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      關(guān)注數(shù)學(xué)整體突出核心過(guò)程

      2016-12-08 06:24:55江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校許榮良
      中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年22期
      關(guān)鍵詞:同位角平行線性質(zhì)

      ☉江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校許榮良

      關(guān)注數(shù)學(xué)整體突出核心過(guò)程

      ☉江蘇省運(yùn)河高等師范學(xué)校許榮良

      一、問(wèn)題提出

      反觀課改以來(lái)的教學(xué),大家特別注重情境創(chuàng)設(shè),注重學(xué)生活動(dòng),卻忽視知識(shí)間的聯(lián)系,經(jīng)常出現(xiàn)“一課一個(gè)樣,課課不重樣”的現(xiàn)象,不注重激發(fā)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn),不注重滲透研究問(wèn)題的基本套路,缺乏數(shù)學(xué)整體觀.整體觀是指從全局考慮問(wèn)題的觀念,它是控制論、信息論、系統(tǒng)論中整體原理在數(shù)學(xué)中的反映,培養(yǎng)學(xué)生整體觀主要是培養(yǎng)“學(xué)術(shù)整體觀”和“文化整體觀”.學(xué)術(shù)整體觀是指在解題策略上整體考慮問(wèn)題的意識(shí),文化整體觀是指從整體上認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的意識(shí).要全面、立體地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué),形成數(shù)學(xué)的整體觀必不可少.教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí),應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)、研究思路、研究?jī)?nèi)容、研究方法等對(duì)象置于整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系中,重視知識(shí)之間的演進(jìn)和內(nèi)在關(guān)聯(lián).

      同時(shí),隨著課改的深入,注重知識(shí)的形成過(guò)程已成為共識(shí).實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中,部分教師對(duì)如何經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程研究不夠,過(guò)程教學(xué)吃壓縮餅干,草草了事,取而代之的是大量的例、習(xí)題操練.另一種現(xiàn)象恰恰相反,就是“半截課”,所謂“半截課”是指知識(shí)形成過(guò)程過(guò)于冗長(zhǎng),占據(jù)大半節(jié)甚至整節(jié)課的時(shí)間,導(dǎo)致知識(shí)鞏固或知識(shí)運(yùn)用板塊時(shí)間不足,前松后緊、虎頭蛇尾.偶爾為之不為過(guò),經(jīng)常如此顯然會(huì)擾亂教學(xué)秩序,脫離教學(xué)實(shí)際.如何使過(guò)程教學(xué)厚重悠遠(yuǎn),又顯靈巧之意、簡(jiǎn)約之美?這就需要我們?cè)谏钊胙芯窟^(guò)程內(nèi)涵、著力挖掘過(guò)程本質(zhì)的基礎(chǔ)上,做到精中求簡(jiǎn)、返璞歸真,呈現(xiàn)數(shù)學(xué)特有的“教育形態(tài)”,使得學(xué)生高效率、高質(zhì)量地領(lǐng)會(huì)和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力.現(xiàn)以蘇科版七年級(jí)下冊(cè)第7章平面圖形認(rèn)識(shí)(二)第2節(jié)探索平行線的性質(zhì)(1)為例,談?wù)劸唧w做法和實(shí)踐心得.

      二、教學(xué)過(guò)程

      活動(dòng)1:溫故知新

      問(wèn)題1:前面我們探索了兩條直線平行的條件,請(qǐng)敘述平行線的條件,這些判定直線平行的條件有什么共同特征?

      預(yù)設(shè):這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該是上一節(jié)課重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容.學(xué)生的回答不一定那么精確,需要教師引導(dǎo)得到:在兩條直線被第三條直線所截的圖形中,都是由角的數(shù)量關(guān)系判定兩直線的位置關(guān)系.

      問(wèn)題2:反過(guò)來(lái),如果已知兩直線平行,那么這兩條直線被第三條直線所截成的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?如何探究這個(gè)問(wèn)題呢?

      預(yù)設(shè):這個(gè)問(wèn)題不要求學(xué)生及時(shí)回答,應(yīng)讓學(xué)生靜靜思考幾秒鐘,目的是讓學(xué)生體會(huì)如何利用條件與性質(zhì)之間的關(guān)系去發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.

      設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)問(wèn)題1復(fù)習(xí)平行線的三種條件及它們的特征,為區(qū)分平行線的性質(zhì)和判定作好鋪墊.通過(guò)問(wèn)題2,讓學(xué)生體驗(yàn)條件與性質(zhì)之間的聯(lián)系,以及利用它們之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.

      活動(dòng)2:探索新知

      問(wèn)題3:我們先來(lái)回憶探索平行線條件的方法,你能

      說(shuō)出探索平行線條件的方法嗎?

      預(yù)設(shè):探索平行線條件的方法:通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)獲得基本事實(shí)和其他猜想,再利用基本事實(shí)及學(xué)過(guò)的知識(shí)通過(guò)推理證實(shí)猜想.

      設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)復(fù)習(xí)平行線的三種條件特征的研究方法,引導(dǎo)學(xué)生類比研究平行線特征的過(guò)程來(lái)構(gòu)建平行線性質(zhì)的研究過(guò)程,讓學(xué)生充分體驗(yàn)如何利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)分析和思考問(wèn)題,以及充分體驗(yàn)研究一個(gè)幾何問(wèn)題的基本思路.

      問(wèn)題4:我們先來(lái)探究如果已知兩直線平行,那么這兩條直線被第三條直線所截成的同位角有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

      我們可以利用練習(xí)本上的平行線條,先畫(huà)兩條平行線AB、CD,再畫(huà)直線EF,使EF與AB、CD相交,找出圖形中的所有同位角.

      (1)觀察:可得____________.

      (2)實(shí)驗(yàn):按照課本P13數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行操作,可得____________.

      (3)猜想:____________.

      (4)推理:與平行線的條件不同,這個(gè)結(jié)論我們不把它作為基本事實(shí),可以證明.下面請(qǐng)同學(xué)們欣賞一下這個(gè)有趣的證明.

      如何說(shuō)明“兩直線平行,同位角相等”?

      反證法:如果AB∥CD,那么∠1=∠2.假設(shè)∠1≠∠2,如圖1,過(guò)點(diǎn)O作直線A′B′,使∠EOB′=∠1.根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行”這個(gè)基本事實(shí),可得A′B′∥CD.這樣,過(guò)點(diǎn)O就有兩條直線AB、A′B′平行于CD,這與基本事實(shí)“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾,說(shuō)明∠1≠∠2的假設(shè)是不對(duì)的,于是∠1=∠2.

      圖1

      圖2

      由此得到性質(zhì)1:兩直線平行,同位角相等.

      結(jié)合圖2表達(dá)結(jié)論:

      ∵a∥b,(已知)

      ∴∠1=∠2.(兩直線平行,同位角相等)

      設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)提示語(yǔ)言,讓學(xué)生充分感受問(wèn)題的提出和研究的方法,從而掌握研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般性方法,即看、驗(yàn)、猜、證.對(duì)于平行線性質(zhì)的證明,數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中寫(xiě)道:了解平行線性質(zhì)定理的證明.作為選學(xué)內(nèi)容,這里只是展示證明過(guò)程,讓學(xué)生了解反證法,有利于提高學(xué)生的思維能力,也避免學(xué)生對(duì)循環(huán)論證的疑惑.

      問(wèn)題5:請(qǐng)按照上面的步驟,研究另外兩個(gè)問(wèn)題.先探究性質(zhì)2:

      (1)觀察:可得__________.

      (2)實(shí)驗(yàn):按照課本P14數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行操作,可得_____.

      (3)猜想:_____.

      (4)推理:我們可以利用上面確定了的結(jié)論進(jìn)行證明(因、果和因到果的理由).

      (5)寫(xiě)出結(jié)論,并用推理的形式進(jìn)行表示.

      (6)小結(jié):

      設(shè)計(jì)意圖:先在教師的引導(dǎo)下,讓學(xué)生充分經(jīng)歷動(dòng)手操作—獨(dú)立思考—合作交流—驗(yàn)證猜想的探究過(guò)程得到性質(zhì)2,在這一過(guò)程中,鍛煉學(xué)生由圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言、文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言的歸納能力和表達(dá)能力.同時(shí)在小結(jié)中利用思維導(dǎo)圖,讓學(xué)生感受推理的過(guò)程和書(shū)寫(xiě),為下一步推理性質(zhì)3及今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)推理打下基礎(chǔ).

      問(wèn)題6:探究性質(zhì)3,你能寫(xiě)出類似的推理過(guò)程嗎?即問(wèn)題:如果直線a∥b,那么同旁內(nèi)角∠2與∠4有什么關(guān)系?為什么?

      設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生自主感受一下研究方法,逐步構(gòu)建研究思路,循序漸進(jìn)地學(xué)會(huì)思考,從“說(shuō)點(diǎn)兒理”向“說(shuō)清理”過(guò)渡.

      問(wèn)題7:對(duì)比分析平行線判定與性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系:

      設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)思維導(dǎo)圖,有利于學(xué)生更好地區(qū)分性質(zhì)與判定,從而突破本課難點(diǎn).

      活動(dòng)3:例題與練習(xí)(略)

      活動(dòng)4:課堂小結(jié)

      教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容,并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題:

      (1)平行線的性質(zhì)是什么?條件與性質(zhì)之間有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系?

      (2)你能用自己的語(yǔ)言敘述研究平行線性質(zhì)的過(guò)程嗎?

      (3)本節(jié)課通過(guò)簡(jiǎn)單推理得到性質(zhì)2和性質(zhì)3,在推理過(guò)程中需要注意哪些問(wèn)題?

      (4)請(qǐng)總結(jié)一下幾何圖形的一般研究套路.

      設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)小結(jié),幫助學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容——平行線的性質(zhì),引領(lǐng)學(xué)生回顧探究平行線性質(zhì)的過(guò)程,體會(huì)研究平行線性質(zhì)的方法,掌握研究圖形性質(zhì)的方法.同時(shí),通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)讓學(xué)生形成小結(jié)的方法.

      三、幾點(diǎn)思考

      1.構(gòu)建一個(gè)研究平行線的整體框架

      教師可嘗試從定義、分類、判定、性質(zhì)的路徑來(lái)研究,通過(guò)這樣的整體觀,給學(xué)生“構(gòu)建一個(gè)研究平行線的整體框架”,為后繼研究三角形、四邊形、圓等圖形奠定基礎(chǔ).

      首先,回憶從文字表達(dá)、圖形表達(dá)、符號(hào)表示三個(gè)方面進(jìn)行定義;其次,由于平行線的定義是描述性的,由平行線的定義知道平行線有“在同一平面內(nèi)不相交(沒(méi)有公共點(diǎn))”的性質(zhì),但直線是無(wú)限延伸的,難以區(qū)分平行線與一個(gè)夾角極小的相交線,所以有必要從其他角度進(jìn)一步探究和描述平行線的性質(zhì).絕大多數(shù)研究平行線的條件是從一些以往的經(jīng)驗(yàn),比如上學(xué)期畫(huà)平行線的方法中的探究,或通過(guò)利用兩條直線被第三條直線所截的模型,讓學(xué)生通過(guò)觀察去發(fā)現(xiàn)的.其實(shí)由于組成平行線的基本要素很少,只有兩條線,所以需要借助一些輔助條件來(lái)協(xié)助研究,這樣第三條直線就產(chǎn)生了.這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察圖形,然后引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)看到的圖形去探究有什么值得研究,這時(shí)對(duì)“三線八角”進(jìn)行分類探究就水到渠成了.最后研究性質(zhì),不能一上來(lái)就是操作,應(yīng)該讓學(xué)生知道為什么要這樣操作,應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從條件中去探究,知道條件與性質(zhì)之間的關(guān)系,自然就能讓學(xué)生形成“一個(gè)研究平行線的整體框架”.

      2.構(gòu)建研究幾何圖形的一般方法

      上面是解決研究什么的問(wèn)題,下面就是要解決怎樣研究的問(wèn)題.首先,我們要知道研究數(shù)學(xué)的工具是什么(位置、數(shù)量、基本圖形);其次,我們?nèi)绾潍@得數(shù)學(xué)結(jié)論(看、驗(yàn)、猜、證).我們要在每一節(jié)課中進(jìn)行強(qiáng)化.縱觀絕大多數(shù)的課堂,其實(shí)都能注意這一點(diǎn),但是教師就是缺乏強(qiáng)調(diào)和總結(jié),往往就是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下動(dòng)手做一遍,并不知道為什么要這樣做,這樣離開(kāi)教師的提示,學(xué)生根本不能自主完成探究.

      本節(jié)課,首先,要讓學(xué)生緊緊抓住基本圖形,然后從基本要素角先入手,從位置、數(shù)量著手去發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題,通過(guò)類比利用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)去分析和解決問(wèn)題;其次,利用語(yǔ)言提示,引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷“看、驗(yàn)、猜、證”的思維過(guò)程,使學(xué)生形成科學(xué)的思維方法.

      3.注意選擇核心過(guò)程

      尊重“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)再造的起點(diǎn),讓經(jīng)驗(yàn)直觀化.數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)“再造”是在尊重學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)上,激活學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn),使得已有經(jīng)驗(yàn)成為“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”.本節(jié)課,首先根據(jù)平行線的條件和研究平行線的條件這一“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”,通過(guò)類比遷移引入新課.

      新課程提倡開(kāi)放、民主、探究的課堂,但是有放就得有收.“放”是培養(yǎng)發(fā)散思維、創(chuàng)新精神.“收”體現(xiàn)教師的引導(dǎo)作用.有的課例中,教師把證明“兩直線平行,同位角相等”作為重點(diǎn).本節(jié)課的重點(diǎn)是平行線的條件與判定的關(guān)系,如何研究幾何問(wèn)題應(yīng)作為一個(gè)重點(diǎn)突出.

      本節(jié)課在細(xì)節(jié)上精心設(shè)置每一個(gè)問(wèn)題,以求問(wèn)在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū);反復(fù)推敲每一句過(guò)渡語(yǔ)言,以求承上啟下、邏輯連貫、銜接自然.

      注重概念的形成過(guò)程、按照概念的形成方式掌握概念并不意味著要經(jīng)歷人類認(rèn)識(shí)這一概念的原過(guò)程.不錯(cuò),中學(xué)數(shù)學(xué)概念都是在人類社會(huì)歷史發(fā)展的過(guò)程中,隨著生產(chǎn)、生活實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的不斷積累、概括逐步形成的,許多概念都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程,但學(xué)生并不需要(也不可能)重復(fù)前人的認(rèn)識(shí)活動(dòng),而只需要“簡(jiǎn)約”地經(jīng)歷.認(rèn)知心理學(xué)研究表明,學(xué)生掌握概念的過(guò)程與人類認(rèn)識(shí)概念的過(guò)程有相似性.這種相似性反映在學(xué)生形成概念的心理過(guò)程中,包括從大量的具體事實(shí)出發(fā),辨別、抽象、分化、提出假設(shè)與檢驗(yàn)假設(shè)及概括,最后用語(yǔ)言符號(hào)表示概念.由此可見(jiàn),我們強(qiáng)調(diào)概念的形成,強(qiáng)調(diào)發(fā)現(xiàn),并不意味著都要讓學(xué)生經(jīng)歷反復(fù)曲折的思考,或者過(guò)于嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^(guò)程,不要忽視觀察、類比、頓悟、猜想等合情推理在知識(shí)形成過(guò)程中的巨大作用.教學(xué)的關(guān)鍵在于把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),精中求簡(jiǎn),保持核心價(jià)值.

      其實(shí)性質(zhì)、條件的研究也是在做題目,而且這樣的題目具有典型性,其遷移能力是很強(qiáng)的.本節(jié)課,性質(zhì)2、3的推理過(guò)程對(duì)提升學(xué)生的推理能力特別有幫助.Z

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