由勾股容方想到的

羅 偉 彭翕成 譚世鑫

（1.江蘇省徐州市第二十四中學(xué) 221000；2.華中師范大學(xué)國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 430079；3.北京大學(xué)城市與環(huán)境學(xué)院 100871）

勾股容方源于《九章算術(shù)》第九卷《勾股》章第十五題；“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？答曰三步十七分步之九.術(shù)曰：并勾股為法，勾股相乘為實(shí)，實(shí)如法而一，得方一步.”

圖1

如圖1，直角三角形ABC中內(nèi)接正方形DGCF.直角三角形勾AC=5，股BC=12，答案：以勾5步、股12步之和為分母（并勾股為法）；以勾5步股、12步之積為分子（勾股相乘為實(shí)）得勾中容方邊長(zhǎng).勾股容方意思就是由三角形勾、股長(zhǎng)度可以求出如圖內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).

勾股容方的一般表示方法

例1在圖1中，若AC=c，BC=d，設(shè)正方形DGCF的邊長(zhǎng)是x，則.

解法1拼圖法

將題目中的圖形等積變形如圖2，

圖2

原來三角形的面積等于重新組合后梯形的面積，

解法2相似三角形

注邊長(zhǎng)求出來，面積也可求，其余各三角形邊長(zhǎng)、面積也迎刃而解.

勾股容方變式一（已知兩個(gè)小直角三角形兩條直角邊（勾、股分別減去正方形邊長(zhǎng)所得的線段）的長(zhǎng)，也能求出正方形的邊長(zhǎng).）

例2在圖3中，若AG=e，BF=f，求正方形的邊長(zhǎng).

圖3

解法1拼圖法

用兩個(gè)相同的直角三角形能拼成矩形，如圖4，

通過觀察可知S正方形DGCF=S矩形EDHI=ef，

所以正方形DGCF的邊長(zhǎng)是.

圖4

解法2相似三角形

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是x，

勾股容方變式二（已知兩個(gè)小直角三角形斜邊的長(zhǎng)，也能求出正方形的邊長(zhǎng).）

例3如圖1，直角三角形ABC是由兩個(gè)小三角形和一個(gè)正方形拼成的.已知AD=b，DB=a，求正方形DGCF的邊長(zhǎng).

設(shè)正方形DGCF邊長(zhǎng)為x，那么根據(jù)三角形相似，圖中各邊都能用a、b及x的代數(shù)式表示出來，即，，根據(jù)勾股定理有AC2+BC2=AB2，代入得（a+b）2解得

思考：勾股容方中，正方形是面積最大的正方形嗎？

例4在圖1中，所示正方形與邊長(zhǎng)位于斜邊上的內(nèi)接正方形相比，誰的面積更大？請(qǐng)說明理由？

圖5

解析如圖5，兩個(gè)全等的直角三角形能拼成一個(gè)矩形，在直角三角形ABK中，正方形的一邊落在AB上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在AK和BK上，設(shè)AD=b，DB=a，GD=x，EH=y，

由例3中的證明過程可知

即證

（m+n）2＞4m n即m2+n2＞2mn顯然成立.得證.

注對(duì)于直角三角形內(nèi)接最大正方形問題，教輔書上提供了一些方法，這種方法是一種新方法，在證明的過程中恰好利用例3中的結(jié)論，另外m2+n2＞2mn這一不等式對(duì)成績(jī)好的學(xué)生可以向他們介紹，雖然在高中還要深入地學(xué)習(xí)，這樣能擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，提高學(xué)習(xí)興趣.

證明了直角三角形內(nèi)接最大正方形的問題之后，可應(yīng)用到實(shí)際生活中.舉例如下.

例5一顧客拿一個(gè)形狀為直角三角形的布料去裁縫店，要求裁縫裁剪成面積最大的正方形布料，裁縫量得兩直角邊分別為40cm、60cm，一口說出這個(gè)方形的邊長(zhǎng)為24cm，顧客目瞪口呆，你知道是怎么計(jì)算出來的嗎？

解析由例4的思路可以證明圖1中的正方形是面積最大的正方形，再利用例1的結(jié)論，可得出邊長(zhǎng)為.

例6如圖6，有一塊菱形的地磚，要求切割成面積最大的正方形，工人師傅量了兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為40cm、60cm，一口說出這個(gè)方形的邊長(zhǎng)為24cm，你知道其中的緣由嗎？

圖6

解析四個(gè)全等的直角三角形可拼成一個(gè)菱形，與例5類似，可以證明圖6中的正方形面積是最大的，菱形可分成四個(gè)全等的直角三角形，每個(gè)三角形中都有面積最大的正方形，邊長(zhǎng)為，所以拼成的大正方形的邊長(zhǎng)為12×2=24cm.

注 本題由直角三角形內(nèi)接正方形問題過渡到菱形內(nèi)接正方形問題，又巧妙借用了菱形對(duì)角線相互垂直的特點(diǎn)，解決了實(shí)際問題，本質(zhì)沒有區(qū)別，陶行知先生提出的生活即教育，顯示了生活中處處用到數(shù)學(xué).例5和例6則是孫維剛老師提出的多題歸一，即尋求規(guī)律.

勾股容方變式三（已知兩個(gè)小直角三角形斜邊的長(zhǎng)，求這兩個(gè)小直角三角形面積的和.）

例7如圖7，直角三角形ABC是由甲、乙兩個(gè)小三角形和一個(gè)正方形拼成的.已知AD=b，DB=a，求S甲+S乙.（改編自2013年徐州市小學(xué)畢業(yè)考試題）

圖7

圖8

解法1三角形全等

如圖8，過點(diǎn)D作DE⊥AB，交BC于點(diǎn)E，因?yàn)椤?+∠GDE=90°，∠GDE+∠EDF=90°，所以∠1=∠EDF.又因?yàn)镚D=FD，∠AGD=∠EFD，所以△AGD≌△EFD，可得DE=AD=b，所以.

注關(guān)鍵是輔助線的作法，有一些同學(xué)想不起來，對(duì)于證明三角形全等的過程學(xué)生比較熟練，此法是常規(guī)解法.

解法2三角函數(shù)

注這里由正切三角函數(shù)值直接求出正弦和余弦值，從而求解，思路簡(jiǎn)單清晰.

解法3相似三角形面積比等于相似比的平方

注此法也是由正切三角函數(shù)值直接求出正弦和余弦值，故過程省略.

解法4合比性質(zhì)

注這里主要用了比例的合比性質(zhì)來求解，要先求出正方形的邊長(zhǎng)x的值，再帶入求解.

解法5大三角形的面積減去正方形的面積

注此方法用大三角形的面積減去正方形的面積，其中依然要用到正方形的邊長(zhǎng)x的值.

解法6二倍角公式

注此法先由兩三角形相似，得到∠FDB=∠A，再根據(jù)二倍角公式即可求出結(jié)果，通俗易懂，簡(jiǎn)單明了.

解法7向量法

注此向量法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)潔美，優(yōu)點(diǎn)在于兩條線段平行時(shí)，線段之積即可轉(zhuǎn)化為向量之積，然后再由兩垂直向量之積為0及向量的運(yùn)算即可化簡(jiǎn)成兩平行向量之積，最后轉(zhuǎn)化為線段之積，順利求解.但是此方法有一定的技巧性，思維邏輯型強(qiáng).

解法8無字證明

圖9

如圖9中，上邊4個(gè)小直角三角形圍成的正方形與四個(gè)大直角三角形圍成的正方形面積之和等于下邊大正方形的面積.都減去邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形的面積，可得

注勾股容方中，求兩個(gè)小三角形面積的和，曾出現(xiàn)在小學(xué)畢業(yè)考試與中考試題中，因此，有必要進(jìn)行研究，況且在此過程也與正方形的面積相關(guān).

方法總結(jié)：本題的方法比較多，歸納如下：

直觀易懂 思維不嚴(yán)密初中 三角形全等、相似、勾股定理、合比、__________面積比三角函數(shù)、無字證明學(xué)段 方法 優(yōu)點(diǎn) 缺點(diǎn)小學(xué) 旋轉(zhuǎn)拼接法 簡(jiǎn)潔明了，不突出________________高中 倍角公式、萬能公式、向量 知識(shí)應(yīng)用全面、易想易上手，幾何論證嚴(yán)謹(jǐn)，代數(shù)說明全面___________________________________運(yùn)算略顯繁瑣，簡(jiǎn)潔美巧妙 不易想到

擴(kuò)展

1.如圖1，已知正方形GCFD的邊長(zhǎng)為a，若點(diǎn)A在CG延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，直線AD交CF延長(zhǎng)線于B，是否存在S△ABC的最值，是最大值還是最小值？

解析設(shè)AG=x，因?yàn)椋?/p>

所以存在S△ABC的最小值，此時(shí)△ABC為腰長(zhǎng)為2a的等腰直角三角形，如圖10所示.

圖10

注本題和前面的題型相反，此類經(jīng)常出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)試卷中，已知正方形來探究外接直角三角形的最值問題，同時(shí)也是動(dòng)點(diǎn)問題，先利用相似，再利用不等式的基本性質(zhì)即可解決，展示了逆向思維及由一般到特殊的思想方法.

2.（2011年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）如圖1，已知在直角三角形ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)等于35，正方形DGCF內(nèi)接于三角形ABC，且其邊長(zhǎng)為12，求三角形ABC的周長(zhǎng).

解法1

設(shè)BC=a，AC=b，可得，

即ab=12（a+b）.

又由a2+b2=352，

可得（a+b）2-24（a+b）=352，

所以（a+b-49）（a+b+25）=0，

解得a+b=49，a+b=-25（舍去），

所以三角形ABC的周長(zhǎng)是49+35=84.

解法2

所以三角形ABC的周長(zhǎng)是25+12+12+35=84.

注 本題是利用整體的思想，分別根據(jù)設(shè)的不同，求出相應(yīng)兩條線段的和，進(jìn)而求出三角形的周長(zhǎng).

勾股容方給我們的思考

1.題目的美感.題目由三個(gè)相似的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成，恰好正方形的邊長(zhǎng)又把這三個(gè)直角三角形緊密連接一起，圖形中各線段彼此相關(guān)，牽一而動(dòng)十，而圖形的特殊情形則是三個(gè)全等的等腰直角三角形和一個(gè)正方形，給人一種直觀的、讓人愛不釋手的美感.

2.可對(duì)勾股容方進(jìn)行變式，（1）條件不變，已知勾股，還可以求兩個(gè)小三角形的邊長(zhǎng)及面積等.（2）條件改變，也可以求出正方形的邊長(zhǎng).（3）條件改變，還可以探究許多結(jié)論，如求出兩個(gè)小三角形的面積.

3.綜合來看，勾股容方問題及拓展，可直接求、間接求、轉(zhuǎn)化求，可培養(yǎng)中小學(xué)生的核心素養(yǎng)，東北師范大學(xué)史寧中教授指出的“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.”在此得到了體現(xiàn)，要加強(qiáng)知識(shí)的縱橫聯(lián)系（縱向，從大方面來說就是從中小學(xué)各學(xué)段來尋求解決問題的策略，橫向，即選用代數(shù)、幾何等不同的方法），提高學(xué)生的解題能力.曾培養(yǎng)出普通中學(xué)一個(gè)班55%的學(xué)生考進(jìn)清華、北大的特級(jí)教師孫維剛指出，數(shù)學(xué)要力求達(dá)到一題多解，從不同的角度用不同的方法去解決問題，進(jìn)而多解歸一，尋求不同解法之間的共性.

4.日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏說過：在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后，很快就忘掉了.然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益.我們數(shù)學(xué)老師要做的就是通過數(shù)學(xué)史培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)熱情、熱愛數(shù)學(xué)的興趣及解決數(shù)學(xué)問題的能力，并且這種能力在以后也能去解決學(xué)生在成長(zhǎng)道路上遇到的各種問題.