例談“兩根之和”與“兩根之積”后的題解突破—記2018 佛二模試卷中解析幾何題講評感悟

廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué)(528300)常艷

高考中解析幾何考題往往是考生們望而卻步的難點，縱觀近五年的全國卷，解析幾何考題雖極有規(guī)律[1]，卻還是大部分考生的得分洼地.究其原因無非是運算量太大，使得大部分考生在聯(lián)立方程后寫出兩根之和與兩根之積便果斷放棄了.無論是在模擬考還是高考中也只能這樣丟卒保車.筆者以2018年佛山市高三年級第二次模擬考試中的第20 題為例，為全區(qū)的青年教師開設(shè)了一節(jié)公開課，例談解析幾何教學(xué)中如何利用已有經(jīng)驗幫助學(xué)生尋找解題突破口.

一、題目

(2018 佛二模數(shù)學(xué)(文)20)已知直線l 過點P(2,0)，且與拋物線Γ : y2= 4x 相交于A,B 兩點，與y 軸相交于點C，其中點A 在第四象限，O 為坐標(biāo)原點.

(1) 當(dāng)A 是PC 中點時， 求直線l 的方程; 答案：y =2x-4.

(2)以AB 為直徑的圓交直線OB 于點D，求|OB|·|OD|的值.

分析 此題全市的平均得分為1.62 分，筆者所任教班級的平均得分為4.37 分， 其中第(1)題得分率為100%， 第(2)題的情況可想而知.考試時大部分考生在寫出兩根之和與兩根之積后便果斷停筆進(jìn)行下一題，似乎已不愿再多想.有些同學(xué)嘗試?yán)脙牲c間的距離公式表示出|OB|·|OD|，但面對接下來的運算無從下手;也有些同學(xué)考慮到條件“交直線OB 于點D”，此處可能蘊含著兩種情況：點D 在線段BO上或在線段BO 的延長線上，由此想來分兩種情況考慮既耗時也不保證解的出來，所以也就作罷了;還有些同學(xué)試圖寫出“以AB 為直徑的圓”的方程，可無論是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的a、b、r，還是圓的一般方程中的D、E、F，恐怕都要面對繁雜的計算，也就放棄了.也就是說，對于這道題每個學(xué)生都有自己的想法，但迫于考試時的時間壓力，不得不舍棄.所以筆者在當(dāng)晚的作業(yè)中布置了對這個題目的再思考，便出現(xiàn)了這個超越參考答案的“妙解”.

二、解法探究

解法一設(shè)直線l 的方程為y = k(x - 2)， A(x1,y1)， B(x2,y2)，D(x3,y3)，則得所 以x1+ x2= 4 +因為AD⊥OB，即kAD·kOB= -1，所以即若D 在BO 上，有|OB|·|OD|=(舍); 若D 在BO 的延長線上， 有-(x2x3+y2y3)=-(x1x2+y1y2)=4.

圖1

此解法輕松排除點D 在線段BO 上這一情況， 為同學(xué)們掃除了第一個“障礙”， 課堂上通過幾何畫板演示時也證實了這一情況.那么課上順著這個解法最后的式子分析即即即|OD| 是方向上的投影.如此想來再結(jié)合圖象觀察，這顯然是一條捷徑，根本不涉及復(fù)雜的運算，只需充分挖掘圖形本身的幾何特征，并用代數(shù)形式(坐標(biāo))加以表示，這種數(shù)形結(jié)合的思想正是解析幾何這門學(xué)科的精髓，也是突破解析幾何問題的關(guān)鍵.

此解法中還蘊含著轉(zhuǎn)化的思想，即將點D 的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為“已知”的點A、點B 的坐標(biāo)表示，從而利用兩根之和與兩根之積整體代換求解.化歸與轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中重要的思想方法.那么，由于O、D、B 三點共線，所以點D 的坐標(biāo)也完全可以轉(zhuǎn)化成點B 的坐標(biāo)表達(dá)，即

解法二因為O、D、B 三點共線， 所以即D(λx2,λy2).因 為AD ⊥ OD， 即即所 以

以上幾種解法充分利用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行目標(biāo)轉(zhuǎn)化、簡化處理，根本不需要寫出“以AB 為直徑的圓”的方程就可以求解.那么要是能夠?qū)懗觥耙訟B 為直徑的圓”的方程，又可以找到怎樣的突破呢? 以此題所給條件“以AB 為直徑的圓”，顯然此處選擇圓的直徑式方程[2]更適合.

以AB 為直徑的圓的方程：(x-x1)(x-x2) +(y-y1)(y-y2) = 0， 所 以x2+ y2- (x1+x2)x -(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0，所以

有了圓的方程，要如何建立其與|OB|·|OD|的聯(lián)系呢?

觀察圖中|OB|即為直線上點B 到定點O 的距離，|OD|即為直線上點D 到定點O 的距離，此處若用兩點間的距離公式來表達(dá)顯然不合適.那么繼續(xù)挖掘圖形特征，點B 的位置在點O 的上方，點D 的位置在點O 的下方，回顧以前是否見過類似特征的模型呢? 可否只用一個字母來表達(dá)|OB|和|OD|呢? 以此引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想直線的參數(shù)方程中t 的幾何意義，重在利用學(xué)生在極坐標(biāo)與參數(shù)方程時獲得的基本經(jīng)驗來解題.

解法三設(shè)直線BD 的參數(shù)方程為：(t 為參 數(shù))， 將 其 代 入 (*)， 得 t2-=0，所以t1t2=4，所以|OB|·|OD|=|t1||t2|=|t1t2|=4.

圖2

利用參數(shù)方程解決解析幾何問題的方法打開了學(xué)生的思路，于是很快就有學(xué)生想到圖中的直線BD 過原點，所以|OB|、|OD|也完全可以利用極坐標(biāo)方程中ρ 的幾何意義來表達(dá).

解法四以AB 為直徑的圓的極坐標(biāo)方程為：ρ2-設(shè) 直線BD 的極坐標(biāo)方程為：θ = α(ρ ∈ R)， 將 其 代 入 上 式， 得ρ2-0，所以ρ1ρ2=-4，所以|OB|·|OD|=|ρ1ρ2|=4.

極坐標(biāo)與參數(shù)方程的使用充分簡化了繁雜的代數(shù)運算，為解析幾何的解題開拓了一片天空.當(dāng)然隨著直線傾斜角的參與轉(zhuǎn)化也為同學(xué)們開拓了另一個思路.

解法五設(shè)直線BD 的方程為：y =mx，則

圖3

圖4

借助傾斜角將線段|OB|、|OD|分別轉(zhuǎn)到了x 軸上，利用其橫坐標(biāo)進(jìn)行表達(dá)，再借助傾斜角與斜率的關(guān)系，輕松求解.

那么，既然x 軸可以提供便利，我們不妨設(shè)圓與x 軸的兩個交點分別為E(xE,0),F (xF,0)，那么BD 與EF 即為圓內(nèi)的兩條相交弦，則由相交弦定理可知

解 法 六|OB| · |OD| = |OE| ·|OF|=|xE|·|xF|=|xE·xF|.由得所 以xE· xF= -4， 即|OB|·|OD|=|OE|·|OF|=|xE||xF|=|xE·xF|=4.

至此，此題已經(jīng)完全被簡化，同學(xué)們也已經(jīng)在各種驚呼中忙著做筆記了.我們利用了多種方法對|OB|·|OD|進(jìn)行轉(zhuǎn)化表達(dá)、簡化求解.達(dá)到了一題多解，拓展思維的目的，而一題多解真正的意義在于多解歸一，回顧以上幾種解法，可歸結(jié)為以下三種思路：

圖5

（一）解題工具的選擇與應(yīng)用

前面幾種解法中分別利用了向量、極坐標(biāo)與參數(shù)方程對目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將問題簡化處理.解題時，注重數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)思想的運用，利用以前做題時獲得的基本活動經(jīng)驗，即極坐標(biāo)中ρ的幾何意義和參數(shù)方程中t 的幾何意義來表達(dá)|OB|·|OD|，自然而然地將目標(biāo)與學(xué)生已知的兩根之積搭建聯(lián)系，從而解下去.由此，解析幾何的教學(xué)中，要注重啟發(fā)學(xué)生思考，選擇合適的解題工具.數(shù)學(xué)不是算術(shù)，不需要死算、硬算.極坐標(biāo)與參數(shù)方程是簡化距離問題最好用的“工具”，一定要勤于思考，善于使用.

（二）結(jié)論的補充與使用

解析幾何的主要對象有直線與圓，由于直線的方程是一次表達(dá)式， 無論設(shè)與求都相對容易.而此題中圓的方程， 無論是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的a、b、r，還是求圓的一般方程中的D、E、F，都相對繁雜.然而我們課本必修2 習(xí)題4.1A 組第5題就曾給出過以AB 為直徑的圓的方程的證明，那么上題若利用此圓的直徑式方程進(jìn)行表達(dá)，順勢代入上一步的兩根之和與兩根之積，實屬一大突破.所以教學(xué)中，也要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注題目的結(jié)論，做過的題目要研究其結(jié)論的意義和價值，并且將這種價值發(fā)揮到以后的解題中，才不辜負(fù)以往所做的題.

（三）幾何定理的運用

此題最后的解法即利用相交弦定理可謂“一招制勝”，然而幾乎所有學(xué)生早已忘記還有這么回事.解析幾何是平面幾何的一個分支，平面幾何中很多定理在解析幾何的解題中都有重要的價值，所以教學(xué)中，我們要重視對幾何定理及幾何關(guān)系等價轉(zhuǎn)化的培養(yǎng)，讓學(xué)生真正理解解析幾何的本質(zhì)[3].

講解這道題，準(zhǔn)備這節(jié)課，我也深深的感悟到，在解析幾何的教學(xué)中一定要有耐心、要等待，要給學(xué)生表達(dá)想法的機(jī)會，幫助其獲得解決一類問題的基本經(jīng)驗[4]，從而促進(jìn)其認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，使得他們在不斷的探索研究中學(xué)會解題，更學(xué)會解決問題.