教材中不能忽略數(shù)列性質(zhì)的介紹

[摘 要] 從2009年秋季學(xué)期起，國(guó)家規(guī)劃新教材陸續(xù)提供給全國(guó)中等職業(yè)學(xué)校選用，而在數(shù)列一章中缺少數(shù)列性質(zhì)的介紹，高考題或練習(xí)題中都較多地運(yùn)用了數(shù)列的性質(zhì)，建議今后的教材中增加數(shù)列性質(zhì)的介紹。

[關(guān) 鍵 詞] 中職數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)列的性質(zhì)；教材

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）11-0142-01

為了貫徹落實(shí)《教育部關(guān)于進(jìn)一步深化中等職業(yè)教育教學(xué)改革的若干意見》（教職成〔2008〕8號(hào)）關(guān)于“加強(qiáng)中等職業(yè)教育教材建設(shè)，保證教學(xué)資源基本質(zhì)量”的要求，確保新一輪中等職業(yè)教育教學(xué)改革順利進(jìn)行，全面提高教育教學(xué)質(zhì)量，保證高質(zhì)量教材進(jìn)課堂，教育部對(duì)中等職業(yè)學(xué)校德育課、文化基礎(chǔ)課等必要課程和部分大類專業(yè)基礎(chǔ)課教材進(jìn)行了統(tǒng)一規(guī)劃并組織編寫，從2009年秋季學(xué)期起，國(guó)家規(guī)劃新教材將陸續(xù)提供給全國(guó)中等職業(yè)學(xué)校選用。

湖北省對(duì)中等職業(yè)教育教學(xué)也進(jìn)行了改革，將2012年秋季入學(xué)的學(xué)生于2015年參加全省中職統(tǒng)一“技能高考”?！凹寄芨呖肌逼赜诩寄?，擬造就一批大國(guó)工匠。技能高考總分700分，其中專業(yè)課490分，語文和數(shù)學(xué)各90分，英語30分。因此，全省中職學(xué)校采用了中等職業(yè)教育課程改革國(guó)家規(guī)劃新教材，其中數(shù)學(xué)是由李廣全、李尚志主編的基礎(chǔ)模塊。于2009年6月第一版發(fā)行，在第一版教材中沒有介紹等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)。然而，在以前的所有教材中對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)都有介紹。讓人納悶的是教材2013年9月第二版發(fā)行，在第二版中也沒有介紹等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)。難道等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)不重要了？難道等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)不考了？讓我們來看看2016年湖北省普通高等學(xué)校招收中職畢業(yè)生技能高考文化綜合考試大綱第二部分《數(shù)學(xué)》中對(duì)數(shù)列的考試內(nèi)容與考核要求，原文如下：

數(shù)列

（1）理解數(shù)列、項(xiàng)、首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、通項(xiàng)或一般項(xiàng)、通項(xiàng)公式的概念。

（2）了解數(shù)列通項(xiàng)公式的確定。

（3）理解等差數(shù)列、公差、等比數(shù)列、公比的概念。

（4）了解公差、公比、通項(xiàng)或一般項(xiàng)、前n項(xiàng)和公式的字母表示。

（5）掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)公式、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用。

（6）了解等差數(shù)列和等比數(shù)列的簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用。

從大綱中可以看出對(duì)數(shù)列的性質(zhì)沒有做出明確要求，只是掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)公式的運(yùn)用。

再看看《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中對(duì)數(shù)列的要求：

（1）了解數(shù)列的慨念。

（2）理解等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式。

（3）理解等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式。

（4）了解數(shù)列實(shí)際應(yīng)用舉例。

從考綱中可以看出對(duì)數(shù)列的性質(zhì)也沒有做出明確要求。

下面再看看教材上中的情況。

在介紹等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，老師首先講了一個(gè)趣味數(shù)學(xué)，題目：把1到100的整數(shù)寫出來，然后把它們加起來。對(duì)于一些十歲左右的孩子來說，這個(gè)題目是比較困難的，好多學(xué)生忙碌得額頭都流出了汗水。小高斯很快得到了正確的答案。他是怎么快速計(jì)算出來的呢？其實(shí)他就是發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)：

在等差數(shù)列an中，若m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，am+an=ap+aq

他觀察數(shù)1，2，3，…，98，99，100，發(fā)現(xiàn)1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，依照這個(gè)規(guī)律，1到100的整數(shù)的和就是101×50=5050。

教材上推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和也就是利用了等差數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)。將等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和記作Sn，即

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an （1）

也可以寫作

Sn=an+an-1…+a3+a2+a1 （2）

由于a2+an-1=a1+d+an-1=a1+an

a3+an-2=a1+2d+an-2=a1+an

…

a1+an=a1+an

由（1）+（2）得2Sn=n（a1+an），即Sn=■。

在a2+an-1=a1+d+an-1=a1+an的推導(dǎo)過程中用的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，若用等差數(shù)列的性質(zhì)m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，則am+an=ap+aq讓職校這類層次的學(xué)生更容易理解。

（2016年湖北技能高考第27題）在等差數(shù)列an中，若a3+a5+a7=21，則a1+a9= .

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的等差中項(xiàng)公式得a3+a7=2a5，由已知得a3+a5+a7=21，3a5=21，即a5=7，故a1+a9=2a5=14。

這道題明顯考查了等差數(shù)列的等差中項(xiàng)公式的性質(zhì)。

（數(shù)學(xué)學(xué)案上練習(xí)題）等比數(shù)列an滿足a1+a6=11，a3-a4=■，且公比q∈（0，1），若數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=21，求n的值。

【解析】在等比數(shù)列an中滿足a3-a4=a1-a6，由a1+a6=11a1a6=■

解得a1=■a6=■或a1=■a6=■。當(dāng)a1=■a6=■時(shí)，由■=■q5解得q=■∈（0，1）滿足題意。

由■=21，解得n=6。這道題明顯考查了等差數(shù)列的這個(gè)性質(zhì)：m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

綜上所述，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)該在教材中介紹。

1.等差數(shù)列的性質(zhì)

（1）等差中項(xiàng)

如果在數(shù)a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)，記作A=■.

（2）公差d>0時(shí)，an是遞增數(shù)列；d<0時(shí)，an是遞減數(shù)列；d=0時(shí)，an是常數(shù)列。

（3）an=am+（n-m）d （n-m∈N+）；

（4）在等差數(shù)列an中，若m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

2.等比數(shù)列的性質(zhì)

（1）等比中項(xiàng)

如果在數(shù)a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等差數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，記作G=n±■。

（2）an=amqn-m（n-m∈N+）

（3）若m，n，p，q∈N+且m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

數(shù)列的性質(zhì)很多，可以根據(jù)具體情況靈活處理。