思維深度決定視覺寬度

☉江蘇省高淳高級(jí)中學(xué) 田丕豐

思維深度決定視覺寬度

☉江蘇省高淳高級(jí)中學(xué) 田丕豐

（1）求a，b的值；

（2）用x1表示x2；

（3）求證：點(diǎn)M在定直線l上.

這題是我校2015屆高三考前適應(yīng)性考試的試題，問第（1）問是對(duì)有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，除個(gè)別學(xué)生外，都能很快得到正確的結(jié)果：a=2，b=1，＋y2＝1.第（2）問的設(shè)計(jì)意圖是為解答問第（3）問指明思維方向，降低求解難度.考試后統(tǒng)計(jì)表明，能解答第（2）問的學(xué)生中，大多數(shù)都能完成第（3）問的求解.因此，能否解答第（2）問，是能否完整解答此題的關(guān)鍵點(diǎn).筆者在閱卷中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)第（2）問求解，出現(xiàn)了四種解法，下面輯錄的是這幾種解法和筆者的一些淺顯的思考.

【解法一】（2）（i）若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程y＝k（x-1），

將此式子代入①，化簡得5（x1＋x2）-2x1x2＝8，

（ii）若斜率不存在時(shí)，x1＝x2＝1，滿足上式.

因此，點(diǎn)M在定直線：x=4上.

【評(píng)析1】這一解法注意到?jīng)Q定題中各個(gè)動(dòng)點(diǎn)位置的控制變量是直線PQ的斜率k，利用k找到相關(guān)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，在本題的設(shè)問方式下，學(xué)生容易想到消去實(shí)數(shù)k找出x1，x2的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上解答第（3）問較為順利.因此，對(duì)本題來說，這一解法的思維雖然淺顯，卻直觀有效.但若本題中沒有設(shè)置第（2）問，用此法時(shí)，因?yàn)橹虚g目標(biāo)的缺失，一般學(xué)生的思路是用k表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，這樣面對(duì)很復(fù)雜、煩瑣的代數(shù)式運(yùn)算，從而導(dǎo)致解題過程無法推進(jìn).

以下各種解法，只給出第（2）問的求解過程，第（3）問的解法與上面大致相同，所以省略.

【解法二】設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）.若x1≠1，直線PQ方程為代入橢圓方程消去y，得［（x1-1）2＋4y21］x2-8y21x＋4y21-4（x1-1）2＝0，且x21＋4y21＝4，所以（5-2x1）x2-8y21x-5x21＋8x1＝0.由韋達(dá)定理得

【評(píng)析2】此解法是思考到問題能否獲解的關(guān)鍵是設(shè)法表示出各個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，因而選擇動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)作為控制變量，直接通過求解方程得到x2與x1的關(guān)系，比解法一減少了消參的環(huán)節(jié).因此，用此法的學(xué)生要比用解法一的學(xué)生思維更深一些，而且此法對(duì)于在已知曲線聯(lián)動(dòng)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的題型，具有普遍的指導(dǎo)意義.需要提醒的是解題過程中，利用韋達(dá)定理可以簡化運(yùn)算.但此法只有學(xué)科基礎(chǔ)較好、感悟能力較強(qiáng)的學(xué)生，經(jīng)過對(duì)相關(guān)題型的批量訓(xùn)練才能掌握.

【評(píng)析3】此法是利用定比分點(diǎn)的向量形式，找到了關(guān)聯(lián)動(dòng)點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)的線性關(guān)系，再用點(diǎn)差法得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)λ的線性關(guān)系，這樣消參就很順利.應(yīng)該說能想到此法的學(xué)生，思維層次較高，綜合應(yīng)用學(xué)科知識(shí)的意識(shí)與能力較好.而且，此法用于處理過定點(diǎn)的動(dòng)線段兩端點(diǎn)相應(yīng)坐標(biāo)之間的關(guān)系，通常是一種行之有效，運(yùn)算也不煩瑣的好方法.

【解法四】由題知，P（x1，y1），Q（x2，y2），T（1，0），由P，Q，T三點(diǎn)共線得：KPT＝KQT，所以即y（21x2-1）2＝y(tǒng)22（x1-1）2.又有

代入上式得（4-x21）（x2-1）2＝（4-x22）（x1-1）2，

即4（x2-1）2-4（x1-1）2＝x21（x2-1）2-x22（x1-1）2.

由平方差公式整理得5（x1＋x2）-2x1x2＝8，所以x2＝

【評(píng)析4】此解法是從多元方程組中通過消元得到部分未知數(shù)之間的關(guān)系，是實(shí)質(zhì)是從關(guān)聯(lián)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)與變化中，找到相關(guān)變量的不變關(guān)系.用此法的學(xué)生對(duì)二次曲線方程的結(jié)構(gòu)特征有較深的研究，能夠洞察方程間各類運(yùn)算的可能結(jié)果，對(duì)本題中各個(gè)條件的代數(shù)表示及應(yīng)用有自己獨(dú)特的視角，思維廣度與深度明顯高人一等.不過，此法因其獨(dú)特，言傳效果不佳，只適合于一些有學(xué)科特質(zhì)的學(xué)生理解與掌握.

【后記】我們知道：運(yùn)動(dòng)與變化、控與被控是解析幾何中所蘊(yùn)涵的最重要的思想方法，而解決這兩個(gè)問題最基本的數(shù)學(xué)工具是方程與不等式，因此，數(shù)式運(yùn)算能力的培養(yǎng)是提高解析幾何解題能力的基礎(chǔ).上題中幾種解法體現(xiàn)，學(xué)生解題時(shí)的思維深度，決定其解題的視角寬度，也決定了方法的優(yōu)劣與運(yùn)算的繁簡程度.就教學(xué)價(jià)值而言，筆者認(rèn)為前兩種解法優(yōu)于后兩種解法.因此，實(shí)際教學(xué)時(shí)，應(yīng)通過思路分析和解題訓(xùn)練，幫助學(xué)生理解和掌握前兩種方法.解法一因其思維起點(diǎn)低、入口寬，學(xué)生易于理解，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力必不可少的奠基石.雖然在后續(xù)的求解過程中，學(xué)生可能因思維偏差和運(yùn)算能力的欠缺導(dǎo)致解題受挫，同時(shí)由于學(xué)生有簡化運(yùn)算的心理需求，利于激發(fā)學(xué)生思維橫向拓展和縱向深入的內(nèi)驅(qū)力，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).解法二，因其對(duì)解題過程相對(duì)深入和全方位的思考，且方法具有普遍性指導(dǎo)意義，更具集體教學(xué)價(jià)值.后兩種解法，雖然思維層次很高，但思維切入點(diǎn)隱而難求，且方法的遷移性不強(qiáng)，因而不適合進(jìn)行以班級(jí)為單位的集體教學(xué)，可針對(duì)部分學(xué)科基礎(chǔ)好、思維能力強(qiáng)的學(xué)生，預(yù)先準(zhǔn)備好相關(guān)題組，在教師指導(dǎo)下自主探究，或許可以取得較好的效果.這是筆者對(duì)上題各種解法的一點(diǎn)淺顯的思考，不知當(dāng)否？錄此，以博方家一哂.