一道一模壓軸題的命制過程及感悟*

☉江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城初中何君青

一道一模壓軸題的命制過程及感悟*

☉江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)新城初中何君青

一模是全區(qū)組織的綜合性檢測(cè)，是中考前的一次大型診斷測(cè)試.命題須以中考及新課標(biāo)的要求作為標(biāo)準(zhǔn)，其功能是讓學(xué)生感受中考，同時(shí)這類考試還對(duì)后續(xù)中考第二輪復(fù)習(xí)起到指導(dǎo)性作用，所以無論教師還是學(xué)生都極其重視這類考試.近期，筆者命制了我區(qū)中考一模試題，壓軸題以幾何探究題為背景進(jìn)行了考查，題目得到了全區(qū)老師的稱贊.命題過程中略有收獲，故撰文與同行分享.

一、原題呈現(xiàn)

問題提出

平面上，若點(diǎn)P與A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)均構(gòu)成等腰三角形，則稱點(diǎn)P是A、B、C三點(diǎn)的巧妙點(diǎn).若A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，也稱點(diǎn)P是△ABC的巧妙點(diǎn).

初步思考

（1）如圖1，在等邊△ABC的內(nèi)部和外部各作一個(gè)△ABC的巧妙點(diǎn).（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，點(diǎn)D、E是△ABC的兩個(gè)巧妙點(diǎn)，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC= CE，連接DE，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N.求證：DA2=DB·DE.

圖1

圖2

深入研究

（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一點(diǎn)P，使PB=BA，PA=PC，點(diǎn)P可能為△ABC的巧妙點(diǎn)嗎？若可能，請(qǐng)畫出示意圖，并直接寫出∠BAC的度數(shù)；若不可能，請(qǐng)說明理由.

分析：本題考查了尺規(guī)作圖、平行線的性質(zhì)及判定、黃金三角形的相關(guān)概念、等腰三角形的相關(guān)概念、全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定.本題注重思想方法的考查，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，題目特別重視對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)教師在教學(xué)的過程中重視對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的講解，以及基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的訓(xùn)練，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)，基本思想方法的滲透.題目在設(shè)置上螺旋式上升，第一問為作圖題，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，難度小，容易入手；第二問為證明題，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷分析問題、解決問題的過程，此問有一定的難度，學(xué)生理解巧妙點(diǎn)的實(shí)質(zhì)后找準(zhǔn)需要證明的一對(duì)相似三角形才能解決；第三問為探究題，旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和應(yīng)用意識(shí)，難度較大，綜合性強(qiáng)，區(qū)分度明顯，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.

二、命制過程

1.初步設(shè)想

命題前，筆者查閱了近幾年南京市中考試題，發(fā)現(xiàn)近幾年中考試題壓軸題主要以幾何探究題為主，如2013年的順相似、逆相似，2014年的“邊邊角”證明三角形的全等，2015年畫等腰三角形等，試題不僅考查相似的有關(guān)性質(zhì)和判定、等腰三角形的相關(guān)作圖，也考查學(xué)生分析與解決問題的能力及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，試題的呈現(xiàn)體現(xiàn)出多元化的形式，開放性較大，探究味道濃.考慮到南京近幾年中考試題考查的方式，筆者決定此次一模試卷的壓軸題依然以幾何探究題為考查載體.

之后，筆者查閱了新課標(biāo)，將相似三角形、等腰三角形的考查要求仔細(xì)地研讀：了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理；了解相似三角形的判定定理；了解相似三角形的性質(zhì)定理.

基于新課標(biāo)的要求，鑒于此題為壓軸題的定位，筆者決定命制一道難度系數(shù)為0.3，考查知識(shí)覆蓋面廣的試題，題目預(yù)設(shè)三問，逐步遞進(jìn)，題型豐富，涵蓋作圖、證明、解答，讓各類學(xué)生都能得分，但又凸顯優(yōu)秀的學(xué)生.

有了明確的方向后，筆者翻閱書本相關(guān)章節(jié)，試圖找到突破點(diǎn)，但無任何收獲，慶幸的是筆者曾多次命制一模試卷，收集了不少的素材.在之前一次八年級(jí)期末考試中有這樣一道題引起了筆者的注意：四邊形ABCD是正方形，在正方形ABCD所在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使△PAB、△PAD、△PCD、△PBC都是等腰三角形，這樣的點(diǎn)P有______個(gè).這道題難度不大，但卻有很深的挖掘空間，于是筆者決定以此題為背景，改編試題，賦予題目“新的生命”.

2.框架形成

試題的改編、創(chuàng)作離不開“題源”，確定好題源后筆者準(zhǔn)備給這個(gè)“特殊”的點(diǎn)起一個(gè)新的名字，讓其“煥然一新”，這也正符合當(dāng)下中考的模式：新定義閱讀題.于是第一稿如下所示.

平面上，若點(diǎn)P與A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)均構(gòu)成等腰三角形，我們則稱點(diǎn)P是A、B、C三點(diǎn)的巧妙點(diǎn).若A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，也可稱點(diǎn)P是△ABC的巧妙點(diǎn).類似地，平面上，若點(diǎn)P與A、B、C、D四點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)均構(gòu)成等腰三角形，我們則稱點(diǎn)P是A、B、C、D四點(diǎn)的巧妙點(diǎn)，若A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成四邊形，也可稱點(diǎn)P是四邊形ABCD的巧妙點(diǎn).

（1）如圖1，作出等邊△ABC的所有巧妙點(diǎn).（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）正方形的巧妙點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.

（3）矩形是否存在巧妙點(diǎn)？若存在，畫出示意圖加以說明，并直接寫出此時(shí)矩形長與寬的比值的平方是多少；若不存在，請(qǐng)說明理由.

對(duì)于命題初稿，值得肯定的是本題取材合理：立足基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，源于課本核心考點(diǎn)等腰三角形；角度新穎：著眼于學(xué)生畫圖時(shí)產(chǎn)生的問題，層層遞進(jìn)；題型豐富：既有填空，又有作圖、解答.

3.修訂完善

學(xué)生對(duì)新定義閱讀題一直有較強(qiáng)的畏懼感，經(jīng)常看到題目感覺無從下手，本著尊重學(xué)生的原則，筆者將題目的題干、圖形盡可能反復(fù)修改，盡可能簡潔，以減輕學(xué)生的恐懼感.一開始，筆者打算此題先考查三角形再考查四邊形，增加題目復(fù)雜性，但在反復(fù)推敲修訂時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)第（2）問正方形的巧妙點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0，擔(dān)心學(xué)生不太敢寫這個(gè)答案，第（3）問計(jì)算時(shí)需要用到一元四次方程，雖然雙二次方程可用換元法替換為一元二次方程，但怕被扣上超綱的帽子，于是筆者決定適當(dāng)降低難度，僅考查三角形領(lǐng)域.故修如下.

問題提出

平面上，若點(diǎn)P與A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)均構(gòu)成等腰三角形，我們則稱點(diǎn)P是A、B、C三點(diǎn)的巧妙點(diǎn).若A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，也可稱點(diǎn)P是△ABC的巧妙點(diǎn).

初步思考

（1）如圖1，在等邊△ABC的內(nèi)部和外部各作一個(gè)△ABC的巧妙點(diǎn).（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=2，點(diǎn)D、E是△ABC的兩個(gè)巧妙點(diǎn)，其中AD=AB，AC=AE，BD=BC=CE，連接DE，交AB、AC于點(diǎn)M、N.求DE的長.

深入研究

（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一點(diǎn)P，使PB=BA，PA=PC，問：點(diǎn)P是否可能為△ABC的巧妙點(diǎn)？若可能，請(qǐng)畫出示意圖、并直接寫出∠BAC的度數(shù)；若不可能，請(qǐng)說明理由.

4.最終定稿

為了使題目更適合南京市的中考特色，給我區(qū)教師更好的后續(xù)復(fù)習(xí)指導(dǎo)，筆者再次仔細(xì)看了2015年南京市中考試題，發(fā)現(xiàn)2015年南京市中考題將相似問題作為證明題直接考查，這與歷年南京的相似考題略有區(qū)別.于是筆者預(yù)測(cè)這是南京市2016年中考命題的導(dǎo)向，于是將題目第（2）問利用相似求線段長改為直接證明.

如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，點(diǎn)D、E是△ABC的兩個(gè)巧妙點(diǎn)，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC= CE，連接DE，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N.求證：DA2=DB·DE.

5.總結(jié)反思

回顧這道題的命題過程，一波三折，從一開始選定題源，到幾次修改，都是以南京市歷年中考試題和新課標(biāo)作為參考依據(jù).此題角度獨(dú)特，探究味兒濃，很具典型性，但筆者認(rèn)為此題還能加以發(fā)展，若將該題再發(fā)展到直角三角形、等腰直角三角形領(lǐng)域，解決更多的問題就更完美了，介于題目考查容量有限，未曾設(shè)問，確實(shí)可惜.

三、命題感悟

一?？荚嚨哪康牟皇菫殡y老師、學(xué)生，而是達(dá)到共贏局面.通過考試，教師可以發(fā)現(xiàn)自己教學(xué)工作中的不足，從而加以重視、改善、提升，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)自己對(duì)哪些知識(shí)掌握得不牢靠，從而加以提高、完善.故每次考試前，命題老師要分析近幾年當(dāng)?shù)刂锌嫉内厔?shì)，把握好考試的方向，考試后，教師、學(xué)生要好好分析從考試中發(fā)現(xiàn)的不足，從而盡快改進(jìn).

由于一?？荚嚸}時(shí)間短，很多命題教師會(huì)將舊題直接拿來或者簡單改編，這樣會(huì)把廣大備考師生引向題海，導(dǎo)向走偏.所以建議出卷教師在壓軸題方面盡可能原創(chuàng)，真正診斷出考生的問題，查漏補(bǔ)缺，為備考師生指明正確方向.在命制壓軸題時(shí)，要特別重視數(shù)學(xué)最核心的“四基”的考查：基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本數(shù)學(xué)思想方法.本題的第一問可以看作是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查，第二問可以看作是對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，第三問可以看作是對(duì)基本數(shù)學(xué)思想方法的考查.

值得關(guān)注的是：數(shù)學(xué)思想的考查是數(shù)學(xué)的本質(zhì)、精華所在，尤其是壓軸題的考查更應(yīng)建立在數(shù)學(xué)思想考查的基礎(chǔ)上，命制的試題需精彩紛呈，逐步提升難度，螺旋式上升.引導(dǎo)教師在平時(shí)的教學(xué)中，要盡可能地教給學(xué)生一些提煉數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)的方法，讓學(xué)生自己歸納，在比較、分析、歸納、類比、抽象中提升學(xué)生的能力.Z

南京市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“‘跑班’分層模式下初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與考試評(píng)價(jià)研究”（課題編號(hào)：L/ 2015/181）.