n＞0

(7)r([θ1]a1···[θn]an(ψ1∧ψ2))=r([θ1]a1···[θn]anψ1∧[θ1]a1···[θn]anψ2)+1，n＞0

(8)r([θ1]a1···[θn]anKbψ)=r([θ1]a1···[θn-1]an-1(θn→Kb[θn]anψ))+1，an=b,n＞0

(9)r([θ1]a1···[θn]anKbψ) =r([θ1]a1···[θn-1]an-1(θn→(Kb[θn]anψ∧Kb[?θn]anψ)))+1，an/=b,n＞0

引理1對(duì)任意Lrl的的公式φ，φ?t(φ)是公理系統(tǒng)RL的定理。

證明.施歸納于φ的r-復(fù)雜度。

基礎(chǔ)步驟：r(φ)=0，φ就是認(rèn)知公式（即不含讀算子）。注意到t把認(rèn)知公式翻譯為該認(rèn)知公式本身，所以基礎(chǔ)步驟顯然成立。

歸納步驟：如果φ形如[θ1]a1···[θn]anp，根據(jù)命題重言式有

再根據(jù)讀與原子命題公理及等價(jià)替換規(guī)則，

這時(shí)由r的定義（具體是定義4(5)）及歸納假設(shè)，可得

而根據(jù)t定義，

因此，[θ1]a1···[θn]anp?t([θ1]a1···[θn]anp)

φ形如[θ1]a1···[θn]an?ψ或[θ1]a1···[θn]an(ψ1∧ψ2)或[θ1]a1···[θn]anKbψ時(shí)，類(lèi)似可得。

φ形如?ψ或ψ1∧ψ2，可以歸約為上面幾種情況之一。

定理2公理系統(tǒng)RL是完全的。

證明.假定φ是有效公式。則根據(jù)上一引理及公理系統(tǒng)RL的可靠性定理，t(φ)也是有效公式。注意到t(φ)不包含讀算子，也即t(φ)是Lel的公式，因此根據(jù)認(rèn)知邏輯（S5系統(tǒng)）的完全性，t(φ)是認(rèn)知邏輯（S5系統(tǒng)）的定理，從而也是公理系統(tǒng)RL的定理。既然t(φ)是公理系統(tǒng)RL的定理，再一次根據(jù)上面的引理，可知φ是公理系統(tǒng)RL的定理。

根據(jù)上面引理1，還可得到下面讀邏輯RL的表達(dá)力定理。

定理3讀邏輯和認(rèn)知邏輯具有相等的表達(dá)力。

公開(kāi)宣告邏輯與認(rèn)知邏輯（S5）有相等的表達(dá)力（參見(jiàn)[4]第231頁(yè)定理8.44），結(jié)合上面定理，我們有下面定理。

定理4多認(rèn)知主體情況下，讀邏輯RL、認(rèn)知邏輯EL的表達(dá)力以及公開(kāi)宣告邏輯有相等的表達(dá)力。

3 任意讀邏輯AL

本節(jié)，我們開(kāi)始研究讀算子的量化。給出任意讀邏輯AL（Arbitrary Read Logic，簡(jiǎn)稱(chēng)AL）。

3.1句法與語(yǔ)義

3.1.1句法

定義5任意讀邏輯語(yǔ)言L(fǎng)al包括有窮的認(rèn)知主體集A和可數(shù)無(wú)窮的原子命題集P，BNF定義如下：

其中，a∈A，p∈P。另外，定義〈〉aφ為?[]a?φ，定義[]ψ為∧a∈A[]aψ。

這里的句法，我們暫時(shí)沒(méi)有給出讀算子，因?yàn)檫@里主要關(guān)注讀算子量化，下面談到公理系統(tǒng)時(shí)還會(huì)回過(guò)頭來(lái)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題。

3.1.2語(yǔ)義

定義6令M=(S,～,V)是一個(gè)認(rèn)知模型。公式φ∈Lal在M=(S,～,V)中的解釋?zhuān)巳我庾x算子，其他部分解釋與讀邏輯一樣；而任意讀算子解釋如下：

M,s|=[]aφ當(dāng)且僅當(dāng)：對(duì)任意ψ∈Lel，都有M,s|=[ψ]aφ，也即，如果M,s|=ψ則M|[ψ]a,s|=φ。其中，認(rèn)知模型M|[ψ]a定義也跟在讀邏輯中一樣。

在M,s|=[]aφ的定義中，要求“對(duì)任意ψ∈Lel”，我們也可以修改定義為“對(duì)任意ψ∈Lrl”。根據(jù)定理3，讀邏輯與認(rèn)知邏輯表達(dá)力相等，修改為“對(duì)任意ψ∈Lrl”與“對(duì)任意ψ∈Lel”是等價(jià)的。只不過(guò)，這里由于語(yǔ)言沒(méi)有包括讀算子，所以這樣規(guī)定。

3.2任意讀邏輯AL與S4系統(tǒng)

根據(jù)[1]，任意公開(kāi)宣告邏輯APAL（Arbitrary PublicAnnouncementLogic）的任意公開(kāi)宣告算子，滿(mǎn)足S4的所有公理。本小節(jié)得出結(jié)論：任意讀邏輯AL

不滿(mǎn)足公理4；不過(guò)，滿(mǎn)足S4系統(tǒng)除公理4外的其他公理。

命題3下面公式都不是有效式。

(1)[]aφ→[]a[]aφ

(2)[]aφ→[]a[]bφ，其中a/=b；(3)[]aφ→[]b[]aφ，其中a/=b。

證明.下面只給出(1)的證明，其他不難給出。

令φ為?Kb((Kap∨Ka?p)∧(Kaq∨Ka?q))。

下面構(gòu)造的M就是一個(gè)反模型模型，即M,10|=[]aφ，但M,10|=?[]a[]aφ。令M=(S,～,V))，其中：

下面命題表明：AL的任意讀算子滿(mǎn)足K公理和T公理以及RN規(guī)則。

命題4

(1)|=[]a(φ→ψ)→([]aφ→[]aψ)

(2)|=[]aφ→φ

(3)如果|=φ，則|=[]aφ

證明.(1)對(duì)任意認(rèn)知模型M和M的可能世界w，假定M,w|=[]a(φ→ψ)且M,w|=[]aφ，往證M,w|=[]aψ。

M,w|=[]a(φ→ψ)且M,w|=[]aφ?

（對(duì)任意的θ∈Lel，如果M,w|=θ，則（如果Ma|[θ]a,w|=φ則Ma|[θ]a,w|=ψ））且

（對(duì)任意的θ∈Lel，如果M,w|=θ，則Ma|[θ]a,w|=φ)?對(duì)任意的θ∈Lel，如果M,w|=θ，則Ma|[θ]a,w|=ψ?M,w|=[]aψ

(2)對(duì)任意認(rèn)知模型M和M的可能世界w，假定M,w|=[]aφ，往證

M,w|=φ。

M,w|=[]aφ?

對(duì)任意的θ∈Lel，如果M,w|=θ，則M|[θ]a,w|=φ?

對(duì)θ=?，M|[θ]a,w|=φ?M,w|=φ

(3)假定|=φ，往證|=[]aφ。假定M是認(rèn)知模型，w是M的可能世界。如果θ∈Lel，如果M,w|=θ，則根據(jù)|=φ，可得M|[θ]a,w|=φ.因此M|[θ]a,w|=[]aφ.再由M和w的任意性，有|=[]aφ。

3.3表達(dá)力

定理5單一認(rèn)知主體的情況下，任意讀邏輯AL和認(rèn)知邏輯EL具有相等的表達(dá)力。

證明.證明方法，是把單一認(rèn)知主體的任意讀邏輯語(yǔ)言L(fǎng)al的表達(dá)力歸約為單一認(rèn)知主體的任意公開(kāi)宣告邏輯語(yǔ)言L(fǎng)apal的表達(dá)力，而根據(jù)[5]命題18，單一認(rèn)知主體的任意讀公開(kāi)宣告邏輯語(yǔ)言L(fǎng)apal的表達(dá)力與認(rèn)知邏輯語(yǔ)言相等。

因此，我們只需證明：?jiǎn)握J(rèn)知主體的任意讀邏輯語(yǔ)言L(fǎng)al的公式[]aψ，在語(yǔ)義上等價(jià)于單認(rèn)知主體的任意讀公開(kāi)宣告邏輯語(yǔ)言L(fǎng)apal的公式φ，這里的φ是這樣替換的結(jié)果：把[]aψ中出現(xiàn)的任意讀算子[]a全部替換成任意公開(kāi)宣告算子□。

根據(jù)任意讀算子和任意公開(kāi)宣告算子的語(yǔ)義，我們只需證明下面的斷定即可：任取認(rèn)知模型M=(S,～,V)和任取s∈S，對(duì)任意的認(rèn)知公式φ，如果M,s|=φ，則(M|φ,s)■(M|[φ]a,s)。

往證之。令認(rèn)知模型M=(S,～,V)，s∈S和認(rèn)知公式φ，其中M,s|=φ。設(shè)M|φ=(S′,～′,V′)。令Z={(t,t):t∈S′}。則根據(jù)M|φ和M|[φ]a的定義，并注意到只有單認(rèn)知主體，可得Z:(M|φ,s)■(M|[φ]a,s)。因此上述斷定成立。

定理6多認(rèn)知主體情況下，任意讀邏輯AL的表達(dá)力嚴(yán)格大于認(rèn)知邏輯EL的表達(dá)力。

證明.首先，任意讀邏輯AL的語(yǔ)言是認(rèn)知邏輯語(yǔ)言的擴(kuò)充，故任意讀邏輯AL的表達(dá)力大于或等于認(rèn)知邏輯的表達(dá)力。我們用反證法。假定定理不成立，即兩者的表達(dá)力是相等的。那么任意讀邏輯AL的任意一個(gè)公式都與認(rèn)知邏輯的某個(gè)公式等價(jià)。考慮邏輯語(yǔ)言L(fǎng)al的公式?[]a?(Kap∧?KbKap)。不妨設(shè)?[]a?(Kap∧?KbKap)與Lel的公式φ等價(jià)，其中φ中出現(xiàn)的命題變?cè)挥衟1,p2,···,pn，下面我們導(dǎo)出矛盾。

令q是不同于p,p1,p2,···,pn的某個(gè)命題變?cè)?/p>

考慮兩個(gè)認(rèn)知模型：M1和M2。

其中，M1=(S1,～1,V1)如下：

如下圖：

圖3-4

M2=(S2,～2,V2)如下：

如下圖：

令R={(0,00),(0,01),(1,10),(1,11)}。易證：相對(duì)于語(yǔ)言L(fǎng)el的不含q的子語(yǔ)言，R:(M1,1)■(M2,10)。因此有

注意到公式?[]a?(Kap∧?KbKap)和公式φ等價(jià)，所以有M1,1|=?[]a?(Kap∧?KbKap)當(dāng)且僅當(dāng)M2,10|=?[]a?(Kap∧?KbKap)。

圖3-5

下面我們證明M1,1/|=?[]a?(Kap∧?KbKap)，而M2,10|=?[]a?(Kap∧?KbKap)，從而得到矛盾。

因?yàn)閷?duì)任意認(rèn)知公式θ，要么M1|[θ]a=M1，要么M1|[θ]a，如下圖（注意模型更新后～1,a的變化）：

圖3-6

如果M1|[θ]a=M1，則M1|[θ]a,1/|=Kap，從而M1|[θ]a,1|=?(Kap∧?KbKap)。如果M1|[θ]a如圖3-6，則M1|[θ]a,1/|=?KbKap，從而M1|[θ]a,1|=?(Kap∧?KbKap)。因此，對(duì)任意認(rèn)知公式θ，總有M1|[θ]a,1|=?(Kap∧?KbKap)，從而M1,1|=[]a?(Kap∧?KbKap)。故M1,1/|=?[]a?(Kap∧?KbKap)。

另一方面，更新模型M2|[p∨q]a如下圖所示：

圖3-7

由圖3-7，易知M2|[p∨q]a,10|=(Kap∧?KbKap)。又M,10|=p∨q，因此M,10|=?[]a?(Kap∧?KbKap)。

定理7多認(rèn)知主體的任意讀邏輯語(yǔ)言L(fǎng)al的表達(dá)力要比讀邏輯語(yǔ)言L(fǎng)rl、公開(kāi)宣告邏輯的表達(dá)力更強(qiáng)。

證明.根據(jù)上面的定理3、4、5可得。

任意讀邏輯與任意公開(kāi)宣告邏輯，哪個(gè)的表達(dá)力更強(qiáng)？這是個(gè)開(kāi)問(wèn)題。不過(guò)3.2節(jié)以及表明前者不滿(mǎn)足公理4，而后者滿(mǎn)足。

4 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)認(rèn)知行動(dòng)“讀”的形式化，比[4]更自然、直觀，并且給出的公理系統(tǒng)RL也是可靠和完全的。在表達(dá)力上，與公開(kāi)宣告邏輯一樣，RL也與認(rèn)知邏輯等價(jià)。

在對(duì)認(rèn)知行動(dòng)“讀”進(jìn)行量化時(shí)，本文得到的任意讀邏輯AL。除了單認(rèn)知主體這種平凡情況，AL與認(rèn)知邏輯在表達(dá)力上相同外；在多認(rèn)知主體的情況下，AL在表達(dá)力上，嚴(yán)格大于認(rèn)知邏輯和公開(kāi)宣告邏輯，也嚴(yán)格大于讀邏輯。任意讀邏輯與任意公開(kāi)宣告邏輯，哪個(gè)表達(dá)力更強(qiáng)？這同樣是個(gè)開(kāi)問(wèn)題。

至今，我還不能給出任意讀邏輯AL比較自然的公理系統(tǒng)。如果擴(kuò)充語(yǔ)言，使得語(yǔ)言包括RL中的讀算子，則公理化問(wèn)題可以解決（在后續(xù)的論文中，我將給出這個(gè)公理系統(tǒng)）。

[1]P.Balbiani,A.Baltag,H.van Ditmarsch,A.Herzig,T.Hoshi and T.De Lima,2008,“‘Knowable’as‘known afteran announcement’”,TheReviewofSymbolicLogic,1(03): 305–334.

[2]B.Brogaard and J.Salerno,2013,“Fitch’s paradox of knowability”,in E.N.Zalta(ed.),TheStanfordEncyclopediaofPhilosophy,Metaphysics Research Lab,Stanford University,http://plato.stanford.edu/archives/win2013/entries/fitch-paradox/.

[3]H.van Ditmarsch and B.P.Kooi,2006,“The secret of my success”,Synthese,151: 201–232.

[4]H.van Ditmarsch,W.van Der Hoek and B.Kooi,2007,DynamicEpistemicLogic,New York City:Springer.

[5]F.B.Fitch,1963,“A logical analysis of some value concepts”,The Journal of Symbolic Logic,28(02):135–142.

[6]T.Hoshi,2009,Epistemic Dynamics and Protocol Information,Doctoral dissertation, Stanford University.

[7]J.S.Miller and L.S.Moss,2005,“The undecidability of iterated modal relativization”,Studia Logica,79(3):373–407.

（責(zé)任編輯：趙偉）

Read Logic RL and Arbitrary Read Logic AL

Yuanlei Lin
Faculty of Politics and Law,Zhaoqing Universitylinyuanlei@126.com

Thesyntax and semanticsofRead in(H.van Ditmarsch etal.,2007)werepresented. But,we think the drawback is that the language is the hybrid of syntax and semantics, and so is very unintuitive,uncustomary or hard to understand,to say the least.This paper distinguishes strictly syntax from semantics and makes read logic more intuitive, customary and easy to understand.Moreover,I present a Hilbert-style axiomatization of the read logicRLand show the soundness and completeness.In addition,I study to quantify the epistemic action Read and so present the logicAL.This paper provides results about expressivity ofRLandAL:(1)epistemic logic,read logicRL,public announcements logic and single-agent arbitrary read logicALhave the same expressivity; (2)multi-agents arbitrary read logicALis strictly more expressive than read logicRLand public announcements logic.

B81

A

2016-05-03

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目（11YJC72040001）；廣東省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)“十二五”規(guī)劃青年項(xiàng)目（GD11YZX03）。