跨越數(shù)學(xué)文化，打開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解之路
——以“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)茅莉萍

跨越數(shù)學(xué)文化，打開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解之路
——以“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省無錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)茅莉萍

一、背景簡介

目前，從中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀來看，現(xiàn)行的蘇科版教材已經(jīng)有了一些數(shù)學(xué)文化方面的素材來供學(xué)生學(xué)習(xí)，一些數(shù)學(xué)課外讀物也專門設(shè)置了數(shù)學(xué)文化方面的相關(guān)內(nèi)容來讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，可見，數(shù)學(xué)文化走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂已經(jīng)成為當(dāng)下數(shù)學(xué)發(fā)展的一種趨勢，正是在這樣的背景下筆者以“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)為例，設(shè)計(jì)了這樣一節(jié)跨越數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的專題實(shí)踐課.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）課前準(zhǔn)備

1.復(fù)習(xí)數(shù)軸相關(guān)概念

（1）什么是數(shù)軸？____________________________

（2）如圖1，指出數(shù)軸上A、B、C各點(diǎn)分別表示什么數(shù)：

圖1

A點(diǎn)表示___，B點(diǎn)表示___，C點(diǎn)表示___.

（3）在圖1所示的數(shù)軸上標(biāo)出表示-1.5，0，3的對應(yīng)點(diǎn)D、E、F.

（4）數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間是一種什么關(guān)系？_____________________________

2.預(yù)習(xí)“平面直角坐標(biāo)系”

圖2

圖2 是某時刻拍攝的某地區(qū)的俯視圖，此時汽車A、B、C、D、E、F離站臺O的距離分別為200米、100米、100米、200米、150米、100米；音樂噴泉G距南北路100米，距東西路150米.

問題：（1）若把汽車、音樂噴泉、站臺看成點(diǎn)，這兩條路可以看成什么？

（2）你能用實(shí)數(shù)表示點(diǎn)A、B、O、C、D嗎？談?wù)勀愕南敕?

（3）類比已解決的問題你能描述點(diǎn)E、F嗎？

（4）結(jié)合生活中的實(shí)例，談?wù)勀銣?zhǔn)備怎么描述音樂噴泉的位置？

（二）課中探究

1.平面直角坐標(biāo)系

平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角坐標(biāo)系（也稱為笛卡兒坐標(biāo)系）.在這里穿插介紹笛卡爾建立平面直角坐標(biāo)系相關(guān)的數(shù)學(xué)史的知識，讓學(xué)生能夠更好地理解平面直角坐標(biāo)系建立的歷史和文化.隨之提出問題：（1）要建立平面直角坐標(biāo)系，在平面上必須畫幾條數(shù)軸？（2）這兩條數(shù)軸要滿足哪些條件？（互相垂直、原點(diǎn)重合且具有相同單位長度）

2.象限

圖3

坐標(biāo)軸將平面分成的四個區(qū)域稱為象限，按逆時針順序分別記為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.如圖3所示的坐標(biāo)軸上的點(diǎn)（如點(diǎn)A、B、O、C、D、E、F）不屬于任何象限.

3.點(diǎn)的坐標(biāo)

（1）已知點(diǎn)的位置確定坐標(biāo).

問題：①結(jié)合生活中的實(shí)例，談?wù)勀銣?zhǔn)備怎么描述音樂噴泉的位置？

圖4

圖5

②在直角坐標(biāo)系中，能用兩個數(shù)據(jù)描述點(diǎn)G的位置嗎？如何描述？

辨析：能指出（150，-100）所表示點(diǎn)的位置嗎？是點(diǎn)G嗎？（利用圖4研究）

酒款亮點(diǎn)：皮耶諾酒莊（Pierro）創(chuàng)立于1979年，莊主麥克·彼得金（Michael Peterkin）的熱情和充滿創(chuàng)意的釀酒技術(shù)，讓皮耶諾的葡萄酒很快就打出知名度。如今，皮耶諾的紅葡萄酒已經(jīng)躋身產(chǎn)區(qū)頂級行列，出產(chǎn)的白葡萄酒更是聲名顯赫，尤其是皮耶諾的霞多麗，被稱為世界級的精品白葡萄酒，為瑪格利特河產(chǎn)區(qū)贏得了“真正的精品霞多麗之鄉(xiāng)”的美譽(yù)。釀酒葡萄按照成熟度手工分批采摘，20%在新法國桶和1-2年法國桶中發(fā)酵熟成,80%在不銹鋼桶中發(fā)酵熟成。LTC表示Little Touch of Chardonnay，是皮耶諾最受歡迎的特色酒款之一。

嘗試：在平面直角坐標(biāo)系（圖5）中，寫出點(diǎn)A、B、C、D、E、F的坐標(biāo).

（2）已知點(diǎn)的坐標(biāo)確定位置.

嘗試：在平面直角坐標(biāo)系（圖5）中，寫出點(diǎn)A、B、C、D、E、F的坐標(biāo)；描出坐標(biāo)（-3，6）、（0，6）、（3，6）、（3，3）、（3，-3）、（-3，-3）、（-1，0）、（-3，3）所對應(yīng)的點(diǎn)G、H、I、J、K、L、M、N.

（三）探究規(guī)律

探究1：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特征：各個象限內(nèi)點(diǎn)的符號特征；各個象限內(nèi)點(diǎn)的絕對值特征；坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)有何特征.

探究2：（1）一般情況下，表示點(diǎn)的坐標(biāo)的兩個數(shù)值不能互換，有沒有一個點(diǎn)的坐標(biāo)，它的兩個數(shù)值可以互換？若有，它在哪里？（2）二四象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特征？（3）對于點(diǎn)P（a，b），a的數(shù)值變化、b的數(shù)值不變，那么點(diǎn)P的位置會發(fā)生怎樣的變化？（4）對于點(diǎn)P（a，b），a的數(shù)值不變、b的數(shù)值變化，那么點(diǎn)P的位置會發(fā)生怎樣的變化？

（四）小結(jié)提升（對本課進(jìn)行完整總結(jié)，六個“一”）

一種方法——確定點(diǎn)及圖形的位置；

一種思想——數(shù)形結(jié)合（數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微）；

一次經(jīng)歷——建立平面直角坐標(biāo)系及其運(yùn)用過程；

一份收獲——多了一種解決問題的工具，解決問題的思想方法；

一種文化——數(shù)學(xué)本身就是一種文化的傳承.

三、教學(xué)思考

1.重視與文化背景的聯(lián)系

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中關(guān)于數(shù)學(xué)文化的教學(xué)建議：選擇介紹一些對數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，介紹有關(guān)的數(shù)學(xué)背景知識.本節(jié)課正好結(jié)合笛卡爾建立平面直角坐標(biāo)系的歷史來進(jìn)行關(guān)聯(lián)，這樣的設(shè)計(jì)和實(shí)施，就是將著眼點(diǎn)放到數(shù)學(xué)文化的層面來有效的進(jìn)行，很好地拓寬了數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于數(shù)學(xué)文化的理解，從而也認(rèn)識了數(shù)學(xué)文化中具有的豐富聯(lián)系.當(dāng)然，數(shù)學(xué)文化的滲透，我們可以從兩個方面來實(shí)現(xiàn)跨越：其一，橫向的跨越，橫向的聯(lián)系可以與其他學(xué)科的知識進(jìn)行聯(lián)系，其中如果能貫穿數(shù)學(xué)與思維領(lǐng)域的聯(lián)系則效果更好；其二，縱向方面的聯(lián)系，這里是指與學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中所處的文化背景的關(guān)聯(lián)，以及每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)際情況，包括所接觸的現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)規(guī)律、概念及相關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu).回到本節(jié)課中，筆者努力創(chuàng)設(shè)問題情境，并進(jìn)行了嘗試和實(shí)施，將生活中的實(shí)例引入，抽象出數(shù)學(xué)的模型，讓學(xué)生身臨其境，從而更好地理解平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)概念，也是對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一種有效的激發(fā).

2.數(shù)學(xué)化理解——逐步抽象，過程遞進(jìn)

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)化就是數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過程，同時，數(shù)學(xué)化的對象也可以分為兩類：一類是現(xiàn)實(shí)客觀世界，另一類就是數(shù)學(xué)本身.如果由此理論出發(fā)，數(shù)學(xué)化的理解也可分為橫向和縱向兩種情形，通過以上兩種情形，運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)概念、關(guān)系、問題、方法、思想的數(shù)學(xué)語言，傳遞信息、情感與觀念的過程.回到本課中來，為了讓學(xué)生自覺體會到數(shù)學(xué)是一種文化，通過教學(xué)過程的自然深入，教師應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)化的過程體驗(yàn)，而逐步抽象，過程遞進(jìn)正是數(shù)學(xué)化理解的特征所在.在“建立平面直角坐標(biāo)系”的階段，學(xué)生更多地感受到的是生活中的實(shí)例，數(shù)學(xué)來源于生活，但又不局限于生活，它必然是高于生活的，于是，教師指導(dǎo)學(xué)生從生活情境不斷抽象出數(shù)學(xué)模型，從而很好地體驗(yàn)了笛卡爾建立平面直角坐標(biāo)系的過程，這是一種對經(jīng)驗(yàn)的尊重.從“歷史發(fā)生原理”選擇合適的教學(xué)手段，從而設(shè)置更加符合學(xué)生認(rèn)知水平和經(jīng)驗(yàn)的自然的教學(xué)過程，當(dāng)然這樣的過程也僅僅是一種手段或者工具，面對不同的教學(xué)內(nèi)容，仍需進(jìn)行區(qū)分對待，靈活地進(jìn)行運(yùn)用.

四、設(shè)計(jì)合理性與人性化的統(tǒng)一

筆者認(rèn)為，跨越數(shù)學(xué)文化的理解教學(xué)，應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)本質(zhì)（數(shù)學(xué)的文化本質(zhì)）出發(fā)，建立數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)史、社會文化、數(shù)學(xué)應(yīng)用等的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)文化與學(xué)生的認(rèn)識和經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián).在平面直角坐標(biāo)系的設(shè)計(jì)中，筆者也試圖

讓學(xué)生對其文化本質(zhì)進(jìn)行領(lǐng)悟和關(guān)聯(lián)，即通過平面直角坐標(biāo)系這樣一種工具，建立起數(shù)與形之間的有效聯(lián)系，通過工具尋找解決問題的方法和實(shí)質(zhì).當(dāng)然，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，教師也可以放手讓他們多交流，通過師生和生生之間的互動和交流，讓學(xué)生對平面直角坐標(biāo)系產(chǎn)生更深入的認(rèn)識和理解，最終體驗(yàn)到數(shù)學(xué)本質(zhì)的最高境界——數(shù)學(xué)從本質(zhì)上來說就是一種文化.

五、核心統(tǒng)領(lǐng)，拓展升華

目前，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已經(jīng)越來越受到重視，也越來越提到議事日程上來了.而在課堂上，核心素養(yǎng)往往體現(xiàn)在核心概念上面.核心概念是指概念體系中居于核心位置的具有生成力的那部分概念，對于平面直角坐標(biāo)系而言，就是建立的依據(jù)和方法，以及內(nèi)在的一些聯(lián)系.這種聯(lián)系不僅局限在數(shù)學(xué)系統(tǒng)之內(nèi)，還能夠延伸到數(shù)學(xué)系統(tǒng)之外——將數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)以外的文化聯(lián)系起來（具有文化關(guān)聯(lián)性），教師圍繞核心打破固定的數(shù)學(xué)教材界限和傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容，形成新的概念和想法，并給予學(xué)生一種全新的認(rèn)識——正如這節(jié)課中六個“一”的概念，從工具、方法、思想，到經(jīng)歷、收獲，最終實(shí)現(xiàn)的是文化上面的一次飛躍.當(dāng)然，數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行有效滲透也并非一朝一夕之事，但作為未來的發(fā)展方向也一定是大勢所趨.

1.張維忠，汪曉勤.文化傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2006.

2.李文林.數(shù)學(xué)史概論［M］.北京：高等教育出版社，2002.

3.弗賴登塔爾，著.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)［M］.陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.F