基于教材旁白的功能與價(jià)值構(gòu)建數(shù)學(xué)“慢”課堂*
——以“三角形的高線、中線與角平分線”的教學(xué)實(shí)錄為例

☉重慶市復(fù)旦中學(xué) 丁慶彬

☉重慶市二十九中學(xué) 鄭 莎

基于教材旁白的功能與價(jià)值構(gòu)建數(shù)學(xué)“慢”課堂*
——以“三角形的高線、中線與角平分線”的教學(xué)實(shí)錄為例

☉重慶市復(fù)旦中學(xué) 丁慶彬

☉重慶市二十九中學(xué) 鄭 莎

一、問題背景

慢教育就是提倡日常生活式教育，是潤(rùn)物細(xì)無聲的教育.慢教育是慢活、細(xì)活，是生命潛移默化的過程.數(shù)學(xué)慢教育，就是慢教育理論在數(shù)學(xué)學(xué)科中的滲透和應(yīng)用，往往也叫“慢數(shù)學(xué)”.中學(xué)數(shù)學(xué)課堂本應(yīng)是一種從容、舒緩、優(yōu)雅的課堂，整個(gè)過程充滿著等待、鋪墊和蓄勢(shì)，教學(xué)設(shè)計(jì)由單向灌輸走向雙向回流.教師適度的等待和學(xué)生慢慢的體驗(yàn)和感悟，是教育的本真，需要的是教育者的勇氣，生成的是受教育者的智慧.然而，受應(yīng)試教育的束縛和信息技術(shù)的“快、多、省”的影響，許多數(shù)學(xué)課堂基本上都是“快馬加鞭”、“高歌猛進(jìn)”，這是違背數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)規(guī)律的，學(xué)生除了疲于接受和模仿沒有任何數(shù)學(xué)體驗(yàn)和思想感悟.筆者有幸參與一項(xiàng)市級(jí)重點(diǎn)課題，對(duì)人教版初（高）中數(shù)學(xué)教材旁白的功能和價(jià)值進(jìn)行系統(tǒng)深入研究.在將研究成果運(yùn)用到實(shí)際課堂教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)教材中的旁白對(duì)實(shí)現(xiàn)“慢數(shù)學(xué)”具有舉足輕重的作用，下面就以“三角形的高線、中線與角平分線”的教學(xué)實(shí)錄為例，與廣大同仁分享如何運(yùn)用教材中旁白的功能和價(jià)值構(gòu)建數(shù)學(xué)“慢”課堂.

二、案例說明

（一）研讀教材旁白，確定教學(xué)思路

本節(jié)課，教材中共有三處“云朵”旁白，均以問題的形式出現(xiàn).從內(nèi)容上看，主要是引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作或觀察探究等；從出現(xiàn)的位置來看，三處旁白依次出現(xiàn)在高線、中線和角平分線的旁邊.鑒于這兩個(gè)特征，筆者進(jìn)行了深入思考，旁白的內(nèi)容給了筆者很好的提示，一定要以“問題驅(qū)動(dòng)”設(shè)計(jì)教學(xué)，旁白的位置告訴筆者一定要給學(xué)生留出足夠的動(dòng)手體驗(yàn)空間.這樣以來，筆者就確定了本節(jié)課的教學(xué)思路，即以“問題驅(qū)動(dòng)”為主線，引導(dǎo)學(xué)生“積極體驗(yàn)”和“自主探究”.

（二）用好教材旁白，設(shè)計(jì)教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)引入

教師：（PPT展示圖1）同學(xué)們還記得如何過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線嗎？

生1：借助于三角板通過對(duì)齊平移的方式就能作出垂線.（教師同時(shí)用多媒體展示過程）

教師：好的，當(dāng)然，我們也可以用同樣的方法過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作它的對(duì)邊所在直線的垂線.

圖1

圖2

圖3

2.三角形的高線

教師：如圖2（PPT展示），如何過三角形的頂點(diǎn)A作出它的對(duì)邊BC所在直線的垂線？

生2：可以借助過直線外一點(diǎn)作已知直線垂線的方法來做.

教師：很好，借助于剛才的方法就很容易作出BC邊上的垂線AD（PPT展示圖3）.

追問1：根據(jù)以前學(xué)過的知識(shí)，同學(xué)們能說出這個(gè)三角形的高是什么嗎？

生3：三角形的高是線段AD.

追問2：很好，你能結(jié)合圖形簡(jiǎn)單概括一下高的定義嗎？

生4：頂點(diǎn)和垂足之間的線段就是三角形的高線.

師生活動(dòng)：師生一起歸納出高線的具體定義，教師板書在黑板上.

此時(shí)，教師利用PPT呈現(xiàn)出第一處旁白（如圖4）并追問.

圖4

圖5

教師：用同樣的方法，你能畫出三角形的另外兩條高線嗎？（教師請(qǐng)出一位同學(xué)到黑板上演示）

師生活動(dòng)：學(xué)生在自己的圖形中畫出另外兩條高線，教師巡視指點(diǎn).

教師：讓我們一起來看看XXX同學(xué)畫的情況（如圖5），與自己的圖形進(jìn)行對(duì)照有什么不同之處？

生5：圖形是一樣的，但我畫的圖形沒有標(biāo)明垂足和垂直符號(hào).

師：很好，黑板上這位同學(xué)畫的很完整，而且還標(biāo)明了相應(yīng)垂直符號(hào)和垂足.

設(shè)計(jì)意圖：巧妙利用旁白內(nèi)容進(jìn)行追問，鼓勵(lì)同學(xué)動(dòng)手體驗(yàn).在畫圖的細(xì)節(jié)方面，一開始并沒有直接強(qiáng)調(diào)，而是通過學(xué)生自己對(duì)比和觀察，找出所存在的問題，不僅加深了學(xué)生的印象，同時(shí)也顯得很自然順暢.

在接下來的環(huán)節(jié)中，教師進(jìn)一步引出“高線與垂線的區(qū)別是什么”及“一個(gè)三角形一共有幾條高線”等問題讓學(xué)生去觀察和思考.之后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分別畫出一個(gè)鈍角三角形和一個(gè)銳角三角形，并畫出它們所有的高線，同時(shí)請(qǐng)出兩位學(xué)生到黑板上展示.

師：我們一起來看一下這兩位同學(xué)畫的情況，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察這兩個(gè)圖形（圖6），給出自己的評(píng)價(jià).

圖6

生6：甲同學(xué)畫的圖形中沒有標(biāo)明垂直符號(hào)和垂足，乙同學(xué)畫的很好.

師：不錯(cuò)，觀察的很仔細(xì)，點(diǎn)評(píng)的也很到位，總體來說兩位同學(xué)畫的還是比較完整.我們先看鈍角三角形的三條高線，有幾條在三角形的內(nèi)部，幾條在外部？

生7：有一條通過鈍角頂點(diǎn)的高線落在三角形內(nèi)部，另外兩條落在邊的延長(zhǎng)線上.

師：回答的很好，那直角三角形呢？

生8：有一條高線在內(nèi)部，另外兩條高線與直角邊重合.

師：好的，同學(xué)們?cè)俳Y(jié)合圖形仔細(xì)觀察一下BC、AC邊上的高是分別是什么？

生9：BC邊上的高是線段AC，AC邊上的高是線段BC.

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)高線的定義，再想一想線段AD是哪個(gè)三角形的高，又是哪條邊上的呢？

生10：線段AD在△ACD中，且垂直于CD，因此它是△ACD的邊CD上的高線.

師：很準(zhǔn)確.我們?cè)谂袛喔呔€的時(shí)候，務(wù)必抓住兩點(diǎn)，一是看在哪個(gè)三角形中，二是看在哪條邊上的.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過不斷的體驗(yàn)和觀察進(jìn)一步理解高線的定義和特征，同時(shí)鼓勵(lì)他們大膽點(diǎn)評(píng)，給予合理的評(píng)價(jià)和建議，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力起著很好的作用.

3.三角形的中線

通過復(fù)習(xí)線段的中點(diǎn)引入三角形的中線，讓學(xué)生在練習(xí)本上找出△ABC的BC邊上的中點(diǎn)D，并將A、D連接起來（如圖7）.

圖7

圖8

圖9

師：讓我們借助于歸納高線定義的方法歸納出中線的定義，哪位同學(xué)愿意給大家分享一下？

生11：連接頂點(diǎn)與它對(duì)邊的中點(diǎn)所得的線段，叫做三角形的中線.

師：是的，由此可以看出中線同樣也是一條線段，同樣要注意標(biāo)出相應(yīng)的字母.（教師板書定義）

盡管有了高線的鋪墊，筆者并沒有將中線的相關(guān)概念一帶而過，仍然利用PPT呈現(xiàn)出教材中的第二處旁白（如圖8）.

師：用同樣的方法，你能畫出另外兩條邊上的中線嗎？

師生互動(dòng)：同學(xué)們自己動(dòng)手完成另外兩條高線的畫法，教師巡視指導(dǎo).

師：我來看看XXX同學(xué)畫的情況（圖9），結(jié)合中線的定義請(qǐng)思考一下圖9中有哪些線段是相等的？

眾學(xué)生：BD=CD，AG=BG，AF=CF.

師：不錯(cuò)，若把三條中線的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，再想一想線段OG是哪個(gè)三角形的高，為什么？

生12：△AOB的中線，因?yàn)镚是AB的中點(diǎn)，O是△AOB的一個(gè)頂點(diǎn)，連接頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線段就是三角形的中線.

師：很有道理，我們?cè)谂袛嘀芯€時(shí)要結(jié)合定義，找準(zhǔn)邊的中點(diǎn)和所對(duì)的頂點(diǎn).同時(shí)還要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表述中線的一些性質(zhì).（教師在黑板上做如下板書）

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)主要是師生一起探討三角線中線的畫法、定義和相關(guān)性質(zhì)，以學(xué)生自主嘗試、自主探究和自主歸納為主.

4.三角形的角平分線

教師引導(dǎo)學(xué)生先動(dòng)手畫出△ABC，并作出過頂點(diǎn)A的一條角平分線，教師用投影儀展示（圖10）.

圖10

圖11

圖12

師：通過這位同學(xué)所畫的圖形，同學(xué)們能觀察和歸納出角平分線的定義嗎？

師生活動(dòng)：同學(xué)們觀察、思考，教師請(qǐng)出一位同學(xué)并引導(dǎo)其歸納出角平分線的定義，同時(shí)將定義板書在黑板上.

師：三角形的角平分線與一個(gè)角的平分線有什么區(qū)別和聯(lián)系？

生13：相同點(diǎn)是他們都能平分角，不同的是三角形的角平分線是一條線段，而一個(gè)角的平分線是一條射線.

教師給予肯定，同時(shí)再次利用PPT展示出教材第三處旁白（圖11），引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)動(dòng)手體驗(yàn)角平分線的畫法，并觀察和探究角平分線的特征.

師：（教師投影呈現(xiàn)圖12）仔細(xì)觀察自己所畫的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生14：三條角平分線相交于三角形內(nèi)部的一點(diǎn).

師：是的，它們都交于內(nèi)部一點(diǎn)，沿著這樣的思路，請(qǐng)同學(xué)們思考和探究三角形的高線和中線的交點(diǎn)情況，請(qǐng)每個(gè)小組進(jìn)行討論，并歸納出自己的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：此處旁白明顯有別于前面兩處，對(duì)能力的要求有所增加，除要畫另外兩條角平分線外，還要觀察三條角平分線的特征.在這處旁白承上啟下的作用下，筆者很自然地帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)已畫過的高線、中線的交點(diǎn)情況進(jìn)行探討，同時(shí)再次呈現(xiàn)出剛剛畫的圖形，與學(xué)生一起觀察和歸納.

（三）總結(jié)反思，一“慢”到底

教師繼續(xù)通過提問的方式引導(dǎo)學(xué)生一起對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行梳理和總結(jié).

師：我們今天學(xué)到了什么？

眾學(xué)生：三角形的高線、中線和角平分線的畫法和定義.

師：我們需要注意什么？

生15：畫圖時(shí)要注意表明相應(yīng)的符號(hào)和字母，辨別三種類型的線段時(shí)要找準(zhǔn)三角形.

師：很好，那么三條線段各有什么特征呢，比如說它們的位置及所在直線的交點(diǎn)如何？

眾學(xué)生回答，教師用PPT呈現(xiàn)出小結(jié)內(nèi)容.

1.楊衛(wèi)東.理解教材旁白，跟進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)——以人教版九年級(jí)上冊(cè)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（10）.

2.黃益全，李波，丁慶彬.品味教材旁白，追求真實(shí)自然——對(duì)人數(shù)社A版“點(diǎn)到直線的距離”過程性教學(xué)設(shè)計(jì)的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2016（5）.

3.趙麗娜.品教材旁白，育學(xué)科素養(yǎng)——對(duì)人教版七下“實(shí)數(shù)”旁白的解讀、補(bǔ)充及教學(xué)建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（12）.

4.霍庭蕓.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理過程看數(shù)學(xué)“慢教育”［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015（7）.H

*本文是重慶市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度基礎(chǔ)教育課程改革專項(xiàng)重點(diǎn)課題“人教版初高中數(shù)學(xué)課標(biāo)教材中旁白的功能價(jià)值與教學(xué)應(yīng)用研究”（課題批準(zhǔn)號(hào)：2015-JC-041，課題負(fù)責(zé)人：黃益全，筆者系課題主研）的階段性研究成果.