角的“兩條弧交點(diǎn)法”三等分

湖北襄陽(yáng)第四中學(xué)(441021)路橋 朱天斌

湖北襄陽(yáng)襄州文聯(lián)退休者(441000) 劉德友

圖1 的∠AOD (OA = OD)是大約60°～140°的任意的角.應(yīng)該有免計(jì)算的此前未被人知的方法能用來(lái)將其三等分.

圖1

本文表述筆者在這個(gè)范圍內(nèi)的探索，而探究這個(gè)范圍之外的角的三等分將另文進(jìn)行，在其中對(duì)比解釋.

以O(shè) 為圓心，OA(或OD)為半徑畫成弧AD，就有扇形OAD.連接弦AD， 如圖2 所示.仍以尺規(guī)作圖法(以下的尺規(guī)作圖法一般不再說(shuō)明)畫出弧AD 的中點(diǎn)G，連接OG，OG 是扇形OAD 的對(duì)稱軸.分別畫出弧AG、弧DG 的中點(diǎn)K、M，易知弧AK =弧KG=弧MG=弧弧AD.連接OK，得到扇形OAK，弧AK 和弧DM 關(guān)于OG對(duì)稱(相當(dāng)于對(duì)應(yīng)的扇形為軸對(duì)稱圖形.為了簡(jiǎn)潔， 這樣以弧對(duì)稱代所在的扇形對(duì)稱的說(shuō)法，以下不再說(shuō)明)，K、M 是弧AK、弧DM 的內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，是OK 成為對(duì)稱弧之一的內(nèi)徑的條件.A、D 則是弧AK、弧DM 的外對(duì)應(yīng)點(diǎn).連接AK、KM、DM，有四邊形AKMD，由弧AD 中的弦AK、KM、DM、AD 和圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)，推出對(duì)稱軸OG 垂直于對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段KM 和AD，由這個(gè)結(jié)論，推出KM//AD，由這里已知的弧AK =弧DM，得到它們所對(duì)的弦AK = DM，再由梯形和等腰梯形的定義， 易知四邊形AKMD 是圓內(nèi)接等腰梯形， 是軸對(duì)稱圖形， 對(duì)稱軸在OG 中.分別畫出弧KG、弧MG 的中點(diǎn)N、H， 連接ON， 易知ON 是∠AOD的8 等分線之一，弧AN、弧DH 關(guān)于OG 成軸對(duì)稱，N、H是弧AN、弧DH 的內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，是ON 成為對(duì)稱弧之一的內(nèi)徑的條件.分別畫出弧NG、弧HG 的中點(diǎn)E、F，連接OE，易知OE 是∠AOD 的16 等分線之一，弧AE、弧DF 關(guān)于OG 成軸對(duì)稱，E、F 是弧AE、弧DF 的內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，是OE 成為對(duì)稱弧之一的內(nèi)徑的條件.同理于四邊形AKMD 為圓內(nèi)接等腰梯形，A、E、F、D 構(gòu)成已確定的一個(gè)圓內(nèi)接“代等腰梯形”，A、N、H、D 構(gòu)成已確定的一個(gè)圓內(nèi)接“代等腰梯形”，這樣的圓內(nèi)接“代等腰梯形”在此及此后都是由于省略多數(shù)的邊或所有邊而致，以使其總圖疏朗簡(jiǎn)潔一些，還能保存圓內(nèi)接等腰梯形可被利用的一些性質(zhì)功能.以這樣的四個(gè)點(diǎn)代所在的等腰梯形的做法及用途，以下不再說(shuō)明.

連接弦AM，AM 還是等腰梯形AKMD 的等長(zhǎng)對(duì)角線之一，合起來(lái)就可以叫做“圓內(nèi)接等腰梯形的對(duì)角弦”(簡(jiǎn)稱為“對(duì)角弦”)，它交弧AK 的內(nèi)徑OK 于J 點(diǎn).連接對(duì)角弦AH，它交弧AN 的內(nèi)徑ON 于L 點(diǎn).連接對(duì)角弦AF，它交弧AE 的內(nèi)徑OE 于Z 點(diǎn).

圖2

可以看出，交點(diǎn)J、L、Z 不在同一條直線.根據(jù)“不在同一條直線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓”的定理和“兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線”的公理，為了簡(jiǎn)化圖形實(shí)現(xiàn)疏朗，這里就可以用“J點(diǎn)、L 點(diǎn)”代JL 線段，能起到JL 線段的一些作用(“Z 點(diǎn)、L點(diǎn)”之間也如此.這樣以兩個(gè)點(diǎn)代所能成的一條線段的做法及用途，以下不再說(shuō)明)：分別畫出“代線段J、L”和“代線段L、Z”的垂直平分線，它們相交于Q 點(diǎn)，連接QJ、QL、QZ，易知QJ = QL = QZ.以Q 為圓心，QJ (或QL 或QZ)為半徑畫出弧JZ，J、L、Z 共弧JZ.以O(shè)A 為直徑在扇形OAD 內(nèi)畫出半圓弧OA，它交弧JZ 于V 點(diǎn).則V 既是弧JZ、弧OA 的交點(diǎn)，又是獨(dú)條內(nèi)徑(因O、V“兩個(gè)點(diǎn)確定一條直線”)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，這條內(nèi)徑就是∠AOD 的三等分線之一.求證V 是內(nèi)徑經(jīng)過(guò)的點(diǎn).

證明連接OV，延長(zhǎng)它至弧AD 于B 點(diǎn)，有半徑OB.連接AV，有圓周角△AV O、△AV O，延長(zhǎng)AV 至弧AD 于C 點(diǎn)，就有了弦AC，V 就是半徑OB、弦AC 都經(jīng)過(guò)的點(diǎn).假設(shè)(1)：V 不是內(nèi)徑經(jīng)過(guò)的點(diǎn)(即半徑OB 與弦AC 以及點(diǎn)D 在弧AD 所構(gòu)成的弧AB 不等于弧DC，A、B、C、D 四點(diǎn)不構(gòu)成已確定的一個(gè)圓內(nèi)接“等腰梯形”，B 點(diǎn)、C 點(diǎn)不是內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，OB 不是內(nèi)徑，AC 不是圓內(nèi)接等腰梯形的對(duì)角弦).

來(lái)看看(2)的事實(shí)及推論.以O(shè) 為圓心，OV 為半徑畫弧交OD 于R 點(diǎn)，成為弧V R.連接BD 弦，結(jié)果BD 與弧V R相切.由OB = OD (兩者都是扇形OAD 的半徑)，△OBD就是等腰△，易知等腰△OBD 是以O(shè)B 腰、OD 腰為對(duì)稱邊，以底邊BD 的中線(還是連自BD 的高)為對(duì)稱軸的兩個(gè)對(duì)稱的Rt△(BD 邊的中線是這兩個(gè)Rt△的公共直角邊)，BD 的中點(diǎn)還是BD 與弧V R(其半徑是OV 之長(zhǎng))的切點(diǎn)，故這兩個(gè)Rt△的公共直角邊= OV (*).因?yàn)椤螦V O 是作為直徑的OA 所對(duì)的圓周角(在以上已知)，所以∠AV O 是直角(直徑所對(duì)的圓周角是直角)， △AV O 是Rt△.因?yàn)橐陨?*)處的結(jié)論，又在圖2 中已知OA = OB = OD，所以等腰△OBD 全等于2Rt△AV O (HL)，∠BOD = 2∠AOV (即相應(yīng)地， 弧BD = 2 弧弧AD)，已經(jīng)過(guò)V 點(diǎn)的OB 就是△AOD 的三等分線之一.由Rt△AV O 可知OB 是AC 弦的垂徑，弧AB =弧BC (垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧).由這個(gè)結(jié)論和這里已知的弧BD = 2 弧AB，易知弧BD = 2 弧BC，即C是弧BD 的中點(diǎn)，弧AB =弧BC =弧DC.顯然，弧AB、弧DC 關(guān)于OG 成軸對(duì)稱，A、B、C、D 構(gòu)成已確定的一個(gè)圓內(nèi)接等腰梯形，B、C 是弧AB、弧DC 的內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(這是OB成為對(duì)稱弧之一的內(nèi)徑的條件)， OB 是弧AB 的內(nèi)徑， AC是圓內(nèi)接“等腰梯形ABCD”的對(duì)角弦之一，V 是內(nèi)徑OB、對(duì)角弦AC 都經(jīng)過(guò)的點(diǎn).

已假設(shè)的(1)矛盾于(2)的事實(shí)及推論，由此可知(1)不正確.根據(jù)排中律，(1)的“V 不是內(nèi)徑經(jīng)過(guò)的點(diǎn)”不對(duì)，所以正確的只能是：V 是內(nèi)徑經(jīng)過(guò)的點(diǎn).

經(jīng)過(guò)以上的證明，可知可信弧JZ 與弧OA 交點(diǎn)的奇妙!這兩條并非內(nèi)徑及其對(duì)角弦的弧線相交成一個(gè)(內(nèi)徑及其對(duì)角弦的)交點(diǎn)(即四者共這個(gè)點(diǎn))，這個(gè)點(diǎn)以尺規(guī)作圖法不能直接地畫出其內(nèi)徑(所在扇形的圓心角的三等分線之一)及其對(duì)角弦就當(dāng)然不能由這種情況下沒有的它們倆交成;而由前兩者交成，它的位置沒變，就使人能夠完成三等分它所在扇形的圓心角.