深化集合復(fù)習(xí)的五種意識

安徽省霍邱縣第一中學(xué)(237400)馮克永

深化集合復(fù)習(xí)的五種意識

安徽省霍邱縣第一中學(xué)(237400)馮克永

集合概念與運算是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一,又是進一步學(xué)習(xí)函數(shù)和高等數(shù)學(xué)所必備的基礎(chǔ),同時對培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,開發(fā)智力也起著十分重要的作用.由于集合問題研究方法的獨特性及思維的抽象性,又使其成為一輪復(fù)習(xí)的難點.怎樣在教學(xué)中突破這個難點,使學(xué)生較好地掌握這部分內(nèi)容呢?應(yīng)強化以下五種意識.

一、糧草意識

俗話說:“兵馬未動,糧草先行.”集合部分的糧草是:集合的概念,元素與集合間的關(guān)系,集合的三種表示,集合與集合間的關(guān)系(子集、真子集、相等),常見集合的記法( N,N?,Z,Q,R,C,?),集合間的運算(并集、交集、補集),集合常見性質(zhì)(??A;若集合A含有n個元素,則集合A的子集個數(shù)為2n個,真子集個數(shù)為2n?1個,非空子集個數(shù)為2n?1個;A∩B=B??B?A,A∪B=A??B?A;CI(A∪B)=(CIA)∩(CIB),CI(A∩B)=(CIA)∪(CIB)等)等.

二、辨別意識

集合是高考的?？純?nèi)容,而部分學(xué)生在解這類問題時常會出錯,應(yīng)在辨析中理解,在辨析中提升.

例1已知集合A={a+2,2a2+a},若3∈A,求實數(shù)a的值.

錯解由3∈A,得a+2=3或2a2+a=3,解得a=1或

正解由3∈A,得a+2=3或2a2+a=3,由a+2=3,得a=1.當(dāng)a=1時,2a2+a=3,由集合元素的互異性知a=1應(yīng)舍去.由2a2+a=3,解得或a=1(舍去).當(dāng)時,所以符合題意.故

評注解本題應(yīng)分兩步:一是根據(jù)條件3∈A解出a的值;二是對解出的a值代入集合A進行檢驗.但很多同學(xué)沒有檢驗意識而導(dǎo)致錯誤,值得關(guān)注.

例2已知x,y∈R,集合A={x|y2=?x+2},集合B={y|y=x2?1},求A∩B.

錯解由題意可得A={x|x≤2},B={y|y≥?1},因兩集合的元素的表示記號不同,所以A∩B=?.

正解集合A中的所有元素是使y2=?x+2的有意義的所有x值,所以A={x|x≤2}是數(shù)集;集合B中的所有元素是函數(shù)y=x2?1的所有函數(shù)值,所以B={y|y≥?1},也是數(shù)集,因此,A∩B={x|?1≤x≤2}.

評注致誤原因是我們沒有真正理解集合元素的意義.要使學(xué)生明確:集合{y|y=x2?1}與集合{(x,y)|y=x2?1}是兩個不同對象的集合,前一個是數(shù)集,后一個是點集,代表元的定義不同.集合與集合是同一種對象的集合,都是數(shù)集,只是代表元字母不同,但也要清楚這兩個集合中代表元的實際意義,對函數(shù)來講,前一個為定義域,后一個為值域.

三、用性質(zhì)及思想方法意識

1.用運算性質(zhì)意識

例3設(shè)I為全集,S1,S2,S3是I的三個非空子集,且則下面結(jié)論正確的是

圖1

方法二:令S1={1,2},S2={2,3},S3={2},I={1,2,3},可以排除A,B,D,故選C.

方法三:由性質(zhì)CI(A∪B)=(CIA)∩(CIB)可得

故選C.

評注(1)抽象集合的交集、并集、補集運算用韋恩圖及用取特殊集合法排除,是解答選擇題的一種重要方法; (2)為使補集參與的交集、并集、補集運算更加簡化而直觀,一般要用到如下兩種性質(zhì):①CI(A∪B)=(CIA)∩(CIB);②CI(A∩B)=(CIA)∪(CIB).

2.等價轉(zhuǎn)化意識

元素是集合的靈魂,研究集合必須抓住元素,通過元素特征化歸集合,使問題獲解.此法是以下方法之母.

例4設(shè)集合A={x∈R|x2+4ax?4a+3=0},集合B={x∈R|x2+(a?1)x+a2=0},集合C={x∈R|x2+2ax?2a=0},試確定a的取值范圍,使A∪B∪C≠?.

解析原命題等價于:三個方程

至少有一個方程有實根,求a的取值范圍.只需

評注筆者每次看到用此類題目為例來說明“正難則反”思想,總感覺例題缺乏說服力.事實上,從正面入手,又何需分為7種情形呢?只需

得x=1,因為當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)＞0;當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)＜0,所以

評注抓住元素特征將此題化歸為分離參數(shù)求值域,再借助導(dǎo)數(shù)求最值.思考的過程是痛苦的,解完后是快樂的,讓人感悟數(shù)學(xué)的奇異與美妙.

3.分類討論意識

例6已知集合A={x|x2?3x+2=0},集合B={x|x2?2x+a?1=0},若A∪B=A,求實數(shù)a的取值范圍.

解析由A∪B=A,可知B?A,所以B可能是?,{1},{2},{1,2}.

(1)當(dāng)B=?時,由方程x2?2x+a?1=0無解,可得a＞2;

(2)當(dāng)B={1}時,也就是方程x2?2x+a?1=0有兩個相等的根x1=x2=1,可得a=2;

(3)當(dāng)B={2}時,也就是方程x2?2x+a?1=0有兩個相等的根x1=x2=2,這是不可能的;

(4)當(dāng)B={1,2}時,方程x2?2x+a?1=0的兩根為x1=1,x2=2,這也是不可能的.

綜上可得,a≥2.

評注致誤原因是我們遺忘空集?是任何集合的特殊子集.要理解A∩B=B或A∪B=A即B?A,解題時注意B=?的特殊情況,避免漏解錯解.

例7設(shè)集合I={1,2,3,4,5}.選擇I的兩個非空子集A和B,要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù),則不同的選擇方法共有多少種?

解析按分類計數(shù)原理作如下討論:

(1)當(dāng)A中最大的數(shù)為1時,B可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有24?1=15種方法;

(2)當(dāng)A中最大的數(shù)為2時,A可以是{2}或{1,2},B可以是{3,4,5}的非空子集,即有2×(23?1)=14種方法;

(3)當(dāng)A中最大的數(shù)為3時,A可以是

B可以是{4,5}的非空子集,即有4×(22?1)=12種方法;

(4)當(dāng)A中最大的數(shù)為4時,A可以是

{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}, B可以是{5}的非空子集,即有8×1=8種方法;

綜上,共有15+14+12+8=49種方法.

4.函數(shù)分析意識

解析設(shè)f(x)=x2?2x+a,g(x)=x2?2bx+5.要使A?B,則必須使f(x)、g(x)在區(qū)間[1,3]上的函數(shù)圖像落在x軸下方,即

所以滿足條件的a、b的取值范圍為a≤?3,且b≥3.

評注函數(shù)分析法是一種通過構(gòu)造函數(shù)實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的方法,幾乎滲透到數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域.在中學(xué),函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系尤為密切,許多問題均可構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)性質(zhì)、圖像來巧妙解決.

5.以形助數(shù)意識

例9已知集合A={x|(2x?1)2＜ax2},若A∩Z含有3個元素,求實數(shù)a的取值范圍.

解析設(shè)y=(2x?1)2,g(x)=ax2在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像,通過變動圖像的開口,尋找到兩個特殊位置,如圖2,y=a1x2,y=a2x2,當(dāng) x=3時,(2×3?1)2=a1·32,所以,當(dāng)x=4時,(2×4?1)2=a2·42,所以由圖像及題意得:a1＜a≤a2,所以

圖2

評注把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題,借助幾何圖形的直觀性分析,可避開代數(shù)法的繁冗運算.

四、交匯意識

集合與其他知識的交匯,為高考增添了一道亮麗的風(fēng)景線.

例10已知數(shù)集A={a1,a2,···,an}(0≤a1＜a2＜···＜an,n≥3)具有性質(zhì)P:對?i,j(1≤i≤j≤n),ai+ai與aj?ai兩數(shù)中至少有一個屬于A.求證:

解析因為集合A具有性質(zhì)P,所以an+an與an?an中至少有一個屬于集合A,又

所以an?an=0∈A,故a1=0.因為

所以(an?ak)∈A(k=2,3,...,n),又因為

所以

累加得

評注本例以集合新定義為背景交匯數(shù)列,比較新穎.數(shù)集A={a1,a2,···,an}(0≤a1＜a2＜···＜an,n≥3)具有性質(zhì)P時,對?i,j(1≤i≤j≤n),ai+ai與aj?ai兩數(shù)中至少有一個屬于A,可逐步分析數(shù)集A中有哪些元素,采用排除法是很自然的選擇,如上面的解法中先說明(an+ak)?A(k=2,3,...,n),從而可得(an?ak)∈A(k=2,3,...,n),再與累加相消聯(lián)姻,越思越有味,越想越奇妙.

例11求集合A={(x,y)||y|?|x|≤1},B={(x,y)||y|≥x2+1}的交集A∩B所表示的圖形面積.

解析集合A,B所表示的圖形都關(guān)于x軸、y軸、原點對稱,只需畫出交集A∩B所表示的圖形的第一象限部分即可(如圖3),則交集A∩B所表示的圖形面積

圖3

評注此題把集合、圖形對稱、線性規(guī)劃、利用定積分求面積等諸多知識點綜合交匯在一起,考查學(xué)生對這些知識的掌握情況,利用對稱性正確畫出圖形是破解此題的關(guān)鍵.

五、應(yīng)用意識

學(xué)以致用,每一個知識都應(yīng)彰顯其應(yīng)用價值.

例12已知條件p:|4x?3|≤1;條件q:x2?(2a+1)x+ a(a+1)≤0.若?p是?q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.

評注充要條件與集合之間關(guān)系特別曖昧,特別是用不等關(guān)系表示的充要條件問題,用集合間的關(guān)系破解,簡單明了.