關(guān)注數(shù)學(xué)整體突出核心過(guò)程

☉江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校許榮良

關(guān)注數(shù)學(xué)整體突出核心過(guò)程

☉江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校許榮良

一、問(wèn)題提出

反觀課改以來(lái)的教學(xué)，大家特別注重情境創(chuàng)設(shè)，注重學(xué)生活動(dòng)，卻忽視知識(shí)間的聯(lián)系，經(jīng)常出現(xiàn)“一課一個(gè)樣，課課不重樣”的現(xiàn)象，不注重激發(fā)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，不注重滲透研究問(wèn)題的基本套路，缺乏數(shù)學(xué)整體觀.整體觀是指從全局考慮問(wèn)題的觀念，它是控制論、信息論、系統(tǒng)論中整體原理在數(shù)學(xué)中的反映，培養(yǎng)學(xué)生整體觀主要是培養(yǎng)“學(xué)術(shù)整體觀”和“文化整體觀”.學(xué)術(shù)整體觀是指在解題策略上整體考慮問(wèn)題的意識(shí)，文化整體觀是指從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的意識(shí).要全面、立體地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，形成數(shù)學(xué)的整體觀必不可少.教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)、研究思路、研究?jī)?nèi)容、研究方法等對(duì)象置于整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，重視知識(shí)之間的演進(jìn)和內(nèi)在關(guān)聯(lián).

同時(shí)，隨著課改的深入，注重知識(shí)的形成過(guò)程已成為共識(shí).實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師對(duì)如何經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程研究不夠，過(guò)程教學(xué)吃壓縮餅干，草草了事，取而代之的是大量的例、習(xí)題操練.另一種現(xiàn)象恰恰相反，就是“半截課”，所謂“半截課”是指知識(shí)形成過(guò)程過(guò)于冗長(zhǎng)，占據(jù)大半節(jié)甚至整節(jié)課的時(shí)間，導(dǎo)致知識(shí)鞏固或知識(shí)運(yùn)用板塊時(shí)間不足，前松后緊、虎頭蛇尾.偶爾為之不為過(guò)，經(jīng)常如此顯然會(huì)擾亂教學(xué)秩序，脫離教學(xué)實(shí)際.如何使過(guò)程教學(xué)厚重悠遠(yuǎn)，又顯靈巧之意、簡(jiǎn)約之美？這就需要我們?cè)谏钊胙芯窟^(guò)程內(nèi)涵、著力挖掘過(guò)程本質(zhì)的基礎(chǔ)上，做到精中求簡(jiǎn)、返璞歸真，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)特有的“教育形態(tài)”，使得學(xué)生高效率、高質(zhì)量地領(lǐng)會(huì)和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力.現(xiàn)以蘇科版七年級(jí)下冊(cè)第7章平面圖形認(rèn)識(shí)（二）第2節(jié)探索平行線的性質(zhì)（1）為例，談?wù)劸唧w做法和實(shí)踐心得.

二、教學(xué)過(guò)程

活動(dòng)1：溫故知新

問(wèn)題1：前面我們探索了兩條直線平行的條件，請(qǐng)敘述平行線的條件，這些判定直線平行的條件有什么共同特征？

預(yù)設(shè)：這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該是上一節(jié)課重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容.學(xué)生的回答不一定那么精確，需要教師引導(dǎo)得到：在兩條直線被第三條直線所截的圖形中，都是由角的數(shù)量關(guān)系判定兩直線的位置關(guān)系.

問(wèn)題2：反過(guò)來(lái)，如果已知兩直線平行，那么這兩條直線被第三條直線所截成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？如何探究這個(gè)問(wèn)題呢？

預(yù)設(shè)：這個(gè)問(wèn)題不要求學(xué)生及時(shí)回答，應(yīng)讓學(xué)生靜靜思考幾秒鐘，目的是讓學(xué)生體會(huì)如何利用條件與性質(zhì)之間的關(guān)系去發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題1復(fù)習(xí)平行線的三種條件及它們的特征，為區(qū)分平行線的性質(zhì)和判定作好鋪墊.通過(guò)問(wèn)題2，讓學(xué)生體驗(yàn)條件與性質(zhì)之間的聯(lián)系，以及利用它們之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.

活動(dòng)2：探索新知

問(wèn)題3：我們先來(lái)回憶探索平行線條件的方法，你能

說(shuō)出探索平行線條件的方法嗎？

預(yù)設(shè)：探索平行線條件的方法：通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)獲得基本事實(shí)和其他猜想，再利用基本事實(shí)及學(xué)過(guò)的知識(shí)通過(guò)推理證實(shí)猜想.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)平行線的三種條件特征的研究方法，引導(dǎo)學(xué)生類比研究平行線特征的過(guò)程來(lái)構(gòu)建平行線性質(zhì)的研究過(guò)程，讓學(xué)生充分體驗(yàn)如何利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)分析和思考問(wèn)題，以及充分體驗(yàn)研究一個(gè)幾何問(wèn)題的基本思路.

問(wèn)題4：我們先來(lái)探究如果已知兩直線平行，那么這兩條直線被第三條直線所截成的同位角有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

我們可以利用練習(xí)本上的平行線條，先畫(huà)兩條平行線AB、CD，再畫(huà)直線EF，使EF與AB、CD相交，找出圖形中的所有同位角.

（1）觀察：可得____________.

（2）實(shí)驗(yàn)：按照課本P13數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行操作，可得____________.

（3）猜想：____________.

（4）推理：與平行線的條件不同，這個(gè)結(jié)論我們不把它作為基本事實(shí)，可以證明.下面請(qǐng)同學(xué)們欣賞一下這個(gè)有趣的證明.

如何說(shuō)明“兩直線平行，同位角相等”？

反證法：如果AB∥CD，那么∠1=∠2.假設(shè)∠1≠∠2，如圖1，過(guò)點(diǎn)O作直線A′B′，使∠EOB′=∠1.根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”這個(gè)基本事實(shí)，可得A′B′∥CD.這樣，過(guò)點(diǎn)O就有兩條直線AB、A′B′平行于CD，這與基本事實(shí)“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾，說(shuō)明∠1≠∠2的假設(shè)是不對(duì)的，于是∠1=∠2.

圖1

圖2

由此得到性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等.

結(jié)合圖2表達(dá)結(jié)論：

∵a∥b，（已知）

∴∠1=∠2.（兩直線平行，同位角相等）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)提示語(yǔ)言，讓學(xué)生充分感受問(wèn)題的提出和研究的方法，從而掌握研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般性方法，即看、驗(yàn)、猜、證.對(duì)于平行線性質(zhì)的證明，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中寫(xiě)道：了解平行線性質(zhì)定理的證明.作為選學(xué)內(nèi)容，這里只是展示證明過(guò)程，讓學(xué)生了解反證法，有利于提高學(xué)生的思維能力，也避免學(xué)生對(duì)循環(huán)論證的疑惑.

問(wèn)題5：請(qǐng)按照上面的步驟，研究另外兩個(gè)問(wèn)題.先探究性質(zhì)2：

（1）觀察：可得__________.

（2）實(shí)驗(yàn)：按照課本P14數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行操作，可得_____.

（3）猜想：_____.

（4）推理：我們可以利用上面確定了的結(jié)論進(jìn)行證明（因、果和因到果的理由）.

（5）寫(xiě)出結(jié)論，并用推理的形式進(jìn)行表示.

（6）小結(jié)：

設(shè)計(jì)意圖：先在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生充分經(jīng)歷動(dòng)手操作—獨(dú)立思考—合作交流—驗(yàn)證猜想的探究過(guò)程得到性質(zhì)2，在這一過(guò)程中，鍛煉學(xué)生由圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言、文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言的歸納能力和表達(dá)能力.同時(shí)在小結(jié)中利用思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生感受推理的過(guò)程和書(shū)寫(xiě)，為下一步推理性質(zhì)3及今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)推理打下基礎(chǔ).

問(wèn)題6：探究性質(zhì)3，你能寫(xiě)出類似的推理過(guò)程嗎？即問(wèn)題：如果直線a∥b，那么同旁內(nèi)角∠2與∠4有什么關(guān)系？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自主感受一下研究方法，逐步構(gòu)建研究思路，循序漸進(jìn)地學(xué)會(huì)思考，從“說(shuō)點(diǎn)兒理”向“說(shuō)清理”過(guò)渡.

問(wèn)題7：對(duì)比分析平行線判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系：

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)思維導(dǎo)圖，有利于學(xué)生更好地區(qū)分性質(zhì)與判定，從而突破本課難點(diǎn).

活動(dòng)3：例題與練習(xí)（略）

活動(dòng)4：課堂小結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：

（1）平行線的性質(zhì)是什么？條件與性質(zhì)之間有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？

（2）你能用自己的語(yǔ)言敘述研究平行線性質(zhì)的過(guò)程嗎？

（3）本節(jié)課通過(guò)簡(jiǎn)單推理得到性質(zhì)2和性質(zhì)3，在推理過(guò)程中需要注意哪些問(wèn)題？

（4）請(qǐng)總結(jié)一下幾何圖形的一般研究套路.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容——平行線的性質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生回顧探究平行線性質(zhì)的過(guò)程，體會(huì)研究平行線性質(zhì)的方法，掌握研究圖形性質(zhì)的方法.同時(shí)，通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)讓學(xué)生形成小結(jié)的方法.

三、幾點(diǎn)思考

1.構(gòu)建一個(gè)研究平行線的整體框架

教師可嘗試從定義、分類、判定、性質(zhì)的路徑來(lái)研究，通過(guò)這樣的整體觀，給學(xué)生“構(gòu)建一個(gè)研究平行線的整體框架”，為后繼研究三角形、四邊形、圓等圖形奠定基礎(chǔ).

首先，回憶從文字表達(dá)、圖形表達(dá)、符號(hào)表示三個(gè)方面進(jìn)行定義；其次，由于平行線的定義是描述性的，由平行線的定義知道平行線有“在同一平面內(nèi)不相交（沒(méi)有公共點(diǎn)）”的性質(zhì)，但直線是無(wú)限延伸的，難以區(qū)分平行線與一個(gè)夾角極小的相交線，所以有必要從其他角度進(jìn)一步探究和描述平行線的性質(zhì).絕大多數(shù)研究平行線的條件是從一些以往的經(jīng)驗(yàn)，比如上學(xué)期畫(huà)平行線的方法中的探究，或通過(guò)利用兩條直線被第三條直線所截的模型，讓學(xué)生通過(guò)觀察去發(fā)現(xiàn)的.其實(shí)由于組成平行線的基本要素很少，只有兩條線，所以需要借助一些輔助條件來(lái)協(xié)助研究，這樣第三條直線就產(chǎn)生了.這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察圖形，然后引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)看到的圖形去探究有什么值得研究，這時(shí)對(duì)“三線八角”進(jìn)行分類探究就水到渠成了.最后研究性質(zhì)，不能一上來(lái)就是操作，應(yīng)該讓學(xué)生知道為什么要這樣操作，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從條件中去探究，知道條件與性質(zhì)之間的關(guān)系，自然就能讓學(xué)生形成“一個(gè)研究平行線的整體框架”.

2.構(gòu)建研究幾何圖形的一般方法

上面是解決研究什么的問(wèn)題，下面就是要解決怎樣研究的問(wèn)題.首先，我們要知道研究數(shù)學(xué)的工具是什么（位置、數(shù)量、基本圖形）；其次，我們?nèi)绾潍@得數(shù)學(xué)結(jié)論（看、驗(yàn)、猜、證）.我們要在每一節(jié)課中進(jìn)行強(qiáng)化.縱觀絕大多數(shù)的課堂，其實(shí)都能注意這一點(diǎn)，但是教師就是缺乏強(qiáng)調(diào)和總結(jié)，往往就是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下動(dòng)手做一遍，并不知道為什么要這樣做，這樣離開(kāi)教師的提示，學(xué)生根本不能自主完成探究.

本節(jié)課，首先，要讓學(xué)生緊緊抓住基本圖形，然后從基本要素角先入手，從位置、數(shù)量著手去發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，通過(guò)類比利用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)去分析和解決問(wèn)題；其次，利用語(yǔ)言提示，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“看、驗(yàn)、猜、證”的思維過(guò)程，使學(xué)生形成科學(xué)的思維方法.

3.注意選擇核心過(guò)程

尊重“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)再造的起點(diǎn)，讓經(jīng)驗(yàn)直觀化.數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)“再造”是在尊重學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上，激活學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，使得已有經(jīng)驗(yàn)成為“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.本節(jié)課，首先根據(jù)平行線的條件和研究平行線的條件這一“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，通過(guò)類比遷移引入新課.

新課程提倡開(kāi)放、民主、探究的課堂，但是有放就得有收.“放”是培養(yǎng)發(fā)散思維、創(chuàng)新精神.“收”體現(xiàn)教師的引導(dǎo)作用.有的課例中，教師把證明“兩直線平行，同位角相等”作為重點(diǎn).本節(jié)課的重點(diǎn)是平行線的條件與判定的關(guān)系，如何研究幾何問(wèn)題應(yīng)作為一個(gè)重點(diǎn)突出.

本節(jié)課在細(xì)節(jié)上精心設(shè)置每一個(gè)問(wèn)題，以求問(wèn)在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)；反復(fù)推敲每一句過(guò)渡語(yǔ)言，以求承上啟下、邏輯連貫、銜接自然.

注重概念的形成過(guò)程、按照概念的形成方式掌握概念并不意味著要經(jīng)歷人類認(rèn)識(shí)這一概念的原過(guò)程.不錯(cuò)，中學(xué)數(shù)學(xué)概念都是在人類社會(huì)歷史發(fā)展的過(guò)程中，隨著生產(chǎn)、生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的不斷積累、概括逐步形成的，許多概念都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，但學(xué)生并不需要（也不可能）重復(fù)前人的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，而只需要“簡(jiǎn)約”地經(jīng)歷.認(rèn)知心理學(xué)研究表明，學(xué)生掌握概念的過(guò)程與人類認(rèn)識(shí)概念的過(guò)程有相似性.這種相似性反映在學(xué)生形成概念的心理過(guò)程中，包括從大量的具體事實(shí)出發(fā)，辨別、抽象、分化、提出假設(shè)與檢驗(yàn)假設(shè)及概括，最后用語(yǔ)言符號(hào)表示概念.由此可見(jiàn)，我們強(qiáng)調(diào)概念的形成，強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn)，并不意味著都要讓學(xué)生經(jīng)歷反復(fù)曲折的思考，或者過(guò)于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^(guò)程，不要忽視觀察、類比、頓悟、猜想等合情推理在知識(shí)形成過(guò)程中的巨大作用.教學(xué)的關(guān)鍵在于把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，精中求簡(jiǎn)，保持核心價(jià)值.

其實(shí)性質(zhì)、條件的研究也是在做題目，而且這樣的題目具有典型性，其遷移能力是很強(qiáng)的.本節(jié)課，性質(zhì)2、3的推理過(guò)程對(duì)提升學(xué)生的推理能力特別有幫助.Z