“空間運動”與“圓錐”的“不解之緣”
——由2016年浙江高考談“動態(tài)”立體幾何教學建議

☉江蘇省如皋市第一中學 吉俊杰

“空間運動”與“圓錐”的“不解之緣”
——由2016年浙江高考談“動態(tài)”立體幾何教學建議

☉江蘇省如皋市第一中學 吉俊杰

“動態(tài)”充滿著神奇，孕育著創(chuàng)造，動態(tài)性問題滲透著運動變化的觀點，是立體幾何的一大難點.所謂“動態(tài)”性立體幾何題，是指在點、線、面運動變化的幾何圖形中，探尋點、線、面的位置關系或進行有關角與距離的計算.［1］當前高考“動態(tài)”立體幾何的命題趨勢逐漸由“關注學生學習結果”轉(zhuǎn)向“關注學生學習過程”，更加注重與其他知識交匯融合，尤其是浙江省高考中的“動態(tài)”立體幾何問題，更是與“圓錐”結下了“不解之緣”.浙江省的“動態(tài)”立體幾何問題除考查立體幾何基本知識點與基本思想方法以外，更注重對學生直觀想象核心素養(yǎng)與綜合運用知識能力的考查.學生在解決這類問題時，總存在著一定的心理和思維方面的困惑或障礙，下面筆者就結合近幾年高考的命題趨勢，談談此類問題的教學建議.

一、又是一年芳草綠，依然十里杏花紅

又是一年高考時，今年浙江高考數(shù)學文理卷上各有一道關于“動態(tài)”立體幾何的題目，而且兩道題都與“圓錐”存在緊密聯(lián)系.

例1（2016年浙江高考文科第14題）如圖1，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=∠ADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，則直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是______.

圖1

解析：此題“動態(tài)”十足，屬于比較常見的翻折問題，但按照一般求空間角的思路，不論是利用幾何法作出空間角，還是利用坐標法求出角，解題過程都會比較復雜.如果關注“翻折”運動的特點，發(fā)現(xiàn)動點D做圓周運動，線段CD的運動軌跡構成一個圓錐（以AC為軸）.

如圖2，過點D作DH垂直AC于點H，點D在以H為圓心，DH為半徑的圓上運動.在D點運動的過程中，直線AC與BD所成角為直線BD與圓面所成角的余角.因此，問題等價于求直線BD與圓面所成角的正弦值的最大值.

圖2

例2（2016年浙江高考理科第14題）如圖3，在△ABC中，AB= BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是_______.

圖3

解析：此題“運動”特點不明顯，人們很難把它與“動態(tài)”立體幾何聯(lián)系起來，而是把它當作一般的求體積問題來處理.設AD=x，然后把四面體的體積表示為x的函數(shù)，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.這種解題思路盡管能求出結果，但過程煩瑣，運算復雜，“小題大做”，得不償失.

若用“運動變化”的視角重新審視題目條件與結論，我們對上述四面體中的點、線、面的關系會有新的認識，具體如下表所示：

靜止 運動點點A、B、C 點P、D線 AB=BC=PB=2，AC=2 3■ PB與面ABC的夾角、DA=PD面面ABC 面BAP、面BPC、面APC

由“AB=BC=PB=2”聯(lián)想到以B為頂點，BA、BC、BP為側(cè)棱的三棱錐模型；“BP運動中長度保持不變”，那么PB可以看成B為頂點的圓錐的母線.于是，我們就可以在四面體的基礎上構造如圖4所示的圓錐模型，可以得到此題一種“特殊”（近似）解法.

圖4

要使四面體PBCD體積最大，需要高與底面S△PCD最大；當面ABC與底面垂直時高取得最大值1，此時AP⊥PC，如圖5所示，設∠PAD=α，由DA=PD得∠DPA=α，則所以所以D是 AC的中點，此時滿足因此要使S△PCD最大，只需S△PAC最大.顯然，當PA=PB時，S△PAC取到最大值為此時所以VB-PCD的最大值為

圖5

構造圓錐模型的最大好處就是容易確定動點P的位置及運動軌跡，容易發(fā)現(xiàn)隱含的幾何性質(zhì)，從而使解題過程得到優(yōu)化.

二、千歌百舞不可數(shù)，就中最愛霓裳舞

無獨有偶，2015年的浙江數(shù)學高考文、理也各有一道“動態(tài)”立體幾何題，而且也都與“圓錐”有關.

例3（2015年浙江高考文科第7題）如圖6，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PBA=30°，則點P的軌跡是（ ）.

圖6

A.直線 B.拋物線

C.橢圓 D.雙曲線的一支

解析：如圖7，P點的軌跡為以斜線段AB為旋轉(zhuǎn)軸，母線與AB所成的角為30°的圓錐面，因直線AB與平面α所成的角為60°，故平面沿垂直于母線AD方向去截，截得的截面顯然為橢圓.

圖7

例4（2015年浙江高考理科第8題）如圖8，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則（ ）.

A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α

圖8

解析：對于選擇題而言，用特殊位置法也能得到答案，但無法觸及問題本質(zhì).事實上，過A點作AP⊥DC，垂足為P，延長AP交BC與點R，連接A′P，則∠A′PR為二面角A′-CD-B的平面角，△A′CD繞直線CD轉(zhuǎn)動，由此可以構造圓錐模型，如圖9，A′點在共底面圓錐C-P、D-P的底面上轉(zhuǎn)動，在等腰△PAA′中，易知∠A′PR=2∠PAA′=α；在等腰△DAA′中，∠A′DB=2∠A′AD.因為AD＞AP，所以等腰△DAA′的腰長比等腰△PAA′的長，根據(jù)大邊對大角，可知∠A′AD＞∠PAA′，所以∠A′DB≥α.

圖9

通過構造圓錐模型，我們不僅圓滿地解決了問題，并且還發(fā)現(xiàn)“D是線段AB的中點”的條件其實是多余的，沒有這個條件結論照樣成立.

縱觀近10年的浙江數(shù)學高考試卷（如下表所示），不難發(fā)現(xiàn)幾乎每年都有關于“動態(tài)”立體幾何的題目，其中很多題目都與“圓錐模型”存在著“不解之緣”，只要“圓錐模型”一出手，問題的本質(zhì)就暴露無遺.

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羅增儒教授曾說：“以能力立意命題，利于題型設計，易形成綜合自然、新穎脫俗的試題.”給靜態(tài)的立體幾何題賦予了“動態(tài)”的活力，使題意更加新穎、解法更加靈活、思維更加廣闊.也正因為某些點、線、面位置的不確定，成為考生進行常規(guī)思考、轉(zhuǎn)化的障礙，但又因為其是可變的、開放的，更有助于學生空間想象能力及綜合能力的培養(yǎng).這應該就是“動態(tài)”立體幾何備受青睞的原因.那么，教師該如何有效地開展“動態(tài)立體”幾何問題的教學呢？

三、不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層

1.發(fā)展“直觀想象”核心素養(yǎng)

綜上可知，“動態(tài)”立體幾何重在考查“直觀想象”核心素養(yǎng).所謂的“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的過程.在解決“動態(tài)”立體幾何問題中，首先通過直觀感知數(shù)學對象的幾何屬性，初步形成判斷與理性思考，然后通過幾何直觀、動態(tài)想象等思維過程準確把握數(shù)學對象的全貌和本質(zhì)，從而找到問題的突破口，實現(xiàn)“化繁為簡”、“事半功倍”的效果.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題、分析和解決數(shù)學問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎.當然，“直觀想象”素養(yǎng)是建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎之上，既有相對豐富的經(jīng)驗積累，也有經(jīng)驗基礎之上的理性的概括和升華，因此，在平時教學中要注重學生“直觀想象”核心素養(yǎng)的發(fā)展.

2.滲透“模型化”思想

解立體幾何“動態(tài)”問題的過程實質(zhì)是數(shù)學建模的過程，正所謂“心中有模型，解題不用慌”.上述可知命題者對圓錐模型“情有獨鐘”，實際上，只要是幾何翻折問題通常都可以借助圓錐模型轉(zhuǎn)化為圓周運動進行研究.當然，在立體幾何中，還有其他一些“重要模型”也是值得關注，比如長方體模型，立體幾何中的很多概念和定理都是通過長方體模型引入的，很多問題也都可以在長方體模型中找到解決方案.因此，“借幾何模型之力，破‘動態(tài)’立體幾何之困”是非常值得推廣的解題策略.當然，只有在平時教學中，不斷地滲透模型化思想，學生才能在解題中利用模型，做到游刃有余.

3.強調(diào)“動靜結合”的辯證思想

一方面，盡管“動態(tài)”立體幾何題中活躍著動態(tài)的點、線、面、體，但在其動態(tài)性的層面內(nèi)、動感化的情境里與變化著的過程中，往往隱藏、蘊含或潛伏著某些不變（靜態(tài)）的元素與形體.只要細心觀察，匠心獨運，獨具慧眼，善于從動態(tài)的圖形中捕捉到不變的靜態(tài)的因素，實現(xiàn)“動中取靜，以靜制動”之效應；另一方面，充分感知動態(tài)的變化過程，仔細觀望動態(tài)的變化規(guī)律，及時捕捉動態(tài)的變化軌跡，從而掌握與描繪出其動態(tài)變化的一般趨勢乃至具體形態(tài)，使問題變得有跡可循、清晰可辨，進而實現(xiàn)“動中感知，以動制動”.這就需要教師在教學中要充分體現(xiàn)“動靜結合”的辯證思想，使學生掌握“動靜轉(zhuǎn)換”的方法與途徑，建構“動靜合一”的數(shù)學思維.

1.馬茂年，吳曉明.動態(tài)幾何 策略引領 理性探索——例說立體幾何“動態(tài)”題型解題策略［J］.中學教研（數(shù)學），2014（2）.