電磁感應(yīng)中輔助線的運(yùn)用

徐大印

(煙臺(tái)大學(xué)光電學(xué)院物理系 山東 煙臺(tái) 264005)

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電磁感應(yīng)中輔助線的運(yùn)用

徐大印

(煙臺(tái)大學(xué)光電學(xué)院物理系 山東 煙臺(tái) 264005)

以法拉第電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的一道習(xí)題為例，簡單地探討了利用輔助線處理電磁場問題時(shí)應(yīng)該注意的一些事項(xiàng).

電磁感應(yīng) 輔助線

在大學(xué)普通物理的學(xué)習(xí)過程中，輔助線的運(yùn)用十分重要，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用輔助線方法能夠有助于深入地理解物理問題中蘊(yùn)含的物理規(guī)律，對處理有些問題能夠起到簡潔明快、事半功倍的作用.而不恰當(dāng)?shù)匾胼o助線，往往容易引起學(xué)生的困惑，進(jìn)而產(chǎn)生對物理規(guī)律的錯(cuò)誤理解.這里我們以電磁場中法拉第電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的一道習(xí)題著手，簡單地討論在電磁場中運(yùn)用輔助線的過程中應(yīng)該注意的一些事項(xiàng).

圖1 例題題圖

這道題一般有兩種解法.

解法1：對感應(yīng)電場直接積分

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律

(1)

在棒上面dl處的電場強(qiáng)度大小為

(2)

方向?yàn)榕cr垂直的方向.

由式(1)和(2)得到

(3)

其中θ是r與h的夾角.

根據(jù)三角形關(guān)系

代入式(3)可以得到感生電動(dòng)勢大小

(4)

解法2：輔助線方法

從圓心O點(diǎn)向金屬導(dǎo)體棒兩端引入輔助線Oa和Ob,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律式(1)，有

(5)

本題中由變化的磁場產(chǎn)生的電場是渦旋電場，電場線是從圓心向外的一系列同心圓，因此εOa=εbO=0,所以,金屬棒上產(chǎn)生的電動(dòng)勢大小為

與解法1結(jié)果相同，而輔助線的方法簡潔明了.

由上面的例子可以進(jìn)一步引申出圖2問題，題中其他條件與圖1中的一致，定性地比較一下金屬棒ab和金屬棒acb中感生電動(dòng)勢的絕對值大小.

圖2 引申題題圖

這道題原則上可以通過上面的兩種方法求出來，但是利用第一種方法，由式(3)，由于rcos θ是一個(gè)變值，在沒有給出更具體條件時(shí)，針對金屬棒acb不能夠求出來，也不容易看出εab和εacb的大小關(guān)系.

利用輔助線法就很容易定性地比較出來，同樣從原點(diǎn)O向左右兩端引入輔助線Oa和Ob,由式(1)，對不規(guī)則圖形有

由上面我們知道εOa=εbO=0，所以有

又因不規(guī)則圖形SOacb>S△Oab,所以|εacb|>|εab|.可以看出利用輔助線的方法可以很直觀地得到答案.

但是學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中容易產(chǎn)生這樣的疑惑，比如說圖2中為什么不引入虛線Ha和Hb？這樣做輔助線，εHa和εbH是公共部分可以抵消掉，而S△Hab>SHacb，那么就會(huì)得到相反的結(jié)論|εacb|<|εab|.

這個(gè)問題初步看出來似乎有道理，但是仔細(xì)分析卻是錯(cuò)誤的.原因是錯(cuò)誤地理解了法拉第電磁感應(yīng)定律，由式(1), 對三角形abH，有

對不規(guī)則圖形acbH，有

由S△aHb>SabcH，只能得出|εHa+εbH+εab|>|εHa+εbH+εacb|，上面的公式在電動(dòng)勢有正有負(fù)時(shí)，而εHa+εbH≠0的情況下，不能夠得出|εab|>|εacb|這個(gè)結(jié)果，所以這種做輔助線的方法是一種不恰當(dāng)?shù)姆椒?有的學(xué)生之所以得到|εacb|<|εab|這種錯(cuò)誤答案，原因是沒有注意到電動(dòng)勢是標(biāo)量，有正、負(fù)之分.而從圓心O點(diǎn)做輔助線能夠成立的原因在于|εOa+εbO+εacb|>|εOa+εbO+εab|中εOa+εbO=0，這樣才可以直接得到|εacb|>|εab|.之所以得到錯(cuò)誤的結(jié)論，從根本上講是沒有仔細(xì)地分析物理過程，只是想當(dāng)然，生搬硬套公式而已.對于這類問題希望能夠引起學(xué)生們的注意.

通過以上分析，對電磁場中做輔助線來處理物理問題時(shí)，要注意兩點(diǎn)，一是深入理解公式的物理含義和數(shù)學(xué)背景;二是做輔助線的時(shí)候要根據(jù)對稱性進(jìn)行分析，輔助線并不是隨便選取的，運(yùn)用輔助線要十分謹(jǐn)慎.

1 張三慧.大學(xué)基礎(chǔ)物理學(xué)(第2版).北京：清華大學(xué)出版社， 2012

2 費(fèi)恩曼，萊頓，桑茲.費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第2卷).李洪芳，王子輔，鐘萬蘅譯. 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社, 2009

Application on Auxiliary Line in Electromagnetic Induction

Xu Dayin

(School of Opt-electronic Information Science and Technology，Yantai University, Yantai, Shandong 264005)

We take an question in the Faraday electromagnetic induction phenomenon as an example,and briefly discuss some issues that should be paid attention to in the field of electromagnetic field with auxiliary line.

electromagnetic induction；auxiliary line

徐大印(1976- ),男，博士，講師,主要從事大學(xué)物理教學(xué)，及低維半導(dǎo)體材料的制備和光、電性質(zhì)研究.

2016-05-26)