從“標(biāo)準(zhǔn)”到“變式”，從封閉走向開放
——以“全等三角形”起始課教學(xué)為例

☉江蘇省南通市北城中學(xué) 顧為秀

從“標(biāo)準(zhǔn)”到“變式”，從封閉走向開放
——以“全等三角形”起始課教學(xué)為例

☉江蘇省南通市北城中學(xué) 顧為秀

最近一次學(xué)校教研活動(dòng)中，筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教“全等三角形”研究課.本文整理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并闡釋設(shè)計(jì)意圖、跟進(jìn)教學(xué)反思，供研討.

一、“全等三角形”教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）折紙活動(dòng)，引入新課

折紙操作：學(xué)生將紙對(duì)折，在一面上畫出一個(gè)三角形，并用剪刀剪下這個(gè)三角形（兩張紙一起剪），同時(shí)得到兩個(gè)三角形.觀察：這兩個(gè)三角形的形狀、大小有何關(guān)系？

問題1：觀察下列圖案，指出這些圖案中形狀與大小相同的圖形.

圖1

問題2：從上面的片段中你有什么感受？還能舉出生活中一些這樣的例子嗎？收集學(xué)生討論中的圖片，接著追問：上面這些圖形有什么共同的特征呢？

問題3：把三角形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，什么發(fā)生了變化，什么沒有變？

設(shè)計(jì)意圖：豐富的圖形容易引起學(xué)生的注意，使他們很快投入學(xué)習(xí)的情境中去.通過觀察發(fā)現(xiàn)其中的共同特點(diǎn)，形成猜想；通過構(gòu)圖和操作，為學(xué)生理解全等三角形的有關(guān)概念奠定基礎(chǔ).

預(yù)設(shè)：安排兩個(gè)學(xué)生在黑板上演示并畫圖，其他學(xué)生在練習(xí)本上操作.教師利用課件動(dòng)畫演示旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)三角形，位置變化了，但形狀、大小都沒有變，它們依然全等.

講解：這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫作全等形.能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形.“全等”用≌表示，讀作“全等于”.

兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，如圖2，△ABC與△DEF全等時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，記作△ABC≌△DEF.

圖2

把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫作對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫作對(duì)應(yīng)角.

即時(shí)訓(xùn)練：（找出全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素）以下面的圖形為例（如圖3、圖4、圖5），由學(xué)生先獨(dú)立識(shí)別對(duì)應(yīng)元素，然后集體交流.

圖3

圖4

圖5

問題4：你能“構(gòu)造一對(duì)全等三角形”嗎？在同組內(nèi)交流你是如何構(gòu)造的.

問題5：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

預(yù)設(shè)：學(xué)生依據(jù)課本內(nèi)容和自己的思考容易答出：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.請(qǐng)寫出平移、翻折后兩個(gè)全等三角形相等的角、相等的邊.

設(shè)計(jì)意圖：利用三角形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的不變性，讓學(xué)生通過具體操作直觀感知全等三角形的概念，然后讓學(xué)生通過操作和觀察，猜測并驗(yàn)證三角形的性質(zhì)，這種效果是抽象的講授難以達(dá)到的，利用基本三角形變化變形出各種圖形，然后觀察它們的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的變化，有利于提高學(xué)生識(shí)別圖形的能力.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）典例訓(xùn)練，建立模型

例1已知：如圖6，△ABC≌△DEF.

（1）若DF=10cm，則AC的長為_____；

（2）若∠A=100°，則∠D的度數(shù)為_____；

（3）若∠A=100°，∠B=30°，求∠F的度數(shù).

圖6

圖7

例2如圖7，△ABC≌△CDA，AB與CD、BC與DA是對(duì)應(yīng)邊，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.

A.∠BAC=∠DCAB.AB∥DC

C.∠BCA=∠DCAD.BC∥DA

設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)例題都是全等三角形的初級(jí)題目找對(duì)應(yīng)元素，其實(shí)不是一件容易的事情，特別是從一個(gè)較復(fù)雜的圖形中快速確定對(duì)應(yīng)元素，比如可利用PPT呈現(xiàn)下面的系列圖形（圖8），按下列圖形的位置擺放，指出它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

圖8

即時(shí)訓(xùn)練：如圖9，△ABE≌△ACD，AB與AC、AD與AE是對(duì)應(yīng)邊，∠A=40°，∠B=30°，求∠ADC的大小.

圖9

追問1：從剛才的練習(xí)中，你認(rèn)為全等三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角之間有什么關(guān)聯(lián)呢？

預(yù)設(shè)：全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.

追問2：在找對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角問題上誰還有別的體會(huì)？

預(yù)設(shè)：公共邊一般是對(duì)應(yīng)邊；有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一般是對(duì)應(yīng)角，公共角一般是對(duì)應(yīng)角等.

設(shè)計(jì)意圖：在教學(xué)中充分發(fā)揮集體的力量，遇到與其他知識(shí)融合的題目，要給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，多讓不同學(xué)生發(fā)表意見，延長后進(jìn)生思考的時(shí)間.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）拓展小結(jié)

（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；

（2）全等三角形的周長相等；

（3）面積相等的三角形是全等三角形；

（4）全等三角形的面積相等.

預(yù)設(shè)解答：（1）對(duì)；（2）對(duì)；（3）錯(cuò)，讓學(xué)生舉一個(gè)反例說明；（4）對(duì).作出正確判斷需要學(xué)生從重合、形狀和大小相同這些角度認(rèn)識(shí)才行.

設(shè)計(jì)意圖：在全等三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上拓展.教學(xué)時(shí)還可以問其他問題，如全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線、對(duì)應(yīng)邊上的中線、對(duì)應(yīng)邊上的高有什么關(guān)系，甚至可以提出全等三角形中對(duì)應(yīng)的線段有什么關(guān)系.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）布置作業(yè)（略）

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀

1.從生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，但不停留、不糾結(jié)于生活現(xiàn)實(shí)

從上面課例可見，我們從生活圖形、折紙操作等活動(dòng)出發(fā)，引入新知.這些生活經(jīng)驗(yàn)作為情境，在課堂實(shí)施時(shí)并不停留，也不糾結(jié)，而是盡快推進(jìn)、抽象出全等三角形，研究全等三角形的概念、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，學(xué)習(xí)更有數(shù)學(xué)味的平面幾何概念.

2.從標(biāo)準(zhǔn)圖形到變式圖形，重視對(duì)應(yīng)元素的訓(xùn)練

在全等三形的標(biāo)準(zhǔn)圖形、定義新概念及對(duì)應(yīng)元素之后，我們安排一系列的變式圖形，通過PPT漸次呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生思維參與、辨析對(duì)應(yīng)，有效訓(xùn)練非標(biāo)準(zhǔn)全等圖形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生如果只是理解標(biāo)準(zhǔn)圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而對(duì)于變式圖形適應(yīng)性不好，則在后續(xù)幾何學(xué)習(xí)中就難以發(fā)現(xiàn)全等，影響思路獲取和解題速度.

3.預(yù)設(shè)開放問題，促進(jìn)學(xué)生獨(dú)立思考后展示交流

在不同的教學(xué)環(huán)節(jié)，我們都注意預(yù)設(shè)開放問題，并安排學(xué)生先獨(dú)立思考，接著在小組內(nèi)交流討論，最后大組展示交流，這樣追求了由開放題走向“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”（鄭毓信語），也是日本著名教育學(xué)者佐滕學(xué)倡導(dǎo)的讓學(xué)生從“互相說”走向“互相聽”.

1.章建躍.創(chuàng)新推動(dòng)改革，全面提高教育質(zhì)量——暨“第九屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”總結(jié)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（初中），2016（4）.

2.周紅娟.從操作走向思考，從“參觀”走向“探索”——“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時(shí)）”教學(xué)與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（7）.

3.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.Z