例談分類討論思想在函數(shù)教學(xué)中的三重境界

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 季漢杰

例談分類討論思想在函數(shù)教學(xué)中的三重境界

☉江蘇省南通市通州區(qū)金沙中學(xué) 季漢杰

眾所周知，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)從培養(yǎng)學(xué)生雙基開始、到綜合知識的整合運(yùn)用、再到思想方法的提煉滲透，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的三個基本步驟.對于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)思想方法的提煉和滲透是最難實(shí)施的，從一線教學(xué)的實(shí)踐來看，不少學(xué)生對于問題的轉(zhuǎn)化、如何恰當(dāng)?shù)厥褂煤线m的思想方法介入都是比較茫然的.

以下面的問題為例，設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）.

（1）若b=1，函數(shù)f（x）在［-1，1］的值域是［m，n］，求函數(shù)h（a）=n-m的表達(dá)式；

筆者調(diào)查過學(xué)生的試卷，也請學(xué)生回顧了解題時的思路，學(xué)生給出的回答是：我知道是分類討論思想，但是我不知道怎么分？好像很亂，沒法下手.的確對于學(xué)生來說，其對分類討論思想僅僅是字面的了解，“如何正確分類？”“為什么要分？”“怎么分？”“不分行不行？”等等都是極其模糊的.本文從三個角度來談?wù)?，分類討論思想在教學(xué)應(yīng)該如何滲透，與大家一起交流.

一、辨別為何要分類

在數(shù)學(xué)問題處于定值范疇時，我們很少會想起分類討論思想，這也是初中生所涉及的大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，以定值型問題為主.而高中數(shù)學(xué)最主要的是變量思想的滲透，因?yàn)樽兞繂栴}才是生活中無處不在的數(shù)學(xué)模型，這就是函數(shù)概念為什么是高中數(shù)學(xué)最重要的概念的原因吧.但是學(xué)生對于變量思想下的數(shù)學(xué)問題往往缺乏動態(tài)的認(rèn)知，因?yàn)槿鄙倭诉@種認(rèn)識，淡忘了分類意識，導(dǎo)致學(xué)生對很多問題沒有為什么要分類的想法.

問題1（1）求函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間［-1，1］上的最小值；（2）求函數(shù)f（x）=x2-2ax+a（a∈R）在區(qū)間［-1，1］上的最小值.

分析：問題（1）學(xué)生解決較為輕松，顯然在函數(shù)確定的前提下，函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值易求，如圖1.將問題轉(zhuǎn)化為動態(tài)情形下，筆者給高一學(xué)生嘗試這樣的問題，不少學(xué)生認(rèn)為當(dāng)x=a時，f（x）min=f（a）=a-a2，因?yàn)槌踔袣w納二次函數(shù)時最（大）小值是在對稱軸處得到的！還有學(xué)生煞有介事的問錯誤的原因在哪里？叫人哭笑不得.筆者以為：這是學(xué)生對于含參二次函數(shù)缺乏動態(tài)思考的原因，觀察函數(shù)f（x）=x2-2ax+a模型，顯然影響這一函數(shù)最重要的因素是其對稱軸的移動，如圖2，將其從左至右進(jìn)行動態(tài)思考，找到了函數(shù)在區(qū)間［-1，1］上最小值為何要分類討論的原因.

圖1

圖2

說明：對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上最小值的分類討論是非常常見的，通過上述問題1，我們可以總結(jié)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0）在閉區(qū)間［m，n］上的最小值是以對稱軸落在（-∞，m］內(nèi)，落在［m，n］內(nèi)，落在［n，+∞）內(nèi)進(jìn)行合理的分類討論；若將問題演變?yōu)樽畲笾?，則顯然是以對稱軸落在和進(jìn)行分類討論；若將問題演變?yōu)樽钪登蠼?，則將前兩種問題結(jié)合在一起，以對稱軸落在（-∞，m］，四類進(jìn)行討論，這種函數(shù)圖像動態(tài)運(yùn)動形成的最值是為什么要分類的主要原因.

二、思考如何來分類

對于函數(shù)中的變量進(jìn)行分類討論如何切入，是學(xué)生學(xué)習(xí)分類討論思想的一個難點(diǎn).學(xué)生在處理函數(shù)問題時候，往往遇到變量位置的不同，當(dāng)出現(xiàn)在不同位置的變量進(jìn)行討論時，如何合理的來分？合理的找到切入點(diǎn)，是解決這些問題的關(guān)鍵.

問題2（變量分類的介入題組）.

（1）二次項(xiàng)系數(shù)介入的討論.

題1 已知函數(shù)f（x）=plnx+（p-1）x2+1，當(dāng)p>0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

當(dāng)p≥1時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增.

說明：導(dǎo)函數(shù)的分子是二次函數(shù)，對于二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)均含有參數(shù)p的情形下，首先可以從二次項(xiàng)系數(shù)切入去分類，因?yàn)閷τ陂_口方向的討論是二次函數(shù)討論的第一切入口.教師在教學(xué)中對于二次函數(shù)f（x）= ax2+bx+c（a≠0）字母的討論，應(yīng)該從a、b、c順序介入，其代表的含義開口討論、對稱軸討論、判別式的討論.看下一個問題：

（2）動態(tài)對稱軸介入的討論.

解析：由已知得g（x）=ln（x+1）+3-（-2x2+4ax+3）= ln（x+1）+2x2-4ax，

因此實(shí)數(shù)的取值范圍是a≤0.

說明：顯然對于本題導(dǎo)函數(shù)中的分子部分，二次項(xiàng)系數(shù)為定值前提下，對一次項(xiàng)系數(shù)分類進(jìn)行介入，正是二次函數(shù)中對稱軸變換的討論.

（3）判別式變換介入的討論.

題3 已知函數(shù)f（x）=x2-x+alnx（a＞R），討論f（x）在定義域上的單調(diào)性.

說明：本題導(dǎo)函數(shù)中的二次函數(shù)部分，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)均為定值，對于常數(shù)項(xiàng)的討論恰為其判別式的分類介入，因此以判別式討論本題成為解決問題的關(guān)鍵.

三、學(xué)會減少分類

掌握了分類討論的前兩種層面后，學(xué)生對于含有參量的問題有了基本的絕佳思路：即找到分類切入點(diǎn)，進(jìn)而討論解決.隨著問題難度的增加，分類討論的復(fù)雜程度也會隨之進(jìn)一步增加，有時候會出現(xiàn)很多種分類的切入以及多達(dá)數(shù)十種情形的分析，這樣就失去了問題考查的意義，試想在有限的時間內(nèi)不可能用多種或數(shù)十種分類去解決一個問題.因此教師教學(xué)中對于分類討論思想的最高境界就是引導(dǎo)學(xué)生找到更為合理的切入點(diǎn)，甚至達(dá)到學(xué)習(xí)分類討論，更能站在系統(tǒng)的高度不進(jìn)行分類就能解決含參問題.

問題3解關(guān)于x的不等式

分析：本題是含參不等式的求解，有興趣的讀者可以百度其參考答案，共計(jì)分為四大類十六小類進(jìn)行分類討論，筆者以為這樣的討論教學(xué)是“誤人子弟”的！也是毫無意義的！站在系統(tǒng)的高度，筆者認(rèn)為，需要對含參問題作減少分類的思考，因此將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合解決，即問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)g（x）=|x-1|-1的圖像不高于f（x）=的圖像，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.借助數(shù)形結(jié)合思想，我們將問題轉(zhuǎn)變?yōu)閯討B(tài)函數(shù)與定函數(shù)之間的圖形比較，從直觀思維角度來說，這大大降低了問題的抽象性，也將分類的情形大幅作出了刪減.

①當(dāng)a=0時，即y=|x|，如圖3所示，易知y=|x|≥y=|x-1|-1對一切x∈R成立.

圖3

②當(dāng)a<0時，即y2-x2=-a（y>0，a<0），如圖4所示，其圖象為雙曲線的上半支，則對一切x∈R成立.

圖4

③當(dāng)00，a>0），如圖5所示，其圖象為雙曲線的上半部分，左支不成立，右支對成立.

圖5

④當(dāng)a>4時，情形同③，如圖6所示，左支不成立，右支與y=|x-1|-1有一交點(diǎn)（聯(lián)立方程2），可得則當(dāng)時，原不等式成立.

圖6

說明：相比原解，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考了如何簡化分類討論的步驟，本題借助了數(shù)形結(jié)合思想.筆者認(rèn)為學(xué)會解題不僅是耐心，也需要一點(diǎn)思考的方向，試想若本題從代數(shù)角度去討論不等式，那么其對于學(xué)生思維的啟發(fā)是很有限的，更多達(dá)數(shù)十種的討論也讓師生置身于無意義的討論之中，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果的下降和興趣的喪失.

總之，分類討論思想是高中數(shù)學(xué)必不可少的重要思想方法，教師教學(xué)從高一開始滲透，并逐步加深討論的復(fù)雜程度和難度.但是在教學(xué)的同時，我們也要多思考下面不同層級的問題：

（1）學(xué)生為何不會分類？為何沒有想到這里要分類？我們應(yīng)該如何教學(xué)？

（2）學(xué)生知道分類討論，為何無法將問題正確分類？學(xué)會了分類為何在思考切入角度上還不足以一擊命中？

（3）是不是每個含參問題都是直接從分類入手的？有沒有簡化分類的方式或思考？能引導(dǎo)學(xué)生找到合理的途徑進(jìn)而減少分類的情形才是分類討論教學(xué)最高的境界，甚至可以將問題轉(zhuǎn)化為不需要分類去處理，才是我們分類討論思想教學(xué)的最終目的.給出一個思考：設(shè)實(shí)數(shù)a，b使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0有實(shí)根，求a2+b2的最小值.有興趣的讀者可以試試，如何不用分類討論就解決問題呢？答案參考文［3］.

1.沈科.數(shù)學(xué)高考難題破解與思想方法的聯(lián)系［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2014（8）.

2.周剛強(qiáng).高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的歸因分析及對策研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2012（10）.

3.劉薇.一道競賽題的三種解法［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010（7）.