構(gòu)造模型法巧證不等式

陜西省西安市高新第三中學(xué)(710075)呂二動(dòng)

構(gòu)造模型法巧證不等式

陜西省西安市高新第三中學(xué)(710075)呂二動(dòng)

我們知道,不等式證明的方法是多種多樣,為了深入研究不等式的證法,可根據(jù)所給不等式的特點(diǎn),構(gòu)造一些特殊模型來(lái)證明不等式,往往可以達(dá)到事半功倍的效果.

一、利用概率統(tǒng)計(jì)模型

其中A,B,C為三個(gè)相互獨(dú)立事件.則有

二、利用導(dǎo)數(shù)模型

例3.設(shè)x∈(0,+∞),求證:ln(1+x)＜x.

分析:所證不等式等價(jià)于ln(1+x)?x＜0,令f(x)=ln(1+x)?x,故只須證f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).

證明:令f(x)=ln(1+x)?x,因?yàn)閤＞0時(shí),所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,由于f(x)在(?1,+∞)上連續(xù),且f(0)=0,所以x＞0時(shí),f(x)＜f(0)=0即ln(1+x)＜x.

例4.已知a、b為實(shí)數(shù),且e＜a＜b,證明:ab＞ba.

分析:先把指數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)問(wèn)題

再分離變量得

當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),

三、構(gòu)造函數(shù)模型

例5.若|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,a,b,c∈R求證: ab+bc+ca＞?1.

證明:因?yàn)閍b+bc+ca+1=(b+c)a+bc+1,所以構(gòu)造一次函數(shù)

則有

由一次函數(shù)性質(zhì)知,當(dāng)?1＜a＜1時(shí),恒有f(a)＞0,那么ab+ac+bc＞?1.

例6.已知a1,a2,···,an都是正數(shù),證明對(duì)任意的n∈N+,不等式成立.

證明:對(duì)任意的x∈R,n∈N+,不等式

成立.即

成立.構(gòu)造函數(shù)

四、構(gòu)造圖形模型

例7.已知α,β,γ均為銳角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1,求cotαcotβcotγ的最大值.

解:構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體,使長(zhǎng)方體的對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱a,b,c的夾角分別為α,β,γ,則cos2α+cos2β+ cos2γ=1且

圖1

圖2

五、利用復(fù)數(shù)模型

例9.設(shè)a,b,c∈R+,λ＞0,求證:

證明:

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立.

六、利用抽屜原理模型

故

七、利用行列式模型

例12.若α,β,γ∈R,求證:

證明:令

其幾何意義為構(gòu)造點(diǎn)

則|u|=2S△ABC.由于A,B,C三點(diǎn)都在單位圓x2+y2=1上,因?yàn)閳A內(nèi)接三角形中,正三角形的面積最大,所以,當(dāng)△ABC為正三角形時(shí),S△ABC取得最大值故 |sin(α?β)+sin(β?γ)+sin(γ?α)|≤

通過(guò)構(gòu)造不同的模型證明不等式,各種模型顯現(xiàn)各自解決不等式的優(yōu)點(diǎn),只有認(rèn)真去思考和研究,才會(huì)有意想不到的收獲!同時(shí)展現(xiàn)了數(shù)學(xué)奧妙及神奇,研究就要多思考,這樣才有提高!在平時(shí)教學(xué)中要多思、多想,多問(wèn)為什么,這樣數(shù)學(xué)會(huì)因思考而更加精彩,只有在學(xué)習(xí)和思考中才可以提升數(shù)學(xué)品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng),既需要大膽的猜想和細(xì)心的求證,還需要堅(jiān)定的意志和靈通的變通,所以說(shuō),只有多思、多想、多變,才會(huì)有創(chuàng)新、提高!