思路生成貴在自然，一題一課追求簡(jiǎn)約——一道考題的思路突破與習(xí)題課設(shè)計(jì)

☉江蘇省徐州市第三十四中學(xué)孫莉

思路生成貴在自然，一題一課追求簡(jiǎn)約——一道考題的思路突破與習(xí)題課設(shè)計(jì)

☉江蘇省徐州市第三十四中學(xué)孫莉

每年中考之后，專(zhuān)業(yè)刊物上會(huì)有很多研究較難考題思路的文章，作者往往從解題的角度偏重于一題多解的探討，也有多解歸一、解法自然、拓展深化的研討，然而把解題研討轉(zhuǎn)向解題教學(xué)研究的文章還不多見(jiàn)，本文以一道中考題為例，先給出思路突破（基于思路自然生成的角度），再圍繞這道考題給出習(xí)題課的教學(xué)設(shè)計(jì)，提供研討.

一、考題思路突破與解后反思

考題如圖1所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B= 90°，AD=15，AB=16，BC=12，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是射線CD上一點(diǎn)，射線ED和射線AF交于點(diǎn)G，且∠AGE=∠DAB.

（1）求線段CD的長(zhǎng)；

（2）如果△AEG是以EG為腰的等腰三角形，求線段AE的長(zhǎng)；

（3）如果點(diǎn)F在邊CD上（不與點(diǎn)C、D重合），設(shè)AE=x，DF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍.

圖1

圖2

1.思路突破

（1）只要過(guò)點(diǎn)D作出梯形的高DH（如圖2），將梯形分成直角三角形和矩形，即可獲得思路，求出CD=7，限于篇幅，過(guò)程略去.

（2）利用∠AGE=∠DAB，再結(jié)合∠AEG=∠DEA，可得△AEG∽DEA.由題意，△AEG是以EG為腰的等腰三角形，需要考慮兩種可能：EG=AG或EG=EA；對(duì)應(yīng)著另一個(gè)相似的三角形ADE中，則是兩種可能：AE=AD或AE=DE.以下分兩種情況求解：

第一種情況：當(dāng)AE=AD時(shí)，直接可以得到AE=15（注意驗(yàn)證此時(shí)點(diǎn)E是否在邊AB上即可）；

第二種情況：當(dāng)AE=DE時(shí)，構(gòu)造圖3，分析如下：作DH⊥AB于點(diǎn)H，由（1）中求解可知，AH=9，設(shè)AE=x，則DE=x，HE=x-9，在Rt△DEH中，根據(jù)勾股定理，可求出x=.

圖3

（3）首先分析問(wèn)題，可以有兩組相似三角形供選用，并帶來(lái)比例式.這就是△AEG∽△DEA，可得=，即x2=GE·DE；又△DFG∽△EAG，可得=，運(yùn)用比例性質(zhì)變形得

接下來(lái)，重點(diǎn)處理用含x或y的式子表示GE、DE，就可以溝通x、y之間的關(guān)系了.構(gòu)造圖2，由圖2可知，HE=x-9，在Rt△DEH中中，得，再把GE、DE的表達(dá)式代入“x2=GE·DE”中，可得

現(xiàn)在再來(lái)分析自變量x的取值范圍，首先是由（2）中得出的x=，這是一個(gè)極端位置，此時(shí)點(diǎn)F、D、G均重合，由題意點(diǎn)F不與端點(diǎn)D重合，故此種情況舍去，即x＜；當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到另一極端位置C點(diǎn)時(shí)，連接AC，如圖4，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E恰在垂足H處時(shí)，經(jīng)過(guò)演算有，滿足∠AGE=∠DAE，考慮到點(diǎn)F不與點(diǎn)C重合，因而x＞9，綜上，x的取值范圍為9＜x＜.

圖4

2.解后反思

對(duì)于第（2）問(wèn)的求解，如果不能有效轉(zhuǎn)化目標(biāo)，即思考△ADE，而是把思路盯在△AEG中，試圖構(gòu)造可能的等腰三角形AEG，則會(huì)花費(fèi)更多時(shí)間，造成解題的時(shí)間成本偏高，影響其他試題的解答.

第（3）問(wèn)延續(xù)了上海中考數(shù)學(xué)卷的一貫的風(fēng)格，并不是初中階段常見(jiàn)的三種初等函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)或反比例函數(shù)），而需要分析具體線段之間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)勾股定理、相似三角形、比例式變形等綜合之后，溝通x、y之間的數(shù)量關(guān)系.在演算過(guò)程中，式子不宜急于展開(kāi)或化簡(jiǎn)，因?yàn)殡S著后續(xù)運(yùn)算，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)式子相乘，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.這里也對(duì)繁雜算式化簡(jiǎn)的預(yù)見(jiàn)性提出了較高要求，即運(yùn)算過(guò)程并不一定隨時(shí)隨刻都要保持算式的簡(jiǎn)潔.

另一個(gè)難點(diǎn)是，自變量x的取值范圍.可以受到第（2）問(wèn)的啟示，思考可能的極端位置來(lái)獲得思路，即當(dāng)點(diǎn)F在端點(diǎn)C、D處時(shí)，分析此時(shí)G點(diǎn)的位置，相應(yīng)地推理出點(diǎn)E的位置.啟發(fā)學(xué)生想到極端位置來(lái)思考，需要教學(xué)中多加重視.

二、“一題一課”的微設(shè)計(jì)

以下以上海這道中考題為例，給出“一題一課”的微設(shè)計(jì)，提供研討.

教學(xué)環(huán)節(jié)一：圍繞梯形的熱身問(wèn)題

問(wèn)題1：如圖5，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12.

圖5

（1）求∠A的正切函數(shù)值；

（2）求CD的長(zhǎng)；

（3）求梯形ABCD的面積；

（4）設(shè)梯形的高DH與對(duì)角線AC交于M點(diǎn)，求DM的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)一組梯形相關(guān)的計(jì)算求值，讓學(xué)生能熟練地求出直角梯形中銳角的三角函數(shù)值、梯形的面積及對(duì)角線等基礎(chǔ)問(wèn)題，為后續(xù)問(wèn)題的探究奠定基礎(chǔ).

教學(xué)環(huán)節(jié)二：一個(gè)邊上的動(dòng)點(diǎn)探究

問(wèn)題2：在“問(wèn)題1”題干的基礎(chǔ)上，若AB邊上有一點(diǎn)E，連接DE.

（1）求線段DE的取值范圍；

（2）當(dāng)△ADE的面積恰為梯形ABCD面積的一半時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)；

（4）當(dāng)DE取得最小值時(shí)，連接AC交DE于點(diǎn)G，求證：AE2=EG·ED.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)在邊AB上增設(shè)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，設(shè)計(jì)了系列追問(wèn)，為后續(xù)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的研究提供基礎(chǔ)；同時(shí)也對(duì)應(yīng)著原考題中的第（2）、（3）問(wèn)的設(shè)問(wèn)方向.

教學(xué)環(huán)節(jié)三：引入雙動(dòng)點(diǎn)的探究

問(wèn)題3：在“問(wèn)題1”題干的基礎(chǔ)上，若AB邊上有一點(diǎn)E，射線CD上有一點(diǎn)F，連接DE，AF，設(shè)射線ED和射線AF交于點(diǎn)G（如圖1）.

（1）當(dāng)AE2=EG·ED時(shí)，△ADE與哪些三角形相似？直接寫(xiě)出來(lái).

（2）當(dāng)∠AGE=∠DAE時(shí).

①求證：△DFG∽△EDA；

②若△AEG是以EG為腰的等腰三角形，求AE的長(zhǎng)；

③若點(diǎn)F在邊CD上（不與點(diǎn)C、D重合），設(shè)AE=x，DF= y，直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并指出x的取值范圍.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)層層遞進(jìn)式的追問(wèn)，把原考題中的第（2）（3）問(wèn)漸次呈現(xiàn)出來(lái)，提供優(yōu)秀學(xué)生挑戰(zhàn)和思考，教學(xué)時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生辨析“強(qiáng)化條件”的限制作用.

教學(xué)環(huán)節(jié)四：引導(dǎo)回顧與反思

回顧問(wèn)題1：在上面“問(wèn)題3”求解x的取值范圍時(shí)，與之前的“問(wèn)題2”“問(wèn)題1”之間有沒(méi)有聯(lián)系？

回顧問(wèn)題2：這道題目成功求解之后，你覺(jué)得對(duì)相似三角形和銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系有怎樣的認(rèn)識(shí)？

回顧問(wèn)題3：梯形中常用的輔助線有哪些？你能說(shuō)說(shuō)這些常用的輔助線的作用嗎？

回顧問(wèn)題4：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的探究中，有人認(rèn)為要特別注意一些極端位置（或特殊位置）的思考，你覺(jué)得在本題中，有哪些極端位置是值得注意的？一些具體的追問(wèn)，還可結(jié)合教學(xué)對(duì)話中學(xué)生不同的思考給出.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生重視和善于解后回顧反思，以達(dá)到加深對(duì)問(wèn)題求解的認(rèn)識(shí)或理解.

三、開(kāi)發(fā)“一題一課”的三點(diǎn)思考

1.鋪墊問(wèn)題，基礎(chǔ)出發(fā)，漸次生長(zhǎng)

“一題一課”的教學(xué)設(shè)計(jì)，開(kāi)課階段一定要平緩起步，堅(jiān)持從基礎(chǔ)出發(fā)，讓更多的學(xué)生參與到初始問(wèn)題的思考中來(lái)，能否更大范圍地調(diào)動(dòng)所有學(xué)生的思維是這種課型的實(shí)施關(guān)鍵.如果開(kāi)課階段就有不少學(xué)生不能理解初始問(wèn)題，試想整節(jié)課的教學(xué)效果可能就會(huì)大打折扣，面向全體學(xué)生也就成了一句空話.特別是，如上文中的“微設(shè)計(jì)”的第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，基礎(chǔ)問(wèn)題的設(shè)計(jì)又要服務(wù)于后續(xù)問(wèn)題，即讓這些基礎(chǔ)題練習(xí)之后有助于思考后面漸次生長(zhǎng)出來(lái)的能力題、提高題、拓展題，這就需要教師設(shè)計(jì)時(shí)充分關(guān)注后續(xù)問(wèn)題的生長(zhǎng).

2.增設(shè)條件，靠近考題，啟發(fā)思考

在基礎(chǔ)題引導(dǎo)更多學(xué)生參與之后，就可陸續(xù)增設(shè)條件，靠近原來(lái)考題漸次增加強(qiáng)化條件，也不宜全盤(pán)托出，需要有必要的鋪墊，保持基礎(chǔ)偏弱學(xué)生探究的興趣和信心，因?yàn)楦鶕?jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)變式距離過(guò)大時(shí)，不少中等偏下的學(xué)生往往會(huì)放棄跟進(jìn)思考，從而影響整體教學(xué)效果.有時(shí)在思維障礙點(diǎn)、解題難點(diǎn)處，教師可以通過(guò)必要的追問(wèn)，讓一些優(yōu)秀學(xué)生重復(fù)講解他們是如何突破問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn)的，也有助于讓更多的學(xué)生理解、貫通思路.

3.引出原題，自主發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)反思

我們認(rèn)為，直到課堂教學(xué)時(shí)間進(jìn)行到一半時(shí)，才適合全盤(pán)引出原題，這時(shí)要盡可能讓學(xué)生在前面鋪墊問(wèn)題的啟發(fā)下自主發(fā)現(xiàn)思路，保持優(yōu)秀學(xué)生獨(dú)立探索思路的自信和挑戰(zhàn)的樂(lè)趣.對(duì)于特別難的拓展題，明顯不適合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)偏弱的學(xué)生，這時(shí)可以適當(dāng)取舍，比如多解問(wèn)題，只要求他們先理解其中某一種簡(jiǎn)單的情形，或者問(wèn)題聚焦在某個(gè)特殊圖形上，請(qǐng)他們參與講解對(duì)這個(gè)特殊圖形中某些數(shù)據(jù)特征的理解等.特別是，在解答之后，如上面“教學(xué)環(huán)節(jié)四”一樣，安排必要的回顧反思的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)回顧反思，能更好地洞察和揭示難題的結(jié)構(gòu)，懂得轉(zhuǎn)化的路徑，積累同類(lèi)題的解題經(jīng)驗(yàn).

1.鐘啟泉.“教會(huì)提問(wèn)”的教學(xué)［J］.基礎(chǔ)教育課程，2014（9）.

2.鄭毓信.善于提問(wèn)［J］.人民教育，2008（19）.

3.鄭毓信.善于優(yōu)化［J］.人民教育，2008（20）.H