不同年級“關(guān)聯(lián)”試題的命題實踐與思考

☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 趙 建

不同年級“關(guān)聯(lián)”試題的命題實踐與思考

☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 趙 建

在各級考試中，對于重要位置的把關(guān)題、關(guān)鍵題來說，是隨意復(fù)制粘貼各地所謂的考題到一次測試卷中還是精心挑戰(zhàn)經(jīng)典問題背景是值得每一個命題老師認(rèn)真面對和深入思考的.在最近一次期中命題過程中，筆者參與了初二、初三的命題工作，在這次命題中，我們在兩份試卷中分別設(shè)計了兩道“關(guān)聯(lián)”的數(shù)學(xué)把關(guān)題，考試之后得到兩個年級師生的好評和熱議，本文先給出這兩道考題及命題意圖，并跟進(jìn)命題思考和教學(xué)導(dǎo)向，提供研討.

一、兩道“關(guān)聯(lián)”的把關(guān)題

考題1（初二上學(xué)期期中考題）如圖1，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC＞BC，射線CM平分∠ACB.

圖1

（1）設(shè)CM交AB于點D，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F，連接EF.求證：CD與EF互相垂直平分.

（2）若射線CM上有一點N到△ABC的頂點A，B的距離相等，連接NA，NB.

①請指出△NAB的形狀，并說明理由；

②當(dāng)AC=6，BC=4時，求四邊形ANBC的面積.

命題意圖：這道題源自人教版教材八年級上冊習(xí)題.［1］只是強(qiáng)化了∠ACB是直角，重點考查角平分線的性質(zhì)與判定定理、垂直平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，對初二上學(xué)期的全等三角形、軸對稱一章的知識重點考查、聯(lián)合考查.解決第（2）題要注意第（1）問兩條垂線段的啟示作用，這樣可以快速打開思路.

考題2（初三上學(xué)期期中考題）如圖2，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分線CD分別交⊙O于D，交AB于M，連接AD、BD.

（1）請你過點D分別向AC、BC作垂線，垂足分別為點E、F，求證：四邊形CEDF為正方形；

圖2

（2）設(shè)DA=m，DC=n，試用含m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長；

命題意圖：這道題是在上面初二考題的基礎(chǔ)上變換設(shè)問角度，融入了初三新學(xué)的圓、相似等知識點，使得探究方向進(jìn)一步拓展.第（1）問證明四邊形CEDF是正方形是常規(guī)問題；第（2）問進(jìn)一步利用四邊形CEDF是正方形，先證△ADE≌△BDF，得出AE=BF，從而代換得AC+ BC=2CE；再證△CDE為等腰直角三角形，所以CE=n，所以AC+BC=又AB是⊙O的直徑，得∠ADB=90°.又CD平分∠ACB，所以AD=BD，所以AB=，即△ABC的周長=n.

第（3）問可以過點M向AC，BC引垂線段MG，MH，然后利用相似比和，相加得=1，而，即的值不變，這個不變值為

簡要反思：第（1）問的正方形啟示著第（2）問的AC+ BC=n.從而問題獲得進(jìn)展.第（3）問除上面利用比例式轉(zhuǎn)化之外，還可借助于面積法處理.

二、“關(guān)聯(lián)”試題的進(jìn)一步思考

初中階段很多試題的背景都是十分相像，但在不同年級不同章節(jié)中對其研究和解釋的角度不一，就像需要靈活選用工具處理一樣，本文提供的兩道“關(guān)聯(lián)”試題也是試圖闡釋這樣的道理.以下就圍繞“關(guān)聯(lián)”試題的命題給出進(jìn)一步的思考.

1.關(guān)聯(lián)試題的命制要重視教材開發(fā)

認(rèn)真研習(xí)初中版教材的同行應(yīng)該知道，教材上的例題、習(xí)題不僅都是經(jīng)典問題，而且相互呼應(yīng)，若不加以對比研習(xí)，常常容易忽略不同分冊教材之間的習(xí)題上的對應(yīng)與關(guān)聯(lián).比如上文兩道考題之間的關(guān)系，在初二、初三教材中都能找到原型.再如，初一圖形初步知識學(xué)習(xí)之后，教材上曾安排學(xué)生度量三角形的內(nèi)角和，再度量四邊形的內(nèi)角和，意圖讓學(xué)生通過度量這樣的一種實驗的方式直覺感知多邊形內(nèi)角和，為初一下學(xué)期學(xué)習(xí)和證明三角形內(nèi)角和形成鋪墊；該題還要求學(xué)生進(jìn)一步取四邊形的各邊中點，并度量中點四邊形的各邊的長、各個內(nèi)角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)中點四邊形的對邊相等、對角相等，這些實驗操作其實都對應(yīng)著初二年級要學(xué)習(xí)的平行四邊形、中位線性質(zhì).如果我們不了解教材上的這些拓展習(xí)題的設(shè)計意圖，不引導(dǎo)學(xué)生重視這些試題的開發(fā)與利用，則可能丟失了很多重要價值.

2.關(guān)聯(lián)試題的問題背景要簡潔好懂

關(guān)聯(lián)試題的問題背景需要簡潔好懂，這樣可以減少學(xué)生“進(jìn)入”該題的障礙，但是需要經(jīng)過確認(rèn)和識別才能進(jìn)一步理解問題求解的方向與目標(biāo)，并靈活調(diào)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識實現(xiàn)求解.這里我們也可提及一些關(guān)聯(lián)試題的問題情境，比如代數(shù)領(lǐng)域，以二次三項式為研究對象在初一可以引導(dǎo)學(xué)生辨別二次項式的次數(shù)、系數(shù)、項數(shù)；而在初二則可安排學(xué)生先運(yùn)用整式乘法得到二次三項式，再逆向因式分解一個二次三項式，還可以基于完全平方式的角度對二次三項式的非負(fù)性、最值進(jìn)行初步探究；到初三時，針對二次三項式可以從一元二次方程、二次函數(shù)的角度設(shè)計試題考查.這樣來看，以二次三項式為背景的試題就是一個很有“數(shù)學(xué)味”的關(guān)聯(lián)試題.

3.關(guān)聯(lián)試題的求解力爭能殊途同歸

所選關(guān)聯(lián)試題作為把關(guān)題的重要教學(xué)引領(lǐng)還在于，鼓勵和引導(dǎo)師生在平時教學(xué)中重視那些解法可以殊途同歸的試題，比如可以在不同年級選用不同方法的試題就值得充分關(guān)注.比如，幾何領(lǐng)域，初二教材上曾要求學(xué)生解決過下面這道經(jīng)典幾何題：

教材習(xí)題如圖3，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN=90°，求證：AM=MN.

圖3

圖4

初二的證明思路是這樣的：在邊AB上截取AE=MC，連接ME.在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC.所以∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.進(jìn)一步證出△AEM≌△MCN，故AM= MN.

該題還可變式成等邊三角形、正多邊形的問題，比如下面的變式：

變式題1：正三角形ABC中（如圖4），N是∠ACP的平分線上一點，則當(dāng)∠AMN=60°時，結(jié)論AM=MN是否還成立？請說明理由.

變式題2：正n邊形ABCD…X，請你作出猜想：當(dāng)∠AMN的度數(shù)是多少時，結(jié)論AM=MN仍然成立.

講解：變式1，2的結(jié)論仍然成立.初二證明時還可繼續(xù)采用截取的方式利用全等實現(xiàn)問題的解決.到了初三圓的學(xué)習(xí)之后，我們還可從結(jié)論出發(fā)，如圖5，若連接AF，則Rt△AEF應(yīng)該是等腰直角三角形，如果作出Rt△AEF的外接圓，有何發(fā)現(xiàn)呢？點C也在這個圓上嗎？一個接近問題深層結(jié)構(gòu)的“輔助圓”證法來到眼前！

圖5

圖6

圖7

重要的是，基于外接圓的思路，正三角形問題、正n邊形問題也有類似的結(jié)構(gòu)（如圖6，圖7）.

三、寫在最后

有人說命題基本功是教師專業(yè)精進(jìn)的突破口，筆者深有共鳴.一次考試常常影響著測試范圍內(nèi)的“全樣本”的師生，不但作為一種教學(xué)反饋，更是一次教學(xué)診斷、評估和引領(lǐng)，我們提出在把關(guān)題處設(shè)置“關(guān)聯(lián)”試題的想法還是初步的，也是個性化的一些認(rèn)識，期待更多命題愛好者的題例跟進(jìn).

1.課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心，編著.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·八年級上冊［M］.北京：人民教育出版社，2013.

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