化歸轉(zhuǎn)化思想解題例說(shuō)
——以一道線性規(guī)劃綜合問(wèn)題為引例

☉江蘇省南菁高級(jí)中學(xué) 張麗娟

化歸轉(zhuǎn)化思想解題例說(shuō)
——以一道線性規(guī)劃綜合問(wèn)題為引例

☉江蘇省南菁高級(jí)中學(xué) 張麗娟

在數(shù)學(xué)解題中，如果對(duì)原問(wèn)題直接求解不易入手，此時(shí)不妨將原問(wèn)題變換為我們熟悉的、易于解決的問(wèn)題來(lái)處理.這就是化歸轉(zhuǎn)化思想，即將一種研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種研究對(duì)象的思想.下面就化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用舉例分析.

例1已知點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，給出下列說(shuō)法：

①3a-4b+10>0；

其中，所有正確說(shuō)法的序號(hào)是_________.

本題以線性規(guī)劃為背景，設(shè)置多個(gè)結(jié)論，綜合性較強(qiáng)，解題中要善于根據(jù)題目條件將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.此類問(wèn)題能有效考查考生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

一、善于把握問(wèn)題的本質(zhì)

對(duì)于①，利用不等式所表示的平面區(qū)域的概念，將點(diǎn)B（1，0）的坐標(biāo)代入直線3x-4y+10=0所得值大于零，故3a-4b+10<0.①錯(cuò)誤.

評(píng)析：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在某個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，可直接將點(diǎn)坐標(biāo)代入不等式方程中，若滿足不等式，則該點(diǎn)在所給不等式的區(qū)域內(nèi)，否則不在該區(qū)域內(nèi).充分把握不等式所表示的平面區(qū)域的本質(zhì)，即可順利求解.

變式1（2014年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ）不等式組的解集記為D，有下面四個(gè)命題：

p1：?（x，y）∈D，x＋2y≥-2；

p2：?（x，y）∈D，x＋2y≥2；

p3：?（x，y）∈D，x＋2y≤3；

p4：?（x，y）∈D，x＋2y≤-1.

其中的真命題是（ ）.

A.p2，p3B.p1，p2

C.p1，p4D.p1，p3

解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖1所示，在圖中畫出命題1中不等式x＋2y≥-2所表示的平面區(qū)域，易知此區(qū)域包含區(qū)域D，所以命題p1正確.同理命題p2正確，p3、p4錯(cuò)誤.答案為B.

圖1

二、拓展由此及彼的洞察力

畫出可行域（如圖2所示），因?yàn)?a-4b+10=0所在的直線為虛線，所以z=a+b既不存在最大值，也不存在最小值.故②錯(cuò).

圖2

評(píng)析：若不等式中含有等號(hào)，則其區(qū)域邊界直線為實(shí)線；若不含等號(hào)，則其邊界直線為虛線.

變式2（2015年山東卷）已知x，y滿足約束條件若z=ax+y的最大值為4，則a=（ ）.

A.3 B.2 C.-2 D.-3

解析：由z=ax+y得y=-ax+z，畫出不等式組表示的目標(biāo)區(qū)域，如圖3，借助圖像可知：

圖3

當(dāng)-a<-1，即a>1時(shí)，在x=2，y=0時(shí)有最大值2a=4，a=2，滿足a>1；

當(dāng)-1<-a≤0，即0

當(dāng)0≤-a<1，即-1

當(dāng)-a≥1，即a≤-1時(shí)，在x=y=0時(shí)有最大值0，不符合題意.

答案選B.

三、善于尋找命題的等價(jià)形式

評(píng)析：在線性規(guī)劃問(wèn)題中，目標(biāo)函數(shù)一般有兩種類型，一種是線性型，一種是非線性型.對(duì)于非線性型，除本小題中的兩點(diǎn)間距離型以外，還有點(diǎn)到直線的距離型.即對(duì)于目標(biāo)函數(shù)為形如z=|Ax+By+ C|（A、B不同時(shí)為0）型時(shí)，求解方法是先將其變形為z=（A、B不同時(shí)為0），然后利用的幾何意義：動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到直線Ax+By+ C=0的距離求出最值，最后再乘以求解問(wèn)題.

變式3已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件求 z=|x+2y-10|的最大值.

解析：由條件畫出可行域，如圖5所示，z=|x+2y-10|=根據(jù)圖形易得A點(diǎn)到直線x+2y-10=0的距離最大，根據(jù)方程組可求得A（3，-3），所以

圖5

四、把握結(jié)論與條件的關(guān)系化生為熟

綜上所述，正確結(jié)論為③、④.

評(píng)析：在處理與目標(biāo)函數(shù)為斜率型的線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，要注意斜率的范圍.當(dāng)傾斜角為時(shí)，斜率k∈［0，+∞）；當(dāng)傾斜角為時(shí)，斜率k∈（-∞，0）；當(dāng)傾斜角為時(shí)斜率不存在.如，當(dāng)傾斜角α∈時(shí)，學(xué)生易錯(cuò)誤地認(rèn)為斜率k∈［-1，1］.正確答案應(yīng)為［1，+∞）∪（-∞，-1）.若斜率k∈［-1，1］時(shí)，傾斜角的范圍是

變式4定義在R上的函數(shù)（fx）滿足（f4）=1，f（′x）為（fx）的導(dǎo)函數(shù)，已知y=f（′x）的圖像如圖7所示，若兩個(gè)正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則的取值范圍是（ ）.

圖7

解析：由導(dǎo)函數(shù)的圖像知f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，又f（2a+b）＜1且f（4）=1，所以2a+b<4，結(jié)合a，b>0，構(gòu)造不等式組進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題.

圖8

總之，解題時(shí)從考查問(wèn)題的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)入手，橫向聯(lián)想與之形似的某些熟知情境及處理方法，或縱向聯(lián)想類似解決過(guò)的問(wèn)題及解決方式，這樣就能快速地找到解決問(wèn)題的突破口.