勻速和變速運(yùn)動時(shí)聲波多普勒效應(yīng)公式的推導(dǎo)

李云梅 余太會 蔡武德

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650500)

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勻速和變速運(yùn)動時(shí)聲波多普勒效應(yīng)公式的推導(dǎo)

李云梅 余太會 蔡武德

(云南師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 云南 昆明 650500)

給出了波源和觀察者在勻速和變速運(yùn)動情況下聲波多普勒效應(yīng)公式的詳細(xì)推導(dǎo)過程.結(jié)果顯示，無論觀察者和波源做勻速運(yùn)動，還是做變速運(yùn)動，對應(yīng)的多普勒效應(yīng)公式都是相同的.

多普勒效應(yīng)公式 聲波 勻速運(yùn)動 變速運(yùn)動

近年來對多普勒效應(yīng)[1]的研究越來越多，有研究波源和觀察者都做勻速運(yùn)動時(shí)多普勒效應(yīng)的[2]，有研究通過檢測運(yùn)動物體反射波的頻率變化來測量運(yùn)動物體速度的[3]，有研究超聲波測速原理的[4]，也有研究非慣性運(yùn)動下聲波多普勒效應(yīng)的[5].

1 勻速運(yùn)動條件下聲波多普勒效應(yīng)的討論

假定聲源S,觀察者B的運(yùn)動發(fā)生在兩者的連線上，兩者均做勻速運(yùn)動，介質(zhì)相對于地球是靜止的.設(shè)聲源相對于介質(zhì)的運(yùn)動速率為vS，觀察者相對于介質(zhì)的運(yùn)動速率為vB，以u表示聲波在介質(zhì)中的傳播速率，以ν表示波源振動頻率，以T表示聲波在介質(zhì)中的傳播周期，設(shè)ν′表示探測頻率.規(guī)定：聲源向著觀察者運(yùn)動時(shí)，vS取正值；聲源背離觀察者運(yùn)動時(shí)，vS取負(fù)值；觀察者向著聲源運(yùn)動時(shí), vB取正值；觀察者背離聲源運(yùn)動時(shí)，vB取負(fù)值；聲速u總是取正值.下面分3種情況進(jìn)行討論.

1.1 聲源不動觀察者相對于介質(zhì)做勻速運(yùn)動

當(dāng)觀察者向著聲源以速率vB運(yùn)動(以地面為參考系)時(shí)，vB為正值，因觀察者以不變的速率vB迎向聲源運(yùn)動，相當(dāng)于聲波以u+vB的速率通過觀察者.所以觀察者接收到的聲波頻率為(波長λ不變)

(1)

當(dāng)觀察者背離聲源運(yùn)動時(shí)，式(1)可適用， 只不過vB為負(fù)值，對應(yīng)的頻率ν′<ν，即觀察者接收到的聲波頻率ν′小于聲源的振動頻率ν.特別是當(dāng)時(shí)觀察者速率vB=-u，ν′=0，這相當(dāng)于觀察者隨聲波的波陣面一起運(yùn)動，也就接收不到聲波.

1.2 觀察者不動聲源相對于介質(zhì)做勻速運(yùn)動

聲源以速率vS向著觀察者做勻速運(yùn)動(以地面為參考系)，如圖1所示，這時(shí)vS>0，假定vS

圖1 聲源相對觀察者勻速運(yùn)動示意圖

由于聲源是做勻速運(yùn)動，所以擠壓均勻，波形并無畸形，只是波長變短，其值為

λ′=λ-vST=uT-vST=

(2)

這時(shí)波相對于觀察者的速率仍是u，因此，觀察者在單位時(shí)間內(nèi)接收到聲源的頻率由于波長的縮短而增大，接收到的頻率變?yōu)?/p>

(3)

如果聲源背離觀察者運(yùn)動，則波長變長，頻率ν′減小，式(3)仍然適用，但vS為負(fù)值，這ν′<ν時(shí)，即觀察者接收到的頻率比聲源的頻率降低了.因此，火車離去時(shí)鳴笛音調(diào)會變低.

1.3 觀察者和聲源同時(shí)相對于介質(zhì)做勻速運(yùn)動

(4)

兩者相互離開時(shí)，式(4)仍然適用，只需對vS和vB按規(guī)定取負(fù)值即可，即

(5)

總結(jié)以上關(guān)于聲波多普勒效應(yīng)的3種情況，可以得到觀察者和波源做勻速運(yùn)動情況下的一個(gè)普遍公式

(6)

2 變速運(yùn)動條件下聲波多普勒效應(yīng)的討論

2.1 波源不動觀察者相對于介質(zhì)做變速運(yùn)動

觀察者不動時(shí)，波在dt時(shí)間內(nèi)將傳播udt的距離，其中包含的波數(shù)設(shè)為dN1，這些波數(shù)將被觀察者所接收.波數(shù)與傳播距離之間有如下關(guān)系

(7)

其中λ為波在介質(zhì)中的波長.當(dāng)觀察者相對于介質(zhì)向著波源運(yùn)動時(shí)，設(shè)經(jīng)過dt時(shí)間內(nèi)運(yùn)動的距離為ds，所包含的波數(shù)設(shè)為dN2，這些波數(shù)將被觀察者接收.它們之間有這樣的關(guān)系式成立

(8)

在dt時(shí)間內(nèi)，觀察者接收到的波數(shù)設(shè)為dN，這里有

dN=dN1+dN2

(9)

根據(jù)式(7)和式(8)得到

(10)

而單位時(shí)間內(nèi)觀察者接收到的波數(shù)即為觀測頻率，所以觀測到的頻率為

(11)

波源的波長λ，波速u，周期T，頻率ν之間滿足

所以，由式(10)和式(11)得

(12)

其中

為觀察者做變速運(yùn)動的速率.

2.2 觀察者不動波源相對于介質(zhì)做變速運(yùn)動

設(shè)觀察者相對于介質(zhì)靜止(以地面為參考系)，而波源沿波源與觀察者連線向著觀察者運(yùn)動.在時(shí)間dt內(nèi)，波傳播的距離為udt，波源運(yùn)動的距離為ds，于是波被壓縮在距離為udt-ds之內(nèi)，從而觀察者探測到的波長λ′將小于波源靜止時(shí)介質(zhì)中的波長λ.而dt為無窮小量，可認(rèn)為波的壓縮是均勻的.在距離udt-ds內(nèi)分布的波數(shù)為

(13)

這些波數(shù)應(yīng)等于dt時(shí)間內(nèi)波源所發(fā)出的波數(shù)dN2，而

dN2=νdt

于是有

(14)

在此情形中，波相對于觀察者而言，傳播速度是不變的，因此

其中T′為觀察者接收到的周期，由式(14)可得

(15)

其中

是波源做變速運(yùn)動的速率.

2.3 觀察者和波源同時(shí)相對于介質(zhì)做變速運(yùn)動

根據(jù)上面兩種情況的討論，在兩者相互趨近過程中，在dt時(shí)間內(nèi)，設(shè)波源和觀察者相對于介質(zhì)運(yùn)動的距離分別為dx和dy.根據(jù)式(10)，dt時(shí)間內(nèi)觀察者接收到的波數(shù)為

根據(jù)式(13)，dt時(shí)間內(nèi)波源發(fā)出的波數(shù)為

而dt時(shí)間內(nèi)觀察者接收到的波數(shù)等于相同dt時(shí)間內(nèi)波源發(fā)出的波數(shù)，所以有

(16)

式(16)中

式(16)可變換為

(17)

式(17)中

和

分別為觀察者和波源相對于介質(zhì)的速率.

兩者相互離開時(shí)，式(17)仍然適用，只需對vS和vB按規(guī)定取負(fù)值即可，即

(18)

式(17)就是觀察者和波源做變速運(yùn)動情況下多普勒效應(yīng)的普遍公式.

3 結(jié)束語

由式(6)、式(17)可知，無論觀察者和波源做勻速運(yùn)動，還是做變速運(yùn)動，對應(yīng)的多普勒效應(yīng)公式都是相同的.

1 劉戰(zhàn)存.多普勒和多普勒效應(yīng)的起源.物理，2003，32(7)：488～4912 祁占林. 解析聲波的多普勒效應(yīng).青海師范大學(xué)民族師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008，19(2): 77～78

3 潘盛成，童培雄，趙在忠. 反射式聲波多普勒效應(yīng)測速實(shí)驗(yàn).物理與工程，2010，20(4)：70～71

4 樓開顏. 基于相對運(yùn)動的聲波多普勒效應(yīng)公式.物理教師，2013， 34(10)：90～92 5 武璇，黃雙印，郭振平. 非慣性運(yùn)動下聲波的多普勒效應(yīng). 延邊大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015， 41(3)：215～218

Deriving the Formula of the Doppler Effect of Sound Wave in Uniform and Variable Speed Motion

Li Yunmei Yu Taihui Cai Wude

(Institute of Physics and Electronic Information,Yunnan Normal University, Kunming, Yunnan 650500)

A detail derivation of the Doppler effect of acoustic wave is given considering wave source and observer moving at uniform and variable speed. As a result, the corresponding formulas of the Doppler effect are the same no matter the observers and the source moves uniformily or not.

formula of the Doppler effect; sound wave; uniform speed motion; variable speed motion

李云梅(1985- ),女，在讀碩士研究生，研究方向?qū)W科教學(xué)(物理).

指導(dǎo)教師：蔡武德(1966- )，男，教授，研究方向?yàn)檎n程與教學(xué)論.

2016-05-20)