一類(lèi)廣義螺面的方程與圖示

周小輝

浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)東方學(xué)院，浙江嘉興，314408

一類(lèi)廣義螺面的方程與圖示

周小輝

浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)東方學(xué)院，浙江嘉興，314408

根據(jù)正螺面的方程與圖形，利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)模型給出了橢圓螺旋線、雙曲螺旋線、正弦螺旋線的方程及圖像；根據(jù)“線成面”的思想給出了橢圓螺旋面、雙曲螺旋面、正弦螺旋面的方程及圖像。然后，基于幾個(gè)螺旋面實(shí)例構(gòu)造廣義螺旋面的一般方程,并討論其坐標(biāo)網(wǎng)性質(zhì)，并且根據(jù)“圓”螺旋面的方程討論了它的坐標(biāo)網(wǎng)性質(zhì)。

廣義螺旋面；“圓”螺旋面；橢圓螺旋面；雙曲螺旋面；拋物螺旋面

微分幾何中的正螺面具有一些特性。比如，它的漸近曲線一族是直線,另一族是圓柱螺線;它是螺面中的極小曲面等。目前,某些光滑曲面上的小波分析成為國(guó)際上小波分析理論研究的新趨勢(shì)[1-6]，比如,球面上的小波分析、旋轉(zhuǎn)曲面上的小波分析、可展曲面上的小波分析、廣義典型流形上的小波分析[1-5]等。本文從正螺面出發(fā),研究廣義螺面，主要是指正螺面之外的其他螺面。

1 廣義螺面方程與圖示

先來(lái)逐步找出廣義螺面的方程,并作出其圖像。讓一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞著一根固定軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)再平行于軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)(這樣就形成了如圖1的圓柱螺線);將質(zhì)點(diǎn)換成一垂直于軸直線后同樣做上述的運(yùn)動(dòng)。這條直線劃過(guò)的軌跡與軸組成的曲面就是正螺面，如圖2,它的方程可以表示成:

圖1 圓柱螺線 圖2 正螺面

用類(lèi)似的思路來(lái)思考怎樣得到“圓”螺面方程及圖像。形成正螺面的運(yùn)動(dòng)模型，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是一個(gè)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)與一個(gè)勻速平動(dòng)的復(fù)合。想得到“圓”螺面就先從一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)說(shuō)起。如果上述運(yùn)動(dòng)中的勻速平動(dòng)改成另外一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng),滿足一定的條件就得到“圓”螺線的圖形。其實(shí)是兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合。先考慮延“圓軸”方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，得到一個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程：

下面考慮剩下的轉(zhuǎn)動(dòng),首先可以確定z軸的坐標(biāo)為v0sin(bt),然后再考慮x,y軸的坐標(biāo)。在這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)半徑是變化的,卻是有規(guī)律的?？紤]它的一個(gè)瞬間就有x,y軸的坐標(biāo)分別為：

(a+v0cos(bt))cos(t),(a+v0cos(bt))sin(t)

所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為：

將上述a、v0取定值之后，運(yùn)用Matlab繪出如圖3的“圓”螺線中間的圓軌道的半徑就是a，螺線中的半徑即是v0。同樣，用一條垂直于圓軸的線段來(lái)替換上述質(zhì)點(diǎn)時(shí)，并且將其中點(diǎn)附在圓軌道上，然后，它沿著圓軌道運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，自身也做著以中點(diǎn)為圓心、線段長(zhǎng)為直徑的勻速圓周運(yùn)動(dòng)?？梢韵胂螅@條線段的運(yùn)動(dòng)軌跡與圓軌道組成的曲面就是要探討的“圓”螺面。帶著這種想象去尋求“圓”螺面的方程，并且試圖繪出它的圖像。換個(gè)角度思考，從“圓”螺線出發(fā)，就可以立即得到“圓”螺面的方程。只要注意到當(dāng)“圓”螺線方程：

圖3 “圓”螺線 圖4 “圓”螺面

取a=3，b=4,則t∈[0,2π], v∈[-1,1]時(shí)，運(yùn)用Matlab繪出如圖4的“圓”螺旋面的圖形。若取a=2，b=0.5時(shí)，可以得到麥比烏之帶的圖形。

根據(jù)圓錐曲線的參數(shù)方程及類(lèi)似探索“圓”螺面運(yùn)動(dòng)模型的方式來(lái)探索和圓錐曲線有關(guān)的三種螺線與螺面的方程及圖像。

圖5 雙曲螺旋線 圖6 雙曲螺面

下面給出雙曲螺線的圖像及方程。

當(dāng)v0變動(dòng)時(shí)，就形成了雙曲螺面。

一條線段垂直于一條連續(xù)曲線勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)并沿著該曲線勻速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生螺面的過(guò)程中，這條連續(xù)曲線就稱(chēng)為“導(dǎo)線”或“軸”。

根據(jù)上述定義，若一廣義螺旋線的“導(dǎo)線”為正弦曲線，就稱(chēng)該螺線為正弦螺線。

圖7 正弦螺旋線 圖8 正弦螺旋面(1)

現(xiàn)在給出廣義螺面的一般方程:

在該定義下討論正弦螺旋面的方程與圖形。

2 廣義螺旋面的性質(zhì)

命題1 關(guān)于廣義螺旋面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)：

那么,廣義螺旋面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)有什么特點(diǎn)呢?考慮它的第一基本量和第二基本量，于是,得到以下幾個(gè)結(jié)論。

命題2廣義螺面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)一般不是正交的。

推論廣義螺面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)正交，若滿足f2(t)+g2(t)=1。

根據(jù)上述命題2的推論及命題3、命題4，“圓”螺旋面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是正交的，但它既不是漸近網(wǎng)，也不是曲率線網(wǎng)。

3 結(jié)束語(yǔ)

文中構(gòu)造了廣義螺旋面的方程與圖示，討論了廣義螺旋面曲紋坐標(biāo)網(wǎng)的性質(zhì)并且構(gòu)造若干實(shí)例。利用這些方程與性質(zhì)，可以建立廣義螺旋面上的幾何投影，Hilbert空間與多分辨分析理論等。從而為研究這些曲面上的小波分析奠定了基礎(chǔ)。比如，利用在文獻(xiàn)[1，2]中的理論與方法，討論了廣義螺旋面上的局部小波變換，或者建立相關(guān)的群理論來(lái)構(gòu)造小波理論，這些都是下一步可以研究的問(wèn)題。另外，廣義螺旋面在工程設(shè)計(jì)與工業(yè)生產(chǎn)中有一定參考意義,例如,渦輪面的設(shè)計(jì)、運(yùn)輸管道的設(shè)計(jì)等，而且為進(jìn)一步的數(shù)據(jù)采樣與處理分析的研究中提供了有力的參考。

[1]WANG Bao-qin,GANG Wang,YUAN Li-xia,et al.The wavelet transform and Reconstruction formular on the generalized canonical manifold[C].Guilin:proceedings of 2011 International Conference on wavelet analysis and Pattern Recognition,2011:187-191

[2]WANG Bao-qin,GANG Wang,ZHOU Xiao-hui,et al.Wavelet analysis on developable surface base on area preserving projection[J].International Journal of Wavelets,Multi-resolution,Information and Processing, 2015, 13(1550007): 1-23

[3]王寶勤，周小輝，王剛．一類(lèi)光滑曲面的保面積投影[J]．西北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，42(6)：877-881

[4]周小輝，王剛，王寶勤．廣義典型流形的實(shí)例構(gòu)作[J]．純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2011，27(2)：176-181

[5]陳維恒．微分幾何[M]．第2版．北京：北京大學(xué)出版社，2002：57-90

[6]周小輝，王剛．?dāng)?shù)字1金字塔的研究[J]．新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2015，34(2)：53-57

[7]王剛，周小輝，王寶勤．n維特殊伸縮矩陣的構(gòu)造與n維廣義插值細(xì)分函數(shù)向量[J]．計(jì)算數(shù)學(xué)，2013，35(4)：377-384

[8]周小輝，王剛．基于GCTST變換研究多尺度函數(shù)的構(gòu)造與性質(zhì)[J]．電子學(xué)報(bào)，2013，41(7)：1273-1277

The Equations and Figures of a Class of Generalized Helicoid

ZHOU Xiaohui

Zhejiang University of Finance and Economics Dongfang College,Jiaxing,Zhejiang 314408

In this paper, the equations of the elliptic helix, hyperbolic helix, sine helix are defined and their figures are shown according to the right helicoid’s equation and figure; the equations of the elliptic helicoid, hyperbolic helicoid, parabolic helicoid are defined and their figures are shown with “l(fā)ines painted face”. The equation and coordinate net’s characteristcs of the generalized helicoid is presented and discussed by several examples. And the coordinate net’s characteristics according to circle helicoid”s equation is discussed.

generalized helicoid;“circle” helicoid,elliptic helicoid; hyperbolic helicoid; parabolic helicoid

10.3969/j.issn.1673-2006.2016.03.024

2015-11-25

浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)東方學(xué)院教學(xué)科研課題項(xiàng)目(2015JK33)。

周小輝(1986-)，江蘇常州人，碩士，講師,主要研究方向：微分幾何與小波分析。

O186.1

A

1673-2006(2016)03-0093-03