破繭成蝶，讓學習真正發(fā)生
——以“等比數(shù)列前n項和”教學為例

孫嵐

破繭成蝶，讓學習真正發(fā)生
——以“等比數(shù)列前n項和”教學為例

孫嵐

用適合的方案、適當?shù)膯栴}、適時的跟進和適宜的題型來引導(dǎo)學生研究性地進行學習，從而把學習當成自己的事，這才是真正的學習。本文就“等比數(shù)列前n項和”的教學設(shè)計談?wù)剬Α白寣W習真正發(fā)生”的理解。

等比數(shù)列前n項和；教學設(shè)計；高中數(shù)學

在種類繁多的蛾子中，有一種叫“帝王蛾”，它的幼蟲生長在繭中，要變成蛾時它必須拼盡全力往外沖，由于洞口過于狹小，不計其數(shù)的蛾子悲壯倒下。有人不忍看到這慘烈的一幕，便將洞口剪大，讓幼蟲可以輕而易舉地鉆出那可怕的牢籠，但這些沒有經(jīng)歷過“沖殺”的蛾子，卻永遠與飛翔無緣，永遠也無法成為真正的帝王蛾。帝王蛾如此，學生亦然，沒有經(jīng)歷探究的過程而直接傳授結(jié)論，就不會讓能力有所提升。所以課堂上教師的作用是讓學生看到“繭外世界的美好”，激發(fā)他們“破繭”的欲望，點撥他們“破繭”的方法，用適合的方案、適當?shù)膯栴}、適時的跟進和適宜的題型來引導(dǎo)學生研究性地進行學習，把學習當成自己的事，這樣才能讓學習真正發(fā)生。筆者以“等比數(shù)列前n項和”的教學設(shè)計為例，談?wù)勅绾巫龅健白寣W習真正發(fā)生”。

一、給學生創(chuàng)設(shè)一個適宜學習的情境

實踐證明，學生在不平等的環(huán)境中的學習是被動的、緊張的、不愉快的。學生也容易產(chǎn)生厭學心理。因此，教師應(yīng)對學生抱以期盼和希望，讓學生在寬松和諧的學習氛圍中找到自己，自主進行學習。

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中指出：教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體事例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程，使學生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的來龍去脈。那么什么樣的情境才能讓學生有探索新知的欲望，才能使師生處于平等的位置，讓學生主動、輕松地學習呢？

我是這么教學的——

師：大家好，這節(jié)課我們一起來做個游戲，現(xiàn)在我來分配一下角色，你們是印度的國王，我是國際象棋的發(fā)明者。我想向您請求一些賞賜，賞賜的條件是，在國際象棋棋盤的第一個格子里放一粒麥子，第二個格子里放2粒麥子，第三個格子里放4粒麥子，第4個格子里放8粒麥子，以此類推，后一個格子里的麥粒數(shù)是前一個格子麥粒數(shù)的2倍。國王陛下，您能把這樣放滿整個棋盤64個格子的所有麥粒都賞賜給我嗎？

（學生在思考，沒有應(yīng)答）

師：這是一個什么數(shù)學問題？

生：等比數(shù)列。

師：哪句話體現(xiàn)了這是一個等比數(shù)列？

生：后一個格子里的麥粒數(shù)是前一個格子麥粒數(shù)的2倍。

師：那么等比數(shù)列的定義是什么？通項怎么表示？有幾個基本量？

角色扮演式的課堂引入，讓學生體驗到新鮮感，在一定程度上體現(xiàn)學生在學習上的主體地位。此外，問題設(shè)計的起點較低，每個學生都能做出對應(yīng)的回答，增強了他們后續(xù)學習的信心。學生具備了探索的欲望，何愁他們會不認真學習呢？

二、讓學生找到通往新知的階梯

美國心理學家布魯納認為：“知識的獲得是一個主動的過程，學習者不應(yīng)是信息的被動接受者，而應(yīng)是知識獲得過程中的主動參與者?！彼^“授人以魚，不如授人以漁”，優(yōu)良學習方法、思維方法的習得，會讓學生的學習變得更有效、更深入。本節(jié)課的難點是等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，在教學中教師應(yīng)當引導(dǎo)學生逐步發(fā)現(xiàn)、運用錯位相減法進行數(shù)列求和，并使之內(nèi)化為學生認知結(jié)構(gòu)的一部分，而不僅僅是生搬硬套的結(jié)論。繼續(xù)上面的游戲——

師：“國王陛下，您能把這樣放滿整個棋盤64個格子的所有麥粒都賞賜給我嗎？”這又是一個什么數(shù)學問題？

生：等比數(shù)列前n項和。

師：能算出來是多少嗎？

生：項數(shù)太多了，死算算不出來。

師：那么你們之前有遇到過類似的問題嗎？

生：等差數(shù)列前n項和。

師：當時我們是采用什么方法解決？

生：倒序相加。

類比等差數(shù)列前n項和，對于等比數(shù)列的前n項和我們能否找到一個有效的手段來消項？

生：也用倒序相加。

師：試試看，是否可行。

學生（嘗試1分鐘后）：不可以，不能進行消項。

師：那怎么辦呢？等比數(shù)列項與項之間的聯(lián)系到底在哪里呢？

生：后一項與前一項的比值是一個定值。

師：很好，請大家圍繞等比數(shù)列的這一定義，目標是消項，尋求基本量的最簡形式，探求等比數(shù)列的前n項和，我給大家3分鐘的時間，可以嘗試不同方法。

師追問：怎么想到乘以q，乘q之后有何好處？

生1：考慮到等比數(shù)列的定義，后一項等于前一項乘以公比q，乘q之后產(chǎn)生了很多公共的項，作差就達到了“消項”的目的。

師：很好，你來具體說說。

上面式子的第2項和下面式子的第1項相同，上面式子的第3項和下面式子的第2項相同……，上面式子的最后一項和下面式子的倒數(shù)第二項相同。作差得，(1-q)Sn=a1-anq，即

師：q=1時呢？

生1：每一項都相同，等于a1，所以Sn=na1。

師：能不能總結(jié)一下求解的基本步驟？

生1：乘以公比，錯位，相減，化簡。

師：總結(jié)的非常到位，所以我們可以給它命名為？

生：錯位相減法。

知識的習得是一個螺旋上升的過程，很多新舊知識之間存在一種“溫故而知新”的關(guān)系，教師不是急于給出結(jié)果，而是起到一個穿針引線，搭建一條連接新舊知識階梯的作用。通過與等差數(shù)列求和方法的類比，把求和的計算轉(zhuǎn)化到如何進行“消項”。學生在自己的自主探究與教師的引導(dǎo)中，感悟更加清晰，思維更加深刻。這也有力地說明了教學活動不能直接灌輸，而應(yīng)該在學生的活動與思考后加以點撥，這樣的設(shè)計使學生在理解和接受數(shù)學思想方法層面上是科學和自然的，給學生一種水到渠成之感。

三、為學生搭建思維共鳴的舞臺

著名數(shù)學家斯托伊亞爾指出：“數(shù)學教學是數(shù)學活動（思維過程）的教學，而不是數(shù)學結(jié)果（數(shù)學知識）的教學。”可見，思維過程是教學的核心，數(shù)學教育應(yīng)著眼于培養(yǎng)學生終身發(fā)展的能力，我們的課堂應(yīng)著力于提升學生的核心素養(yǎng)，因此，不講思路和過程，忽視思想和方法，將結(jié)論硬塞給學生，無疑會抑制學生的探索、創(chuàng)新能力，阻礙學生的思維發(fā)展。那么如何才能培養(yǎng)學生的思維能力，使學生得到終身發(fā)展呢？這就要求教師在課堂上不能以 “教”代“學”，而是要讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、收集、理解這一學習的過程。

等比數(shù)列公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點和難點，如何想到錯位相減這一方法也是本節(jié)課要突破的關(guān)鍵點，要突破這些教學難點不是一問一答就能完全解決的，而是要通過幾個環(huán)節(jié)的跟進，讓更多的學生思考得更充分、更深入。通過學生思維的交流捕捉學生想法中的閃光點和值得商榷的地方。在類比等差數(shù)列求和方法的時候，學生在交流時發(fā)現(xiàn)求和的關(guān)鍵是消項，于是提出了也用倒序相加的方法對等比數(shù)列進行消項，教師并沒有急于否定，而是讓學生自己嘗試，在探究中發(fā)現(xiàn)消項的關(guān)鍵是觀察項與項之間的聯(lián)系，在矛盾沖突中讓學生的思維不斷碰撞，得出項與項的聯(lián)系就在于后一項等于前一項乘以公比，從而讓學生自己找出等比數(shù)列的求和方法，比如，有學生指出可以根據(jù)定義：a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q。累加得：Sn-a1=q（Sn-an）化簡得：當q≠1時

這樣教師把問題拋給學生，讓學生自己思考，在亦退亦進間，讓學生經(jīng)歷了思維的沖擊，開闊了視野，享受了學習的過程。讓學習真正發(fā)生，教師的作用就在于構(gòu)建一個讓學生學習、經(jīng)歷的“有意義”的過程，使他們在過程體驗中理解和把握知識，從而形成自己的知識網(wǎng)絡(luò)，更重要的是形成自己的“思想”，最終從認識走向求知，從有形走向無形，從單一走向立體。

如果說“授人以魚，不如授人以漁”，那么我覺得，授人以漁，必先授人以欲。課堂教學中，我們要做的不是為學生“剪開洞口”，而是通過對學生的學習過程進行組織和調(diào)整來激發(fā)學生的欲望，鍛煉他們的技能，讓他們形成“破繭”的能力。讓他們通過自己的思考、交流、探索生成屬于自己的知識，進而培養(yǎng)他們的習慣、提升他們的能力、從而內(nèi)化成自身的素質(zhì)。我們要培養(yǎng)的不是被抱出洞口的孱弱的“蟲子”，而是蛻變出強有力翅膀的“帝王蛾”。

［1］謝麗麗，楊光偉.激活思維，“生動”課堂——“等比數(shù)列前n項和”教學研探［J］.中學教研，2014（06）.

［2］王斌.展示思維過程提高思辨能力［J］.寧德師專學報：自然科學，2007（03）.

［3］張金平.建構(gòu)“有意義”的學習經(jīng)歷［J］.江蘇教育：小學教學，2016（01）.

G633.6

A

1005-6009（2016）54-0032-02

孫嵐，江蘇省沙溪高級中學（江蘇太倉，215421）教師，一級教師。