數(shù)學(xué)問題393的幾何解答

廣東省廣州市花都區(qū)赤坭鎮(zhèn)赤坭圩小學(xué)(510830)李思根

廣東省廣州市花都區(qū)新華培新中學(xué)(510800)洪鵬花

數(shù)學(xué)問題393的幾何解答

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注:《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問題2104(2013年第二期)證明了:橢圓的內(nèi)接平行四邊形的中心與橢圓的中心重合,并且求得了橢圓的內(nèi)接平行四邊形面積的最大值.

文[1]利用代數(shù)計(jì)算和柯西不等式得到:橢圓的內(nèi)接平行四邊形的最大周長為但是并沒有指出如何找出滿足條件的內(nèi)接平行四邊形.本文從幾何角度求出橢圓的內(nèi)接平行四邊形周長的最大值,并指出如何做出這種內(nèi)接平行四邊形.

1.命題:如果直線?1,?2與橢圓C:=1(a＞ b＞0)有交點(diǎn),?1⊥?2,?1∩?2=P,橢圓C的中心為O,則當(dāng)且僅當(dāng)直線?1,?2為橢圓的切線時(shí),等號(hào)成立.

證明:(1)當(dāng)直線?1,?2為橢圓的切線時(shí),如圖1所示,直線?1,?2與橢圓C相切于點(diǎn)A,B,連接F1A,F2A,F1B,F2B,分別作F2關(guān)于?1,?2的對(duì)稱點(diǎn)連接交直線?1,?2于點(diǎn)N,M,所以四邊形F2MPN為矩形.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知分別過點(diǎn)A,B,且

圖1

(2)當(dāng)直線?1,?2與橢圓相交時(shí),作直線且與橢圓C相切于點(diǎn)與?2相交于點(diǎn)N,?1與相交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)Q,所以四邊形QMPN為矩形.在?OPN中,∠OPN＞90°,所以O(shè)P＜ ON;在?ONQ中,∠OPQ＞90°,所以O(shè)N＜ OQ;所以O(shè)P＜OQ.由(1)可知命題得證.

圖2

原問題的解答如圖3示,四邊形ABCD為橢圓內(nèi)接平行四邊形.反向延長BC,作∠ABE的角平分線,過點(diǎn)A作BF的垂線,交BF于點(diǎn)P,交BE于點(diǎn)A′,所以PB⊥PA,點(diǎn)P為AA′的中點(diǎn), BA′=BA,2OP=CA′=CB+BA′=CB+BA,所以當(dāng)且僅當(dāng)PB,PA為橢圓的切線時(shí),等號(hào)成立.即當(dāng)橢圓內(nèi)接平行四邊形相鄰兩點(diǎn)處的切線垂直時(shí),周長最大為

圖3

2.尺規(guī)作法

在已知橢圓(中心O、對(duì)稱軸x軸、y軸、焦點(diǎn)F1,F2)的前提下,用尺規(guī)法作出周長最大的橢圓內(nèi)接平面四邊形.設(shè)橢圓與x軸交于X,X′,與y軸交于Y,Y′.

圖4

1.以O(shè)為圓心,XY的長度為半徑,作圓O;

2.在橢圓上任取一點(diǎn)A,連接OA,延長交橢圓于點(diǎn)C;

3.連接F1A,F2A,并延長F1A與圓O交于點(diǎn)E;

4.作∠F2AE的角平分線,與圓O交于點(diǎn)M,N;(根據(jù)文[2],MN為橢圓的切線)

5.過點(diǎn)C作MN的平行線,與圓O交于點(diǎn)P,Q;

6.連接PM,QN,交橢圓于點(diǎn)B,D,所以四邊形ABCD為周長最大的橢圓內(nèi)接平行四邊形.

證明:連接ON,OQ,根據(jù)橢圓和圓的對(duì)稱性可知,點(diǎn)N,Q關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱,所以N,Q,O三點(diǎn)共線,即NQ是圓O的直徑,所以∠QMN=90°,即QM⊥MN,MN為橢圓的切線,根據(jù)上面的命題可得,QM為橢圓的切線,切點(diǎn)為D.同理可得,PN為橢圓的切線,切點(diǎn)為B.所以平行四邊形ABCD為周長最大的橢圓內(nèi)接平行四邊形.

[1]楊志明.數(shù)學(xué)問題393的解答[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(上半月),2015,2.

[2]陳鋒.尺規(guī)法作過橢圓上一點(diǎn)的切線的幾種方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué), 2007,3.