抓住“數(shù)學現(xiàn)實”本質(zhì)，促進知識自然生成
——圖形的旋轉(zhuǎn)（1）教學與反思

☉江蘇省海安縣城南實驗中學顧為云

抓住“數(shù)學現(xiàn)實”本質(zhì)，促進知識自然生成
——圖形的旋轉(zhuǎn)（1）教學與反思

☉江蘇省海安縣城南實驗中學顧為云

近期拜讀了人民教育出版社中學數(shù)學室章建躍教授刊登在《中學數(shù)學教學參考》2014（4）上的一篇題目為《如何實現(xiàn)“思維的教學”——以“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學為例》的文章，受益匪淺.正好學校舉行的賽課比賽的自選課題中有圖形的旋轉(zhuǎn)這一課，筆者有幸選擇了這一課題，以下是該課的教學流程與教后反思，整理出來提供研討.

一、教學流程

活動一：旋轉(zhuǎn)的概念

（1）出示一組圖片（圖1~圖3），說說分別屬于圖形的什么變換？

圖1

圖2

圖3

預(yù)設(shè)意圖：平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)是三種常見的全等變換，雖然教材放在不同的章節(jié)去學習，但它們是一脈相承的，初步比較的同時也為后續(xù)的類比教學做好鋪墊.

（2）探究：

①把鐘面上的分針旋轉(zhuǎn)90°，得到的結(jié)果怎樣？

②鐘面上的分針順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果有多少種？

③線段AB繞點A和點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到的結(jié)果一樣嗎？

④給定怎樣的條件才能使旋轉(zhuǎn)后的圖形唯一確定？

預(yù)設(shè)意圖：讓學生經(jīng)歷概念本質(zhì)特征的概括過程，學生才有機會通過自己的觀察和思考從具體事例中抽象出概念的本質(zhì)，才能真正理解掌握概念.通過以上探究活動讓學生體會到三要素缺少任何一個旋轉(zhuǎn)都不能唯一確定，從而理解“圖形的旋轉(zhuǎn)”概念的內(nèi)涵.

活動二：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

（1）回顧我們之前學習的平移變換和軸對稱變換（圖4、圖5）.

圖4

圖5

預(yù)設(shè)意圖：復習圖形的平移和軸對稱的性質(zhì)，讓學生明確平移的性質(zhì)離不開平移的方向，軸對稱的性質(zhì)離不開對稱軸；另一方面，討論平移和軸對稱的性質(zhì)時首先要讓學生知道“性質(zhì)就是變化中的不變性”，然后從宏觀和微觀兩方面得出性質(zhì)，整個圖形的形狀、大小不變，所以兩個圖形全等，以及對應(yīng)點、對應(yīng)線段、對應(yīng)角的不變性.只有這樣深入地理解了性質(zhì)的本質(zhì)，學生才能很好地遷移到旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的學習中來，學生對旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)才能水到渠成，這種遷移才是有效的，而不是形式化.

（2）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

圖6

圖7

圖8

學生在圖6中添加線段（如圖7），并通過獨立思考、小組交流發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，教師追問如何找出點P、Q（如圖8）

的對應(yīng)點.

預(yù)設(shè)意圖：這個環(huán)節(jié)的設(shè)置沒有運用課本上直接拋出問題的方法，性質(zhì)的得到讓學生通過自己動手操作、發(fā)現(xiàn)，然后小組合作交流，互相糾正學習，最后老師根據(jù)學生的回答，及時設(shè)置追問，使得發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進一步完整規(guī)范，以上過程充分體現(xiàn)學生的主體地位，只有通過自己探究發(fā)現(xiàn)的知識，才能更好地理解并掌握.

活動三：畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形

圖9

例題講解.

例題如圖9，E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

讓學生自己先嘗試畫圖，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學都已經(jīng)能夠畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，教師投影學生所畫的圖形并讓學生回答畫圖的過程和依據(jù).進一步要求學生畫出把△ADE逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的圖形.

預(yù)設(shè)意圖：鼓勵學生用不同的方法畫圖，進一步訓練性質(zhì)運用的靈活性.

活動四：小結(jié)和作業(yè)

（1）通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

不僅總結(jié)本節(jié)課所學的知識，而且把平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)作為一個整體進行總結(jié).

（2）作業(yè)布置：略.

附：板書設(shè)計，如圖10.

圖10

二、精彩生成

1.概念教學對話片斷

對于問題（1），教師拿出一個可以方便調(diào)整時間的時鐘讓學生演示.

生1演示：把時鐘的分針逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°.

生2：也可以順時針旋轉(zhuǎn)90°.

師：兩種旋轉(zhuǎn)的結(jié)果不同，為什么？

生：方向不同，可以順時針也可以逆時針.

對于問題（2）.

生：有很多種結(jié)果，因為沒有具體規(guī)定轉(zhuǎn)動的度數(shù).

對于問題（3）.

師：時鐘的指針可以抽象的看成一條線段（拿出一根木條并在黑板上畫出一條相同長度的線段AB），找一位同學來演示一下問題（3）的旋轉(zhuǎn)過程.

生把木條放在黑板上演示.

師：有什么發(fā)現(xiàn)？

生：繞點A和點B分別旋轉(zhuǎn)木條，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果不同.

師提問問題（4）.

生：旋轉(zhuǎn)需要明確繞著哪個點旋轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)的方向及旋轉(zhuǎn)的度數(shù).

師：繞著那個點叫作旋轉(zhuǎn)中心.（板書旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)）

師：還請剛才那位同學說說看，什么叫作圖形的旋轉(zhuǎn).

生：把一個圖形繞著一個點，向某一方向轉(zhuǎn)動一定的度數(shù)，叫作圖形的旋轉(zhuǎn).

師：非常完整.（板書課本定義：一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點轉(zhuǎn)動一個角度，叫作圖形的旋轉(zhuǎn)）

這里的轉(zhuǎn)動一個角度就包括著旋轉(zhuǎn)方向和度數(shù)兩方面，我們剛才這位同學比課本說得更具體.

2.性質(zhì)教學對話片斷

師：學習了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念后，接下來我們該學習什么呢？

生：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

師：好的，在討論性質(zhì)之前我們先一起回顧一下平移變換和軸對稱變換的性質(zhì).說說圖形的平移具有哪些性質(zhì)？

生：對應(yīng)點的連線平行且相等，平行前后的兩個圖形全等.

師：對應(yīng)點的連線也有可能共線，在圖7中具體表現(xiàn)為？

生：AA′=BB′=CC′，AA′∥BB′∥CC′，△ABC≌△A′B′C′.

師追問：AA′，BB′，CC′的長度表示什么？AA′，BB′，CC′為什么會平行呢？與平移的方向有關(guān)嗎？

生：AA′，BB′，CC′的長度是平移的距離，對應(yīng)點連

線的方向就是平移的方向.

師：圖形平移的時候，圖形的位置發(fā)生了變化，哪些東西沒有變呢？

生1：圖形的形狀與大小.

生2：對應(yīng)點的相對位置沒有變化.

生3：不管怎樣平移，對應(yīng)點的連線始終都相等且平行（共線）.

師：同學們回答得真棒！其實我們研究一個對象的性質(zhì)就是討論其變化中的不變性.

師：軸對稱具有哪些性質(zhì)呢？

生：對應(yīng)點的連線段被對稱軸垂直平分.

師：討論軸對稱離不開什么？

生：對稱軸.

師：那旋轉(zhuǎn)又有哪些性質(zhì)呢？板書中的問號處應(yīng)該填寫什么內(nèi)容呢？

生：旋轉(zhuǎn)中心.

……

三、教學反思

1.辨識學段特征，找準教學用力點

學生在小學階段已經(jīng)學習了圖形的變換的相關(guān)知識，學生已經(jīng)能夠結(jié)合具體實例感知身邊的平移、旋轉(zhuǎn)和對稱現(xiàn)象；會在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平、垂直方向平移后的圖形或關(guān)于某條直線對稱的圖形；能在方格紙上畫出一個簡單圖形繞圖形上的某個頂點旋轉(zhuǎn)90°或180°后的圖形；能靈活應(yīng)用平移、旋轉(zhuǎn)和對稱知識在方格紙上設(shè)計圖案，在圖案的欣賞和設(shè)計活動中，感受圖形世界的神奇與精彩現(xiàn)象.初中階段繼續(xù)學習圖形的變換并不是小學知識的再現(xiàn)，教師要正確辨別學段特征，正確把握課堂教學的用力點應(yīng)用在何處，避免在學生已經(jīng)掌握的知識上花費大量時間而偏離教學重點.小學的學習側(cè)重于實例操作，需要展示，但不能過分停留，而且再現(xiàn)舊知也是為了引入新知的學習，初中學段“圖形的旋轉(zhuǎn)”的內(nèi)容結(jié)構(gòu)是：概念和性質(zhì)—特例（性質(zhì)）—應(yīng)用（數(shù)學內(nèi)部、實際問題）.

2.重視“數(shù)學現(xiàn)實”，引導發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)本質(zhì)

學生在七年級和八年級分別學習了圖形的平移和軸對稱變換，已經(jīng)知道初中階段研究圖形的變換需要研究哪些內(nèi)容及研究方法，教師要充分運用好這一“數(shù)學現(xiàn)實”，以此為情境貫穿于教學過程中，對于重點知識的學習和難點的突破有很大的幫助.回想自己以往在上這一課題時也都先讓學生復習平移和軸對稱變換的相關(guān)知識，但只是為了復習而復習，對于旋轉(zhuǎn)概念和性質(zhì)的學習沒有起到正面的遷移作用，仔細反思，發(fā)現(xiàn)主要有兩方面的原因，一是沒有真正理解平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)三種全等變換的內(nèi)在聯(lián)系，二是沒有創(chuàng)新地運用課本情境導致學生被動地接受知識.本節(jié)課筆者在旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)教學環(huán)節(jié)中讓學生知道“性質(zhì)就是變化中的不變性”，在學生說出平移和軸對稱的性質(zhì)時引導學生體會圖形變換的性質(zhì)就是研究對應(yīng)元素的不變性，并提醒學生關(guān)注性質(zhì)與“平移方向”、“對稱軸”的關(guān)系.有了以上鋪墊學生在發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)時就水到渠成了.接下來筆者先出示圖9，學生通過抓住關(guān)鍵詞“旋轉(zhuǎn)中心”自己畫出旋轉(zhuǎn)中心和對應(yīng)點的連線，沒有像課本上直接給出了旋轉(zhuǎn)中心與對應(yīng)點的連線，學生能夠通過獨立思考和交流說出相關(guān)性質(zhì)，甚至比課本上說得更詳盡.通過以上學習過程在培養(yǎng)學生觀察發(fā)現(xiàn)和探究歸納的能力上有較大的促進作用.課本上在提出性質(zhì)設(shè)置的情境中問題太明確，幾乎“捅破了窗戶紙”，沒有真正讓學生自己探究發(fā)現(xiàn)，也就失去了這個內(nèi)容的思維教育價值.

3.追求前后連貫，讓知識自然生長

平移、軸對稱變換的學習成為本節(jié)課知識的生長點，課堂上充分發(fā)掘運用既方便于旋轉(zhuǎn)概念性質(zhì)的學習，又能更好地幫助學生把旋轉(zhuǎn)的知識組合到已有的認知結(jié)構(gòu)中去，從而使得前后知識相連貫，實現(xiàn)知識的建構(gòu).在活動三的練習環(huán)節(jié)中，學生完成在網(wǎng)格畫圖后進一步拋出建立直角坐標系寫點的坐標的問題，看似與本課內(nèi)容關(guān)聯(lián)不大，其實是接下來學生學習中心對稱和關(guān)于原點對稱的點的坐標提供的新的生長點.

1.章建躍.如何實現(xiàn)“思維的教學”——以“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的教學為例［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2014（4）.

2.鄭毓信.數(shù)學教育視角下的“核心素養(yǎng)”［J］.數(shù)學教育學報，2016（3）.

3.章建躍.創(chuàng)新推動改革，全面提高教育質(zhì)量——暨“第九屆初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動”總結(jié)［J］.中國數(shù)學教育（初中），2016（4）.H