方法得當(dāng) 事半功倍—中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法偶舉

廣東省廣州市南沙大崗中學(xué)(511470) 張祥福

數(shù)學(xué)的解題，體現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)綜合能力.它既是個(gè)人思維的體現(xiàn)，又是數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備和數(shù)學(xué)方法的體現(xiàn)，同時(shí)也是個(gè)人世界觀與方法論的體現(xiàn);它是選擇、優(yōu)化、統(tǒng)籌的高度統(tǒng)一.所以說(shuō)，數(shù)學(xué)解題可以測(cè)試許多人的除數(shù)學(xué)知識(shí)以外的個(gè)性品質(zhì)、綜合能力以及敏銳度.

以下舉三個(gè)方面的數(shù)學(xué)解題方法，共同探討.

一、特例(特殊情況)法解題

任何事物的存在，都是一般與特殊的并存.事物的一般性與特殊性的關(guān)系是共性和個(gè)性、一般和個(gè)別的關(guān)系，兩者的辯證關(guān)系主要表現(xiàn)在一般性和特殊性是相互依存、不可分割的.一方面，沒(méi)有離開(kāi)個(gè)性的共性，共性通過(guò)個(gè)性表現(xiàn)出來(lái);另一方面，沒(méi)有離開(kāi)共性的個(gè)性，特殊總是普遍中的特殊

人們的認(rèn)識(shí)總是從個(gè)別上升到一般，再用一般指導(dǎo)個(gè)別.數(shù)學(xué)題都具有特殊性，同一個(gè)題目，在相同的條件下也具有特殊的情況.我們正是利用這一點(diǎn)來(lái)思考解題的方法.

下面試舉兩例：

例題1如圖1 所示， 在半徑為1 的圓O 中有一內(nèi)接三角形ABC，OB⊥OC，OD⊥AB 于D，交AC 于E 點(diǎn)，求AE2+EC2值為( )

A.1 B.2 C.3 D.4

圖1

圖1-1

圖1-2

圖1-3

解法一如圖1-1， 連接BE， 由OB⊥OC， 得BC =由OA = OB，OD⊥AB，可得DE 是AB 的垂直平分線，所以，EA=EB;又因?yàn)?，∠COB =90°，由圓周角定理可得∠CAB = ∠EBA = ∠COB = 45°， 所以， EB⊥AC， 再根據(jù)勾股定理得， BE2+CE2= AE2+EC2=2.

解法二將本問(wèn)題特殊化， 如圖1-2， AB 恰好為圓的直徑， 則C、E 重合， D、O 也重合， 所以， AE2+ EC2=AE2+02=AO2+OC2=2，問(wèn)題得以解決.

解法三將本問(wèn)題特殊化，如圖1-3，AC 恰好為圓的直徑，則O、E 重合，所以，AE2+EC2= AO2+OC2=2，問(wèn)題得以解決.

例題1 的兩種解法， 都是利用點(diǎn)的位置特殊性來(lái)解題，但是其他條件是不能與原題相違背的，相關(guān)知識(shí)及邏輯判斷能力一樣也少不了.

例題2如圖2，AB 為圓O 的直徑，C 是半圓上的一點(diǎn)，∠AOC = 60°，設(shè)扇形AOC、三角形BOC 和弓形BmC 的面積分別記為S1、S2、S3，則它們的大小關(guān)系是( )

A.S1＜S2＜S3B.S2＜S1＜S3

C.S1＜S3＜S2D.S3＜S2＜S1

圖2

圖2-1

圖2-2

解法一如圖2-1，作OD 垂直BC 交BC 于D 點(diǎn)，因?yàn)椋螦OC = 60°， 所以∠COB = 120°， 則∠COD = 60°; 所以，在 三 角 形OCD 中， ∠OCD = 30°，所以，所以S2＜S1＜S3.所以，選擇B.

解法二如圖2-2，連接AC，則可以知道，三角形AOC與三角形BOC 面積相等，所以可得S2＜S1，作O 點(diǎn)關(guān)于BC 的對(duì)稱點(diǎn)O′，則可知道，三角形BO′C 與三角形BOC面積相等，所以可得S2＜S3.所以，選擇B.

例題2 的解法2，也是利用了特殊情況，就是用了規(guī)則的圖形(三角形)解決不規(guī)則(扇形與弓形)圖形問(wèn)題，但是，其數(shù)學(xué)原理與基礎(chǔ)知識(shí)一點(diǎn)也少不了.

仿照練習(xí)已知P 為雙曲線上的任意一點(diǎn)，過(guò)P 向雙曲線的兩條漸近線分別作垂線，垂足為A、B，則|PA|·|PB|的值為( )

二、依據(jù)課本的隱藏知識(shí)解題

何謂隱藏知識(shí)? 本文中并不指書(shū)本上隱藏得很深的知識(shí)，而是指知識(shí)系統(tǒng)相隔較遠(yuǎn)的知識(shí)，在書(shū)本上有明確的指向的知識(shí).

例如：數(shù)學(xué)書(shū)本上有關(guān)“二元一次不等式所表示的平面區(qū)域”中就有有關(guān)的表述：(人民教育出版社2007年1月第三版，P84)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中二元一次不等式Ax+By+C ＞0 表示直線Ax+By+C = 0 的某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.具體來(lái)說(shuō)：

(1)若A ＞0,B ＞0，則二元一次不等式Ax+By+C ＞0 表示直線Ax+By+C =0 右上方的平面區(qū)域;

(2)A ＞0,B ＜0 時(shí)，則二元一次不等式Ax+By+C ＞0 表示直線Ax+By+C =0 右下方的平面區(qū)域;

(3)A ＜0,B ＞0 時(shí)，則二元一次不等式Ax+By+C ＞0 表示直線Ax+By+C =0 左上方的平面區(qū)域;

(4)A ＜0,B ＜0 時(shí)，則二元一次不等式Ax+By+C ＞0 表示直線Ax+By+C =0 左下方的平面區(qū)域;

當(dāng)然， 還有以下的特殊情況， (5) A = 0,B ＞0 時(shí); (6)A=0,B ＜0 時(shí);(7)A ＞0,B =0 時(shí);(8)A ＜0,B =0 時(shí).

而在點(diǎn)到直線的距離的公式中：點(diǎn)(x0,y0) 到直線Ax + By + C = 0 (A、B 不同時(shí)為0) 的距離公式為：就有其中的應(yīng)用， 那就是絕對(duì)值的消去.下面試舉一例.

例題3求三角形ABC 的內(nèi)角平分線AD 的方程，如圖3.

圖3

解因?yàn)椋篈C 的方程的一般形式：2x+y -6 = 0， AB 的方程的一般形式：21x+3y-2=0.從圖形可以知道， AD 在AC 的下方、在AB 的上方， 設(shè)AD 上的 動(dòng) 點(diǎn)M(x0,y0)， 則M 也 在AC 的下方、在AB 的上方， 根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：M 到直線AC 與AB 的距離是相等的， 因此有：dAB=(點(diǎn) M 在 AB 的 上 方)，(點(diǎn)M 在AC 的下方)，dAB=dAC，所以，其中(x0,y0) 用(x,y) 代換后， 整理得AD 的一般方程為：

仿照練習(xí)求到兩條直線l1: 2x + 3y + 5 = 0 和l2:2x+3y-2=0 距離相等的點(diǎn)的軌跡方程.

三、依據(jù)更高的數(shù)學(xué)理論知識(shí)解題

更高的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，并不是我們中學(xué)學(xué)生所不能接受的知識(shí)，如果我們采取另外一種心態(tài)，就是我先接受它的存在，而不在意它的來(lái)龍去脈和它的證明，只是為我們解題服務(wù)，也許是另一種結(jié)果.

很多的高考試題，其實(shí)是隱藏著象“羅爾定理、拉格朗日中值定理、泰勒展開(kāi)公式、托勒密定理、三弦定理”等等的應(yīng)用.本文僅用“三弦定理”來(lái)解題，我們也可以看看是否可以接受.

三弦定理(托勒密定理的推論)如圖4-1，在圓O 中有三條弦PA、PB、PC，且∠APB =θ1，∠CPB =θ2，則有下面結(jié)論：PA sin θ2+PC sin θ1=PB sin(θ1+θ2).

下面舉兩個(gè)例子：

例題4如圖4，已知AB 是圓O 的直徑，AB =10，點(diǎn)C在圓O 上，DC 平分∠ACB，點(diǎn)E 在圓O 外，∠EAC =∠D，

(1)求證AE 是圓O 的切線;

(2)若BC =6，求CD 的長(zhǎng).

圖4

圖4-1

證明(1)因?yàn)锳B 是圓O 的直徑，所以，∠ACB =90°，所以，∠B+∠BAC = 90°，所以，∠B = ∠D，∠EAC = ∠D，所以，∠EAC = ∠B，∠EAC +∠BAC = 90°，即∠BAE =90°，所以，AE 是圓O 的切線.

(2) 法一連接BD， 因?yàn)镈C 平分∠ACB， 所以，AD = BD; 因?yàn)锳B 是圓O 的直徑，所以，∠ADB = 90°，所以，三角形ADB 是等腰三角形，所以∠ABD =45°，因?yàn)锳D2+BD2= AB2，AB = 10，所以在RT 三角形ABC 中因?yàn)椋?∠ACD = ∠ABD = 45°， 所以AD2= AC2+DC2-2AC·DC·cos 45°，即所以，

法二(應(yīng)用三弦定理)因?yàn)锳B 是圓O 的直徑，所以，∠ACB = 90°，AB = 10，BC = 6，所以，AC = 8.因?yàn)镈C平分∠ACB，所以，∠ACD =∠BCD =45°，所以，由三弦定理可得：BC sin ∠ACD+AC sin ∠BCD = CD sin 90°， 即，BC sin 45°+AC sin 45°=CD sin 90°，CD =6×

例題5在Rt 三角形ABC 中， ∠ACB = 90°，AC = 5， CB = 12， AD 是三角形ABC 的角平分線，過(guò)A,C,D 三點(diǎn)的圓與斜邊AB 交于點(diǎn)E，連接DE.

(1)求證：AC =AE;

(2)求三角形ACD 外接圓的半徑.

證 明(1) 因 為∠ACB = 90°， 且C 在 圓 上， 所 以AD 為圓直徑， 又因AD 是三角形ABC 的角平分線， 則∠CAD = ∠EAD，且因AD = AD，所以三角形ACD 全等于三角形AED，所以AC =AE.

(2)解法一因?yàn)镋 在圓上，AD 為直徑，所以∠AED =90°.因?yàn)椤螩AE +∠CDE = 180°， ∠BDE +∠CDE =180°， 所 以∠CAE = ∠BDE， 所 以 三 角 形BDE 與 三角形BAC 相似，即設(shè)CD = DE = x，因?yàn)锽C =12，AC =5，所以AB =13，解方程得設(shè)直徑為所以半徑為

圖5

解法二(應(yīng)用三弦定理)因?yàn)?，∠ACB = 90°，AC = 5，CB = 12， 所以， AB = 13; 又因?yàn)椋?AD 是三角形ABC 的角平分線， 過(guò)A,C,D 三點(diǎn)的圓與斜邊AB 交于點(diǎn)E， 且∠ACB = 90°，可知，AD 是三角形ACD 外接圓的直徑，所以AC = AE = 5，在三角形BAC 中所以所 以，sin ∠CAD =所以，由三弦定理可得：AD·sin ∠BAC = AC ·sin ∠BAD+AE ·sin ∠CAD，即所以可知，半徑為

仿照練習(xí)1、如圖6-1，PA、PB、PC 是圓O 的三條弦，PA = a，PB = b，∠APC = 30°，∠BPC = 60°，求PC 的長(zhǎng).

2、如圖6-2，已知P 是正方形的外接圓AD 劣弧上一點(diǎn)，求的值.(本題也可以當(dāng)作“特例(特殊情況)法解題”的訓(xùn)練題)

圖6-1

圖6-2

無(wú)論是特例(特殊情況)法解題、依據(jù)課本的隱藏知識(shí)解題還是依據(jù)更高的數(shù)學(xué)理論知識(shí)解題，都是要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)有相關(guān)的方法作為依據(jù)的，但是本文介紹的三種方法在訓(xùn)練中有心地留意一下，也能給我們?cè)诮忸}方法的積累方面起到一定的幫助.