三元效率區(qū)間下決策單元的全局績效評價

范建平，陳 靜，吳美琴，田 璇

(1.山西大學經(jīng)濟與管理學院，山西 太原 030006；2.山西大學科學評價研究中心，山西 太原 030006)

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三元效率區(qū)間下決策單元的全局績效評價

范建平1,2，陳 靜1，吳美琴1，田 璇1

(1.山西大學經(jīng)濟與管理學院，山西 太原 030006；2.山西大學科學評價研究中心，山西 太原 030006)

針對現(xiàn)實生活中投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)的不確定性，許多學者提出從樂觀和悲觀角度計算決策單元的效率區(qū)間，但每個效率區(qū)間的上、下界值都是決策單元表現(xiàn)的兩種極端情況。本文通過引入心態(tài)指標衡量決策者的偏好，獲得了一個最有可能的效率值，它與上界值、下界值共同組成了三元效率區(qū)間。然后改進了兩級排序方法：提出了三元有向距離指數(shù)，為所有決策單元獲得全序化結果。本文引用前人文中的數(shù)例驗證了該方法是一種更為精確、可全序化的評價、決策方法，可廣泛應用于效率測評中。

數(shù)據(jù)包絡分析；三元效率區(qū)間；樂觀效率；悲觀效率；三元有向距離指數(shù)

1 引言

數(shù)據(jù)包絡分析(Data Envelopment Analysis，DEA)是基于1978年Charnes等[1]首次提出經(jīng)典模型之后發(fā)展起來的，它是一種線性非參數(shù)模型，用來評價一組具有相同的多投入多產(chǎn)出的決策單元(Decision-Making Units，DMUs)的相對效率。由于DEA無需知道決策單元真實的生產(chǎn)運作函數(shù)，相對于其他效率評價方法具有一定的優(yōu)勢，所以它在各個領域中得到了廣泛的應用，比如銀行業(yè)[2-3]、奧運會[4]、環(huán)境測評[5]、教育系統(tǒng)[6]、制造業(yè)[7]、城市創(chuàng)新能力[8]、電力行業(yè)[9]等.

傳統(tǒng)的DEA模型[1,10]評價每個決策單元的相對效率時，獲取的投入、產(chǎn)出權重對每個決策單元自己是最有利的，這種評價方法是從樂觀角度進行的，獲得的相對效率稱之為最好相對效率或樂觀效率。隨后，Parkan等人[11]提出了從悲觀角度考量決策單元績效的方法，這時獲得的對被評價決策單元最不利的效率被稱之為最壞相對效率或悲觀效率。樂觀效率和悲觀效率測評了每個DMU兩種完全不同情形下的效率，為了準確的衡量決策單元的全局績效，我們必須同時考慮樂觀和悲觀效率。同時考慮每個決策單元樂觀和悲觀效率的方法，我們稱之為“雙前沿面分析法”。

使用雙前沿面分析法一般需要考慮兩個步驟。第一個步驟為如何計算效率區(qū)間。最先提出從樂觀和悲觀角度去評價每個決策單元全局績效的是Doyle等人[2]，在他們的研究中，悲觀效率作為下界，樂觀效率作為上界，共同組成了效率區(qū)間。Entani等[3]提出了新的模型去計算效率區(qū)間，但是它有兩個明顯的缺點：一是在計算效率區(qū)間的下界時只利用了一個投入和一個產(chǎn)出，導致了信息缺失，二是使用了可變生產(chǎn)前沿面，使得計算的效率區(qū)間不具有可比性。為了改進這些缺點，Wang Yingming等人[4]提出了一組有界DEA模型，通過引入一個虛擬的非理想DMU和理想DMU去測評樂觀和悲觀效率，最大程度的利用了投入、產(chǎn)出信息。然而當每項產(chǎn)出或者投入中都有一個數(shù)據(jù)為零時，有界DEA模型便無法獲得效率區(qū)間，于是Azizi等[15-16]提出了改進的有界模型，使用樂觀效率和悲觀效率測評了決策單元的全局績效。第二是如何整合效率區(qū)間使之成為決策單元全局績效的排序指標。Wang Yingming等[17]將兩種效率的幾何平均效率作為排序準則，它比只考慮其中一種效率更為全面。Amirteimoori等[18]基于有效和無效前沿面提出了理想和非理想指標，即最大化被評價的DMU到有效和無效前沿面的加權距離。陸志鵬等[19]將決策單元的變量區(qū)間劃分為若干個子區(qū)間，對各個區(qū)間上決策單元DEA效率進行集結，得到綜合效率區(qū)間，作為決策單元的效率評價的基準。Wu Jie等[20]結合了DEA和TOPSIS法，通過優(yōu)化模型將權重的主觀賦值變?yōu)榭陀^計算，避免了由于人為因素引起的權重偏差。

不可否認，無論是從樂觀還是悲觀角度，效率區(qū)間測評了DMU的兩種極端情況，上述提到的任何一種效率評價方法都沒有考慮決策者(Decision Makers，DMs)的偏好。的確，現(xiàn)有的研究要么關注效率的計算過程要么關注其應用領域，很少考慮決策者的個人偏好。這里的偏好是指：在樂觀情形下，決策者對決策單元的效率值呈樂觀態(tài)度，除了樂觀效率的最大值和最小值，我們更應該計算一個最有可能的值。同理，我們也可獲得最有可能的悲觀效率值。本文將反映決策者不同期望偏好的心態(tài)指標引入樂觀和悲觀效率中，獲得決策單元的三元效率區(qū)間。然后提出了區(qū)間數(shù)據(jù)兩級排序決策全序化的一種方法：三元有向距離指數(shù)，解決優(yōu)勢度方法排序后出現(xiàn)多于一個決策單元排在同一位置的現(xiàn)象。

2 樂觀和悲觀效率模型

2.1 樂觀效率區(qū)間和悲觀效率區(qū)間

(1)

ur,vi≥ 0, r=1, … ,s ; i=1, … ,m

(2)

ur,vi≥0,r=1, … ,s ; i=1, … ,m.

Azizi等[22]于2011年提出評價DMUo相對于其他決策單元的悲觀效率線性計算模型：

(3)

ur，vi≥0, r=1, …,s;i=1, … ,m

(4)

ur，vi≥0, r=1, …,s; i=1, …,m

2.2 心態(tài)指標

定義1：假定一個區(qū)間數(shù)a ∈[a-,a+]， Ma為區(qū)間數(shù)的期望值：Ma=(a-+a+)/2，Wa代表區(qū)間寬度：Wa=(a+-a-)/2，我們在[0,1]上定義函數(shù)[23]: Fa(α): [0,1]→[a-,a+]：

Fa(α)=Ma+ (2α-1) Wa，

α 稱為決策者的心態(tài)指標，F(xiàn)a(α)是 [0,1]區(qū)間上的單調遞增函數(shù)，且

(1)當α=0時，F(xiàn)a(α)=a-，則稱α 為下限指標，表明決策者呈悲觀心態(tài)；

(2)當α=1時，F(xiàn)a(α)=a+，則稱α 為上限指標，表明決策者呈樂觀心態(tài)；

2.3 三元效率區(qū)間

現(xiàn)在我們提出加入心態(tài)指標的三元效率區(qū)間模型。

s.t. 與模型(1)約束相同

(5)

(6)

ur，vi≥0, r=1, …,s; i=1, …,m

s.t. 與模型 (2) 約束相同

(7)

s.t. 與模型 (3) 約束相同

(8)

(9)

ur，vi≥0, r=1, … ,s; i=1, … ,m

s.t. 與模型 (5) 約束相同

(10)

3 基于優(yōu)勢度和有向距離指數(shù)的兩級排序方法

3.1 序信息系統(tǒng)中的優(yōu)勢度和有向距離指數(shù)

定義2[24]：稱四元組S=(U，AT，V，f)為區(qū)間信息系統(tǒng)(IIS)，其中U為有限非空方案集，AT為有限非空屬性集，V =∪a∈ATVa，Va是屬性a的值域，f: U×AT→V是一個信息函數(shù)，表示對于任意的a∈AT, x∈U都有f(x，a)∈Va。這里，方案x在屬性a下的值Va為區(qū)間數(shù)，記做：

f (x, a) =[aL(x), aU(x)]={p | aL(x) ≤p≤aU(x), aL(x), aU(x)∈R}。

若所有的屬性均是有序型屬性，即所有屬性的取值可以按照收益型或者成本型偏好排序，則稱區(qū)間信息系統(tǒng)S=(U，AT，V，f)為區(qū)間序信息系統(tǒng)(IOIS)。

在區(qū)間序信息系統(tǒng)中，任意屬性a的取值都是可以通過優(yōu)勢關系a來表示的，xay表示在屬性a上x優(yōu)于y。同理，xAy ? ?a∈A, xay。 基于上述描述，我們可以通過引入優(yōu)勢關系來定義優(yōu)勢類。在區(qū)間序信息系統(tǒng)中，關于屬性集A ? AT上有y優(yōu)于x，即yAx，可以通過來定義：

其中A=A1∪A2，A1為收益型屬性集，A2為成本型屬性集。

我們現(xiàn)在考慮區(qū)間數(shù)據(jù)基于優(yōu)勢度排序方法。

(11)

當(xi, xj) ∈U×U時，基于優(yōu)勢關系可以獲得在屬性集A上的優(yōu)勢關系矩陣，通過這個矩陣，可以得到方案xi的整體優(yōu)勢度：

(12)

由上可得，DA(xi)的取值越大，方案xi的表現(xiàn)越好。整體優(yōu)勢度DA(xi)即可用來給論域中所有方案進行全局排序。

無論在數(shù)例還是實證研究中，基于優(yōu)勢度排序后，常常發(fā)現(xiàn)兩個或多于兩個的方案排在同一位置，并且排序越靠前的方案越容易出現(xiàn)這種并列現(xiàn)象。為了獲得方案的全序化，宋鵬[25]提出了有向距離指數(shù)作為二級排序方法，它關注于區(qū)間數(shù)據(jù)的取值，是一種更為精確的測量方案xi相對于xj優(yōu)劣程度的方法。

定義4: f (xi,a)=[aL(xi), aU(xi)]，f(xj,a)=[aL(xj), aU(xj)]為給定的區(qū)間數(shù)據(jù)，在屬性a上，方案xi相對于xj的有向距離指數(shù)定義為：

(13)

將DDIa(xi,xj)擴展到某一屬性集上，屬性集A上的有向距離指數(shù)定義為：

其中，A∈AT，|A|為屬性集里屬性個數(shù)。

為了獲得全序結果，需要獲得方案的整體有向距離指數(shù)。將方案xi的整體有向距離指數(shù)定義為：

整體有向距離指數(shù)DDIA(xi)越大，方案 xi排序越好。

3.2 三元有向距離指數(shù)

(14)

其中，max(aU(x))=max{aU(x1), aU(x2), … ,aU(x|U|),}，max(a*(x))=max{a*(x1), a*(x2), … ,a*(x|U|),}，min(a*(x))=min{a*(x1), a*(x2), … ,a*(x|U|)}，min(aL(x))=min{aL(x1), aL(x2), … ,aL(x|U|)}，xi, xj∈U。且有：

TDDIa(xi,xj) 僅僅考慮了方案 xi相對于xj在屬性a上的相對優(yōu)劣程度，同樣我們將TDDIa(xi,xj) 擴展到屬性集A上，屬性集A 上的三元有向距離指數(shù)定義為：

(15)

其中，A ∈ AT，|A|為屬性集里屬性個數(shù)。

同理，方案xi的整體三元有向距離指數(shù)定義為：

(16)

這樣，每一方案總體優(yōu)劣的評價則可以通過任意方案兩兩之間的比較來獲得。整體三元有向距離指數(shù)TDDIA(xi)越大，方案 xi排序越好。

4 數(shù)據(jù)結果及分析

根據(jù)優(yōu)勢度，給出所有決策單元關于樂觀效率的排名。首先，基于優(yōu)勢關系，找出每個決策單元的優(yōu)勢類。

然后，根據(jù)公式(11)計算每個決策單元的優(yōu)勢度，可以得到優(yōu)勢度矩陣，如表2所示。利用公式(12)和優(yōu)勢度矩陣，計算得到每個決策單元的全局優(yōu)勢度。

DA(DMU1)=87/90, DA(DMU2)=42/90,

DA(DMU3)=74/90, DA(DMU4)=59/90,

DA(DMU5)=89/90, DA(DMU6)=59/90,

DA(DMU7)=83/90, DA(DMU8)=75/90,

DA(DMU9)=83/90, DA(DMU10)=1

表1 七個制造企業(yè)的投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)及效率

表2 決策單元間的優(yōu)勢度矩陣

根據(jù)全局優(yōu)勢度的大小，決策單元的排名如下：

DMU10DMU5DMU1DMU3DMU8DMU2。

正如上文中提到的，不止一個決策單元會排在相同的位置，本例中DMU7和DMU9、DMU4和DMU6排在相同位置。現(xiàn)在使用有向距離指數(shù)將這些決策單元區(qū)別開來。

DDIA(DMU7)=DDIa(DMU7, DMU9)=1 - DDIa(DMU9, DMU7)=0.4940，

DDIA(DMU9)>DDIA(DMU7)，所以DMU9DMU7。同理可得DMU6DMU4。

七個決策單元在樂觀效率區(qū)間下的排序為：DMU10DMU5DMU1DMU9DMU7DMU3DMU8DMU6DMU4DMU2，與我們事前估計的一樣，這個排序結果和使用Wang Yingming等[26]提出的偏好度排序方法得出的結果是一致的。因此基于上述描述，全局優(yōu)勢度和有向距離指數(shù)是一種合理有效的排序方法，并且能夠提供全序化結果。

現(xiàn)在引入反應決策者偏好的心態(tài)指標去計算每個決策單元的三元效率區(qū)間。在樂觀情形下，將投入 α 值設為0.3，產(chǎn)出 α 值設為0.8。在悲觀情形下，將投入 α 值定為0.8，產(chǎn)出 α 值定為0.3(投入產(chǎn)出的 α 值是隨決策者的期望偏好變化的，決策者可自行設定)。引入心態(tài)指標后七個決策單元的樂觀和悲觀三元區(qū)間數(shù)據(jù)如表3所示，分別計算的效率區(qū)間如表4。

基于三元樂觀效率區(qū)間給決策單元排序時，每個決策單元的優(yōu)勢類為：

表3 決策單元樂觀、悲觀情況下投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)

表4 決策單元的三元樂觀效率區(qū)間和三元悲觀效率區(qū)間

我們會發(fā)現(xiàn)三元樂觀效率區(qū)間上的優(yōu)勢類與二元樂觀效率區(qū)間上是一致的，所以用優(yōu)勢關系給決策單元一級排序之后獲得的順序與上述順序也是一致的，即為：

DMU10DMU5DMU1DMU3DMU2

現(xiàn)在使用三元有向距離指數(shù)將獲得一樣排名的決策單元區(qū)別開來：

TDDIA(DMU7)=TDDIa(DMU7, DMU9)=1- TDDIa(DMU9, DMU7)=0.6745

TDDIA(DMU9) ≥ TDDIA(DMU7)，所以 DMU9DMU7，同理可得：DMU6DMU4。

所以在三元樂觀效率區(qū)間下，決策單元排名為：DMU10DMU5DMU1DMU9DMU7DMU3DMU8DMU6DMU4DMU2。與在二元樂觀效率區(qū)間的結果相比稍有不同，容易發(fā)現(xiàn)DMU7和DMU9排序位置互換。我們稱這種排序結果的變化是因為加入了反映決策者偏好的最有可能的效率值引起的。同理，我們可以獲得決策單元在三元悲觀效率區(qū)間下的全序排名，結果為：DMU7DMU5DMU3DMU4DMU9DMU8DMU6DMU2DMU1DMU10。

三元樂觀效率區(qū)間和三元悲觀效率區(qū)間下的排序是對決策單元在兩種極端情況下的測評，這兩種排序結果是完全不同的，如表4第三和第五列所示。既然這兩種情況是彼此沖突、互不包容的，那么任何一種只考慮其中一種情況的測評方法一定是片面的、沒有說服力的。為了對每個決策單元進行全局績效測評，將三元樂觀效率和三元悲觀效率看做決策單元的兩個屬性，這種方法既同時考慮了兩種極端效率，也替代了其他論文中將這兩種效率整合成一個效率的方法。計算優(yōu)勢度和整體三元有向距離指數(shù)后，七個決策單元的全局排序為：DMU5DMU9DMU1DMU10DMU7DMU3DMU8DMU4DMU6DMU2。

需要說明的是：我們不可能總把樂觀有效的決策單元排在樂觀非有效決策單元的前面，當將悲觀效率考慮進來時，一些樂觀有效的決策單元就會獲得比其他決策單元更低的排名。如本例中，DMU1、DMU10是樂觀有效的，但也是悲觀無效的，在全局排序中，DMU9排在了他們前面。

5 結語

在實際應用中，由于觀測與統(tǒng)計誤差(如經(jīng)營成本的變動、利潤的估計等問題)、信息不完全(如市場或企業(yè)信息的不確定性)及實際問題的局限性等原因，往往存在著區(qū)間數(shù)據(jù)的情形。使用DEA區(qū)間效率測評具有區(qū)間數(shù)據(jù)的決策單元的績效是當下使用越來越廣泛的方法，本文不僅測評了樂觀和悲觀情形下效率區(qū)間的上界值和下界值，更多的考慮了決策者期望偏好下最有可能的效率值。通過將心態(tài)指標引入樂觀和悲觀效率中，獲得了關于每個決策單元的三元樂觀效率區(qū)間和三元悲觀效率區(qū)間去評價他們的全局績效?；谌蚧攸c和更精確的刻畫方案間的優(yōu)劣程度，我們提出了三元有向距離指數(shù)，作為第二級排序方法解決了多于一個決策單元排在同一位置的現(xiàn)象。因此，當決策單元數(shù)的數(shù)據(jù)為區(qū)間型、或由于模糊不確定性導致的數(shù)據(jù)缺失等問題出現(xiàn)時，可應用本文方法進行決策單元的測評和排序。

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第十八屆中國管理科學學術年會征文通知

第十八屆中國管理科學學術年會將于2016年11月11日-13日在西安交通大學召開，歡迎廣大專家學者、科技和教育工作者積極投稿并參加會議。

主辦單位：中國優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟數(shù)學研究會 西安交通大學

中國科學院科技政策與管理科學研究所 《中國管理科學》編輯部

支持單位：陜西省科學技術廳 陜西省發(fā)展和改革委員會

承辦單位：西安交通大學管理學院

會議主題：大數(shù)據(jù)驅動的管理創(chuàng)新

征文范圍：

優(yōu)選法與優(yōu)化管理 統(tǒng)籌法與項目管理 經(jīng)濟數(shù)學與低碳經(jīng)濟

大數(shù)據(jù)技術與方法 數(shù)據(jù)驅動的過程管理決策 健康管理與大數(shù)據(jù)醫(yī)療

金融工程與風險管理 工業(yè)工程與運作管理 信息系統(tǒng)與商務智能

物流與供應鏈管理 營銷工程與服務科學 戰(zhàn)略管理與認知決策

數(shù)據(jù)挖掘與知識管理 人力資源與組織績效管理 創(chuàng)業(yè)與小微企業(yè)管理

安全與應急管理 資源型產(chǎn)業(yè)發(fā)展模式 能源與環(huán)境管理

公共管理與復雜系統(tǒng)管理 戰(zhàn)略型新興產(chǎn)業(yè)與產(chǎn)業(yè)金融 企業(yè)管理創(chuàng)新理論與實踐

大數(shù)據(jù)與智慧城市(智慧交通、智慧養(yǎng)老、智慧社區(qū)) 大數(shù)據(jù)金融產(chǎn)業(yè)研究

征稿要求：

▲ 未在其它學術會議、論文集和刊物上公開發(fā)表過。

▲ 文章具體格式可參照《中國管理科學》近期期刊。

▲ 來稿篇幅要求5-8頁(5頁以內版面費600元，超過5頁每增加一頁加收版面費150元)。

▲來稿注明：征文類別(從征文范圍中選擇一個接近的類別填寫)、作者簡介、單位、通訊地址、郵編、聯(lián)系電話、E-mail地址 。

截稿日期：2016年6月30日

錄用通知：2016年8月15日

論文出版：

出版《中國管理科學》專輯(已被CNKI數(shù)字圖書館全文收錄(www.cnki.net))，以國家正式出版物的方式出版發(fā)行，書中將收錄通過評審錄用的論文。并在會前將所有錄用論文的長摘要編輯成冊《第十七屆中國管理科學學術年會論文摘要》 。

大會設優(yōu)秀論文報告獎：

會議論文通過評審錄用后可參加本屆年會專題會議的交流評議，獲《優(yōu)秀論文報告獎》的論文將頒發(fā)獲獎證書并安排在《中國管理科學》正刊發(fā)表，直接列入2017年刊登計劃。

會議具體情況請登陸中國優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟數(shù)學研究會網(wǎng)站:www.scope.org.cn;中國管理科學網(wǎng)站:www.zgglkx.com及中國學術會議網(wǎng)站：www.zgglkxnh.conf.cnki.net 。

大會秘書處:

聯(lián) 系 人：傅繼良、張玲 E-mail：shuangfa@casipm.ac.cn聯(lián)系電話：010-62542629

西安交通大學聯(lián)系人：呂文靜、賈峰菊E-mail：jia_fj@mail.xjtu.edu.cn電話：029-82665096

中國優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟數(shù)學研究會

2016年2月3日

Overall Performance Evaluation for DMUs with Ternary Efficiency Interval

FAN Jian-ping1,2, CHEN Jing1, WU Mei-qin1, TIAN Xuan1

(1.School of Economics and Management, Shanxi University, Taiyuan 030006,China；2.Research Center for Science Evaluation，Shanxi University, Taiyuan 030006,China)

To deal with the uncertainty of the data for input and/or output in the real world, many experts presented efficiency interval to evaluate the performance for each DMU from optimistic and pessimistic views. Undeniably, the lower and upper bound of the efficiency interval are two extremes of each DMU performance. In this paper, the preference of the decision makers are considered by introducing the attitude index to get the most probable efficiency value, which with the lower and upper bound constitutes the ternary efficiency interval. Then ternary directional distance index is proposed, improving the two-grade ranking method, to get a full ranking for all DMUs. The illustrative example shows this method is more precise and widely used in efficiency evaluation and decision-making field.the effectiveness and practicability of the proposed method.

data envelopment analysis；ternary efficiency interval；optimistic efficiency；pessimistic efficiency；ternary directional distance index

1003-207(2016)02-0153-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.02.019

2013-12-01；

2014-12-25

簡介：范建平(1975- )，男(漢族)，山西武鄉(xiāng)人， 山西大學經(jīng)濟與管理學院，博士，副院長，研究方向：預測、評價與決策,E-mail:fjp@sxu.edu.cn.

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