觀摩“部?jī)?yōu)”課例，體會(huì)難點(diǎn)突破
——勾股定理逆定理“部?jī)?yōu)”課例評(píng)析

☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 徐 芹

觀摩“部?jī)?yōu)”課例，體會(huì)難點(diǎn)突破
——勾股定理逆定理“部?jī)?yōu)”課例評(píng)析

☉江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 徐 芹

教育部啟動(dòng)“一師一優(yōu)課、一課一名師”活動(dòng)以來(lái)，由于省、市、縣各級(jí)教育行政部門(mén)的推進(jìn)，很多老師加入曬課行列，從曬課平臺(tái)上展示的“海量”課例來(lái)看，其中不乏優(yōu)秀課例.本文關(guān)注一節(jié)勾股定理逆定理“部?jī)?yōu)”課例（見(jiàn)國(guó)家曬課平臺(tái)，網(wǎng)址見(jiàn)文1），嘗試評(píng)析該課的一些特點(diǎn)，供研討.

一、“勾股定理逆定理”部?jī)?yōu)課例教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）游戲引入

創(chuàng)設(shè)情境：給每組（兩名）同學(xué)發(fā)30根木棒，請(qǐng)大家擺出直角三角形.

學(xué)生活動(dòng)：借助三角板的直角，先拼出長(zhǎng)分別為3和4的直角邊，再拼上斜邊5.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)拼圖游戲，開(kāi)課階段調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與熱情.并預(yù)設(shè)如下的PPT，截圖如下（如圖1～4）.

圖1

圖2

圖3

圖4

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）提出問(wèn)題

問(wèn)題：圖2、圖3中拼的圖形都是直角三角形嗎？

預(yù)設(shè)：以3和4為直角邊的三角形，用勾股定理計(jì)算第三邊長(zhǎng)就是5.因此是直角三角形.用圖3中的拼法拼得的三角形也是直角三角形嗎？它和用圖2中的拼法拼得的三角形是全等的嗎？

追問(wèn)：同學(xué)們認(rèn)為三角形的三邊滿(mǎn)足什么樣的關(guān)系就可以判定它們圍成的三角形是直角三角形？

預(yù)設(shè)：安排學(xué)生證明勾股定理的逆定理，注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后寫(xiě)已知和求證.

學(xué)生活動(dòng)：用SSS證明兩個(gè)三角形全等后明確逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

過(guò)渡：上述證明只是特例情形，如何推廣到一般情形呢？

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）形成新知

學(xué)生活動(dòng)：利用已知條件作一個(gè)直角三角形，再證明其和原三角形全等，使問(wèn)題得以解決.先作直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計(jì)算斜邊A1B1=c，則通過(guò)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等可證.

設(shè)計(jì)意圖：如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形？現(xiàn)在只知道有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何判斷一個(gè)角是直角.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）定理應(yīng)用

例1由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形？

a=3、b=4、c=6，a=1、c=3、b=3，a=9、b=12、c=15，a=12、b=16、c=20，a=30、b=40、c=50，a=300、b=400、c=500.

跟進(jìn)猜想：在△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，請(qǐng)你判斷以ka、kb、kc為三邊的三角形是否是直角三角形.

設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)逆定理的條件實(shí)際上是三角形中較短的兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方，鞏固勾股定理逆定理及其應(yīng)用

教學(xué)環(huán)節(jié)（五）實(shí)際應(yīng)用

練習(xí)1：若小蟲(chóng)從A點(diǎn)出發(fā)，向正東爬行一段距離到達(dá)B點(diǎn)，然后向左拐前行至C點(diǎn)，如果你只有一把刻度尺，你能驗(yàn)證小蟲(chóng)現(xiàn)在前進(jìn)的方向是正北方向嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

追問(wèn)：此時(shí)，如果你的刻度尺不夠量出AC的距離，你能想出什么解決辦法嗎？

練習(xí)2：如圖（圖略），你能在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)記的各點(diǎn)中選擇兩個(gè)點(diǎn)與C點(diǎn)連接而成一個(gè)直角三角形嗎（不許用所有小正方形的直角）？你能找到幾個(gè)滿(mǎn)足要求的三角形？你是怎么找到的？它們之間是什么關(guān)系？

教學(xué)環(huán)節(jié)（六）小結(jié)作業(yè)（略）

二、課例評(píng)析

1.理解學(xué)情的前提下精準(zhǔn)理解教學(xué)內(nèi)容

在上這節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了勾股定理，可以直接應(yīng)用勾股定理解決和證明問(wèn)題，也具備一定的探究性學(xué)習(xí)和總結(jié)問(wèn)題的能力.但對(duì)問(wèn)題的總結(jié)及概括的準(zhǔn)確度、完整度上還需要進(jìn)一步訓(xùn)練.故設(shè)計(jì)經(jīng)歷勾股定理逆定理的探究及證明過(guò)程，并理解通過(guò)構(gòu)造一個(gè)直角三角形，證明此三角形和原三角形全等，從而掌握證明三角形為直角三角形的方法.并且會(huì)應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否為一個(gè)直角三角形.這里的難點(diǎn)是勾股定理的逆定理的證明，特別是證明過(guò)程中從特殊走向一般的數(shù)學(xué)思想方法.以下再?lài)@難點(diǎn)突破展開(kāi)詳細(xì)評(píng)析.

2.勾股定理逆定理教學(xué)難點(diǎn)是如何突破的

從該課的開(kāi)課引入開(kāi)始，雖然是一個(gè)游戲情境，然而極具數(shù)學(xué)味，并沒(méi)有讓游戲味沖淡數(shù)學(xué)味，因?yàn)楹?jiǎn)短操作拼圖之后，就是學(xué)生思考兩種拼圖為什么都能得到直角三角形，這是非常有挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.教師正是用這樣匠心獨(dú)運(yùn)的活動(dòng)設(shè)計(jì)，把勾股定理逆定理的證明精巧地包裝、展示出來(lái)，接著安排學(xué)生證明特例情況下的勾股定理逆定理問(wèn)題（如圖5、6），由于學(xué)生在拼圖過(guò)程中已有兩種圖形的經(jīng)驗(yàn)，所以構(gòu)造圖6這樣的輔助圖形就容易想到，難點(diǎn)也就這樣被突破了，教師的引導(dǎo)被巧妙地隱藏起來(lái).有學(xué)者說(shuō)教師要學(xué)會(huì)“匿身”，大概也是這個(gè)意思.接下來(lái)的另一個(gè)難點(diǎn)是，思考一般意義下的勾股定理逆定理的證明，其實(shí)就是將上述證明過(guò)程“一般化”，證明思路仍然是一致的.

圖5

圖6

3.注重從生活現(xiàn)實(shí)中恰當(dāng)分離、抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)要注意兼顧生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí).從本課引入及課中素材的選擇來(lái)看，教師注意選擇了生活現(xiàn)實(shí)，且源于學(xué)生動(dòng)手操作得到的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖穯?wèn)使得生活問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”，抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而引入新知探究.這里既保證了學(xué)生動(dòng)手操作的全員參與，又啟發(fā)學(xué)生思維的參與，讓更多學(xué)生的思維被“卷入”數(shù)學(xué)活動(dòng)中.

4.曬課過(guò)程中的一些欄目規(guī)范值得關(guān)注

作為教育行政部門(mén)主導(dǎo)的大型曬課活動(dòng)，分類(lèi)查閱市優(yōu)、省優(yōu)、部?jī)?yōu)課例可以發(fā)現(xiàn)，這些獲獎(jiǎng)?wù)n例曬課的各個(gè)欄目都非常規(guī)范，比如教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析，教學(xué)流程詳實(shí)，設(shè)計(jì)意圖解釋清楚，配套的課件清新簡(jiǎn)約，隨堂練習(xí)題設(shè)計(jì)恰當(dāng)，上傳的視頻錄制得也符合技巧規(guī)范.我們也注意到有些課例由于錄制視頻時(shí)晃動(dòng)、音頻也有噪聲，使得觀看效果不好；還有些課例視頻錄制得不錯(cuò)，但是配套展示的課件不太規(guī)范、各個(gè)欄目下的文本解讀也不全，影響了評(píng)級(jí)的等次.

三、教學(xué)難點(diǎn)突破的進(jìn)一步思考

我們知道，教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn)有時(shí)并不是一回事，難點(diǎn)常常是高層次學(xué)生能夠接受和挑戰(zhàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，而難點(diǎn)如何突破又影響著這部分學(xué)生更順暢地理解教學(xué)難點(diǎn).像本文課例中這節(jié)“部?jī)?yōu)”課例，對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的認(rèn)識(shí)是準(zhǔn)確的，教學(xué)難點(diǎn)的突破是藝術(shù)的，潤(rùn)物無(wú)聲值得學(xué)習(xí).以下再?lài)@教學(xué)難點(diǎn)的突破給出兩點(diǎn)思考.

1.對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的認(rèn)識(shí)要認(rèn)真讀教師用書(shū)

教師用書(shū)是教材編寫(xiě)組對(duì)教材的進(jìn)一步解讀，寫(xiě)給教師看的，往往對(duì)教學(xué)重點(diǎn)的揭示、教學(xué)難點(diǎn)的辨別都寫(xiě)在教師用書(shū)的邊欄、底欄，如果教師在備課時(shí)不注意閱讀教師用書(shū)，而根據(jù)主觀判斷，則有時(shí)容易混淆教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn).

2.教學(xué)難點(diǎn)的確定還要兼顧學(xué)情實(shí)際

教學(xué)難點(diǎn)除了兼顧教師用書(shū)上教材編寫(xiě)者的提示，還需要基于我們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)所教學(xué)生的學(xué)情進(jìn)行取舍.如果整體學(xué)情薄弱，則有可能教學(xué)難點(diǎn)需要適當(dāng)放棄或進(jìn)一步鋪墊才能順利攻克教學(xué)難點(diǎn).比如，七年級(jí)有理數(shù)乘法的“負(fù)負(fù)得正”這一教學(xué)難點(diǎn)的突破，甚至教材也采取了模糊的處理，而不再糾結(jié)于如何說(shuō)清“負(fù)負(fù)得正”的證明，因?yàn)椴还芪覀內(nèi)绾闻?，試圖明辨其中道理，效果往往適得其反，這時(shí)還不如以一組算式的運(yùn)算，歸納猜想出“負(fù)負(fù)得正”的法則.

1.http：//1s1k.eduyun.cn/portal/1s1k/sportal/index.jsp？sdResIdCaseId=ff8080814cf994a3014d03b9944a6c5b&t= show.

2.劉東升.基于HPM視角重構(gòu)“勾股定理”起始課教學(xué)［J］.教育研究與評(píng)論（課堂觀察版），2016（1）.

3.蔡宗熹.千古第一定理——勾股定理［M］.北京：高等教育出版社，2013.Z