也談錯誤資源的分析與利用

潘紅娟

【摘要】學生學習過程中的錯誤，應該是重要的教學資源。在“捕捉錯誤，分析錯誤，利用錯誤”這一基本錯誤觀的基礎上，本文以課例為載體，用例析的方式，從“怎樣的錯誤信息是典型材料”“哪些維度分析錯誤成因”“如何多角度利用與轉(zhuǎn)化”等視角，提出“重錯誤的預設與展開”“重錯誤的歸因與分析”“重錯誤的多角度利用”等觀點。

【關鍵詞】小學數(shù)學 錯誤 分析 利用

教師作為學生學習的促進者，其教學決策是根據(jù)對學生的已有知識、思維水平的了解而展開的。因此，唯有讀懂學生，才能有針對地實施教學，而關注并讀懂學生的錯誤，應該是讀懂學生的重要方面。

當前，“錯誤是重要的學習資源”“暴露錯誤、捕捉錯誤、分析錯誤、利用錯誤，促進有效教學”等理念已成為教師們的共識。那么，當“錯誤觀”“資源觀”已被大多教師接受并付諸行動的時候，還有什么是值得討論的呢？筆者認為，如何精選材料呈現(xiàn)典型錯誤？如何進行錯誤的歸因分析？如何實現(xiàn)錯誤資源的有效利用？從哪些視角進行錯誤利用？可能是可以進一步探討的話題。

一、什么材料有利于呈現(xiàn)典型——重錯誤的預設與展開

學生呈現(xiàn)的錯誤往往是多姿百態(tài)、極具個性的，如何從大量信息中呈現(xiàn)最為典型的信息作為教學資源展開？怎樣的錯誤直指知識內(nèi)核？怎樣的錯誤凸顯核心目標？以“乘法運算定律的練習”一課作為例子闡述如下：

教師呈現(xiàn)下列材料與任務：

用你認為最好的方法計算下面各題：

（1）96×25 （2）39×99+99

（3）98+2×132 （4）56×720+28×560

教師搜集并呈現(xiàn)學生作業(yè)：

生1：96×25=（24×4）×25=24×25+4×25。

生2：39×99+99=39×100。

生3：98+2×132=100×132。

生4：56×720+28×560=40320+15680。

不難發(fā)現(xiàn)，這些錯誤，是學生學完“乘法運算定律”進行簡算時出現(xiàn)的典型情況。題（1），將“96×25”分解為“（24×4）×25”后，形似的結構導致學生將“乘法結合律”與“乘法分類律”進行混淆。題（2），貌似“39×99+39”的題目類型導致學生慣性地轉(zhuǎn)化為“39×100”。題（3），“湊整簡算”的功利驅(qū)動，使學生忽視運算定律與運算順序的正確運用。題（4），缺乏轉(zhuǎn)化經(jīng)驗，不能靈活運用轉(zhuǎn)化策略。我們來看，教師又是如何利用這些生成資源展開，關注“運算定律的再理解”“簡算方法的再鞏固”“簡算策略的再體驗”，從而凸顯本節(jié)課的核心目標的呢？

反饋交流：

生1：不可以用乘法分配律，96×25=（24×4）×25應該等于24×（4×25）=2400，這是運用了乘法結合律。（24+4）×25才能等于24×25+4×25。

生2：39×99+99應該等于40×99，因為39個99加上1個99等于40個99。如果是39×99+39，才等于39×100。

生3：第（3）題，98+2×132不能簡便計算，如果是98×132+2×132才等于100132。

師：這一題真的不能簡便嗎？

生：可以簡便的，把98+2×132轉(zhuǎn)化成100+2×131，計算就很方便了。

師：為什么可以這樣算？

生1：把98看作100，多加了2，后面減少1個2，就變成了100+2×131。

生2：56×720+28×560其實可以轉(zhuǎn)化成“560×72+28×560”，就等于“560×（72+28）=560×100”了。

生3：還可以轉(zhuǎn)化成“56×720+56×280=56×（720+280）=56×1000”。

生4：還可以轉(zhuǎn)化成28×580+28×1440。

師：這些方法，通過轉(zhuǎn)化都可以用乘法分配律進行簡便計算，但這些方法同樣簡便嗎？

生：轉(zhuǎn)化成“28×580+28×1440”比前兩種方法容易錯，如果有很多方法，一般我們選簡單不容易錯的方法。

隨著錯誤的呈現(xiàn)，教師引導學生充分交流、評價分析，有效促進了“一題多目標”的巧妙實現(xiàn)?！俺朔ńY合律和乘法分配律的概念辨析”“乘法分配律要關注相同因數(shù)”“計算時要突破思維定勢”“加減法簡便運算的綜合運用”“運用轉(zhuǎn)化使計算簡便”“方法策略可以多樣”“策略的最優(yōu)選擇”等目標隨之實現(xiàn)。四道算式，能達成多元目標，其背后是有“的”放矢，精選錯誤材料，是最為關鍵的策略。有的放矢的前提是教師對學生學習心理、學習錯誤的研究。

二、為什么會有這樣的錯誤——重錯誤的歸因與分析

對待錯誤，進行有效歸因分析，應該是我們了解錯誤原因、改進教學的前提。一般，歸因分析可從教材、教師、學生三個維度進行。對教材的審視，可以從教材的難度、體系、跳躍性等方面進行審視；教師的教學反思，可以從教學理念、教學目標、教學方法、教學過程等方面進行思考；對學生學習的診斷，則可從學習基礎、學習能力、學習習慣、學習心理等方面進行。

以五年級的小數(shù)除法為例，對下面題目進行作業(yè)情況統(tǒng)計與分析。

（1）7.8÷0.75

（2）①0.42÷3.5 ②0.35×0.16

（3）0.78+0.22÷5

1.以教材角度審視

題（1），7.8÷0.75，正確率僅為80.6%，較之于正確率基本在98%以上的其他小數(shù)乘除筆算，顯然偏低。學生典型錯解為“7.8÷0.75=1.4”。探究原因，教材編排缺失、缺少相應例題、鞏固練習不夠，應該是主要原因。這是一道商中間有0的除法。在人教版四年級教材中，沒有出現(xiàn)“商中間有0”的除法。而在五年級教材中，僅有四道此類習題。教材編寫可能出于減低難度、減少訓練的考慮，但教材的跳躍，缺乏對商中間有0的除法的算理理解與算法鞏固，致使基礎知識與基本技能的掌握出現(xiàn)問題，這就需要教師在教學時做相應的補充與完善。

2.以教師角度反思

題（2），①0.42÷3.5 ②0.35×0.16，由于沒有明確的簡算提示，大多學生用筆算解決。經(jīng)統(tǒng)計，①0.42÷3.5，僅1.2%的學生簡算，方法為：0.42÷7÷0.5；題②0.35×0.16，僅1.5%的學生簡算，方法為：0.35×2×0.08，（0.35×2）×（0.16÷2），0.07×（5×0.16），0.35×0.4×0.4。由此可見，運算能力中“自覺主動進行靈活計算的意識培養(yǎng)”仍然還是水中花、鏡中月，值得關注。究其原因，是由于教師對計算教學的目標視野較為狹窄與單一，對“運算能力”這一核心概念的理解不深刻，以致日常教學中缺乏靈活計算的意識培養(yǎng)與策略積累。

3.以學生角度診斷

題（3），正確率為83.3%，學生的典型錯誤為：“0.78+0.22÷5=1÷5=0.2”“0.22÷5=0.44”。第（4）題，正確率為45.4%，典型錯誤是將算式轉(zhuǎn)化為2012÷4=503。顯然，一方面反映學生的審題習慣缺失，學生按照思維慣性、隨意計算，導致計算錯誤。另一方面，也反映學生對于小數(shù)除法的計算方法理解不深，無法將計算原理與計算法則運用于較為復雜的計算情境中。小數(shù)除法計算方法的本質(zhì)是“將除數(shù)是小數(shù)的除法轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)”，此題可轉(zhuǎn)化為2.012÷4，而學生面對此問題，已忽略了筆算除法的基本方法，從而出現(xiàn)隨意轉(zhuǎn)化或無從下手的情況。

三、怎樣有效利用錯誤展開教學——重錯誤的多角度利用

錯誤搜集與整理的途徑，一般可以通過作業(yè)、測查等進行統(tǒng)計分析，也可以在教學過程中隨機觀察捕捉。錯誤，根據(jù)其可預料性，可以分為預設性錯誤和生成性錯誤。如何運用這些資源，關注學生的困難，在難點處展開，從而達成核心目標，這就需要教師敏銳洞察、篩選捕捉、有效利用。

1.利用錯誤，掌握基本方法

基本知識、基本技能的探索階段，我們一般會讓學生進行嘗試探究，此時，學生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，必然會有試誤的過程，這就需要教師及時組織學生進行比較、評價、交流，實現(xiàn)對基本方法的理解與掌握。

五年級上冊根據(jù)實際需要用“進一法”和“去尾法”取商的近似值一課，例題是：小強的媽媽要將2.5kg香油分裝在一些玻璃瓶里，每個瓶最多可裝0.4kg，需要準備幾個瓶？

教學中，教師采用的基本策略是：經(jīng)歷“利用經(jīng)驗嘗試解決問題——搜集捕捉學生資源——有序呈現(xiàn)充分討論”的過程。引導學生分析問題、嘗試解決，出現(xiàn)以下方法：

生1：2.5÷0.4=6（個）……0.1（千克），需要6個。

生2：2.5÷0.4=6.25≈6（個），四舍五入，需要6個。

生3：2.5÷0.4=6.25（個），瓶子要整數(shù)個， 6+1=7（個）。

生4：2.5÷0.4=6……0.25（個），還有0.25個沒法放，6+1=7（個）。

生5：2.5÷0.4=6.25≈7（個）。

教師將學生解決的思路一一呈現(xiàn)，通過集體交流討論，充分肯定合理的成分，最后優(yōu)化得出一般的方法，即商用小數(shù)表示，用“進一法”求近似值。這一過程中，教師搜集了最為豐富的生成性資源，呈現(xiàn)不同的思維成果，最終幫助學生形成基本方法。

2.利用錯誤，凸顯本質(zhì)特征

一般我們會采用概念辨析的方法，幫助學生理解概念的本質(zhì)，如何運用錯誤，凸顯概念內(nèi)涵，拓寬概念外延？也是值得我們思考的。

例如，“長方體正方體的體積練習課”中，“柱體”概念的建立完善教學。

首先，教師由長方體體積公式復習，引出柱體體積公式。

師：這是一個長方形和正方形，將它們分別向前、向后平移4cm，得到什么圖形？請求出它們的體積。

師：體積=長×寬×高，同樣的一個算式，還可以怎理解？（底面積×高），這樣的圖形也可以叫作柱體。

師：除了“6×4表示底面積，5表示高”外，其他面可以作為底嗎？高又是多少？正方體的體積，可以表示成“底面積×高”嗎？底面積是多少？高是多少？

師：什么情況下，我們可以用“底面積×高”來計算體積？

出示：

師：這是柱體嗎？請求出它的體積，只列式不計算。

根據(jù)學生作業(yè)情況呈現(xiàn)兩種方法：

生1：（6+4）×3÷2×10。

生2：6×10×3。

師：把下面的長方形“6×10”看作底面，“3”作為它的高，可以嗎？

生1：不可以，柱體底面應該是指每個面都相等的面，如果將底面向上平移應該每個面都一樣。如果將“6×10”這個面往上平移，并沒有和上底面重合。

生2：柱體的高應該處處相等，只有將側(cè)面的梯形看作底面，高都是10。

師根據(jù)學生回答隨機課件演示：

這一片段中，教師及時捕捉“6×10×3”這一錯誤資源，進行放大處理，運用概念辨析、直觀演示，很好揭示了柱體“上下底面相等”“與底面平行的任何一個截面都相等”“高處處相等”等特征。

3.利用錯誤，形成反思意識

錯誤才有反思的價值，如何運用學生錯誤，幫助學生在鞏固技能的同時，形成及時反思、回顧檢驗的意識與習慣，體驗反思檢驗的多樣方法呢？

例如：“小數(shù)乘除法練習課”一課。

豎式計算：0.75×0.15，380×2.6，

4.872÷0.24。

教師隨機選擇學生作業(yè)，重點反饋：

（1）0.75×0.15=11.23；（2）380×2.6=98.8；（3）4.872÷0.24=2.03。

師：這些同學的計算正確嗎？有什么辦法判斷是錯誤的？這樣的方法你能找到多少種？

生1：可以從小數(shù)位數(shù)看，0.75×0.15是四位小數(shù)，而這個同學的結果是兩位小數(shù)。

生2：末尾應該是5，而不應該是3，所以這個結果一定是錯的。

生3：因數(shù)乘以一個比1小的數(shù)，結果一定比這個因數(shù)小，0.75×0.15<0.75，11.23比0.75大了，結果一定錯了。

師：用同樣的方法能判斷第2題嗎？

生4：380×2.6=98.8，還可以用估算的方法判斷，380乘以2點多，積最少應該有760多，而這個結果是98.8，一定不對。

生5：a×b（b>1），積>a。380×2.6=98.8，結果比380小了。

生6：4.872÷0.24=2.03，這一題可以用乘法檢驗，2.03×0.24≠4.872，因為2.03×0.24的結果比2.03小，不可能等于4.872。

生7：同樣可以估算，4.872÷0.24=487.2÷24，大約等于20多。

師：是的，我們在算出結果后，一般要進行回顧檢驗，剛才同學們用到了很多方法，都可以作為今后進行檢驗的策略。

這一片段中，錯誤資源巧妙地轉(zhuǎn)化為“反思意識滲透”“檢驗方法落實”的載體。錯誤處理片段中，“根據(jù)位數(shù)判斷”“根據(jù)尾數(shù)檢驗”“根據(jù)積與因數(shù)的大小關系”“運用估算檢驗”“互逆驗算”等方法在錯誤評價中得以有效滲透與落實。

4.利用錯誤，體會數(shù)學思想

學生生成資源的智慧運用，對易錯易混知識的澄清、概念本質(zhì)的理解、方法技能的落實等，都能起到積極的作用。同樣，利用生成材料，將錯誤提升為更高層面的解決策略，在體會數(shù)學思想方法方面也會起到意想不到的效果。

例如：“三角形的面積練習”一課。

材料：點E、F、G、H分別在長方形ABCD的四條邊上，求四邊形EFGH的面積。（單位：cm）

1.任務：選擇條件，想辦法求出四邊形EFGH的面積。

2.學生嘗試，教師巡視，選擇典型，方法討論。

生1：用總面積減去空白部分四個小三角形的面積。

生2：連接EG，分別求出兩個三角形EFG和EGH的面積，這兩個三角形底都是4cm，所以面積是（3+7）×4÷2=20cm2。

生3：也可以連接FG，上下兩個三角形，EFH的面積加上FGH的面積也是可以的。

生4：這是錯的，這兩個三角形的底和高都不知道，沒辦法求的。

師抓住這種方法，引導提問：這個同學想要將上下兩個三角形的面積加起來，想法很好，有辦法使它們面積不變，但可以相加嗎？

此時，教室里十分安靜，突然，有學生舉手。

生5：如果將H點往下移動一點，使FH和AD平行，那么，這兩個三角形的底都是10，高都是2，就能求出面積了。

師：這個同學想到運用轉(zhuǎn)化，將EGH轉(zhuǎn)化為面積相等的三角形EGH′，就可以解決了（如圖1）。為什么可以這樣？

生5：因為EGH和EGH′底都是EG，而且平行線之間的距離相等高就相等，面積就一定相等。

生6：如果可以移動的話，把F、H分別移動到最下面，和B點、C點重合，就可以把原來的四邊形EFGH轉(zhuǎn)化成一個三角形EBC。這個三角形的底是10cm，高是4cm，面積是10×4÷2=20cm2，如圖2。

這一片段中，“上下兩個三角形EFH加上FHG的面積”這一錯誤方法，成為教師激活“等積變形”“轉(zhuǎn)化思想”的有利時機，促發(fā)了“讓靜止的圖形動起來”的策略意識，學生不僅感受了“轉(zhuǎn)化”的作用，并很好積累了運用轉(zhuǎn)化解決問題的經(jīng)驗。這個片段中，無疑，錯誤的捕捉與轉(zhuǎn)化是極為巧妙而高明的。

【參考文獻】

[1]任景業(yè)著.分享孩子的智慧——改進教學的建議，東北師范大學出版社.2014.6

[2]蔡金法、許世紅.教師讀懂學生什么：認知導向的教學，小學教學.2013年18期